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钢－混凝土梁就是一种组合结构，它由一个工字钢和放在其上的混凝土板组成。

在钢筋混凝土板浇筑之前，把钢连接件焊接在钢梁的上翼缘，从而使这两种组件能共同工作。

这种组合梁通常用作民用和工业建筑工程中的楼盖，以及桥梁工程中的承重主梁。

本文是Berczyński和Wró

blewski的论文[1]和[2]的一个延伸，在那两篇论文中，他们提出了相关数学模型，并给出了三根钢－混凝土组合梁的试验研究成果。

那三根组合梁的连接类型各不相同。

梁B1和B2（连接件间距不同）通过栓钉连接，梁B3用的则是带孔钢板的刚性连接。

他们的研究和分析，旨在确定组合梁的基本动力特性。

本文旨在探索出一种组合梁模型参数的估算算法。

这种要创建的估算方法基于试验的研究结果，并且，不仅仅使用梁的自振频率一个参数（正如[2]之前所做的那样），也使用在试验过程中所确定的振型。

本文采用RFE方法惯用的平面离散模型进行分析。

2.材料和方法

2.1问题的分析

Biscontin等人的[3]是最先研究钢-混凝土组合梁动力特性的作品之一。

他们根据欧拉梁理论，创造了组合梁的一维连续计算模型，使人们有可能找到组合梁特征值问题的解决方案。

在这个模型中，考虑了沿梁轴向的连接柔度，即它的剪切刚度。

这个分析模型可用于解释实际组合梁的试验数据。

它的数值计算结果与数次试验的结果一致，因而可用于确定梁特定的物理参数和连接的特性。

2.2梁的计算模型

钢－混凝土梁的离散数学模型，是用刚性有限元法――RFE惯用的方法建立的。

RFE方法是由Kruszewski等人在[16]和[17]中提出来的。

它把实际结构划分为由弹簧阻尼元件－－SDS所连接的没有变形的刚性有限元件。

建模开始时，把梁分割成相同（或接近）长度的区段。

这是初次的划分。

接着，在这次划分所形成的每个元素的重心，用一个SDE集中该区段所有的弹簧和阻尼特性。

下一步，用RFEs连接所有的SDEs。

这是二次划分。

在建模时，组合梁的钢和混凝土部分是分别对待的。

因此，这才可能对连接参数进行分析。

现在常用的组合梁模型示意图见图1。

初次划分时，把长度为L的组合梁分成n个长度为ΔL的区段，再在每个区段的中心，放置两个SDE：

一个集中了钢区段的特性，而另一个集中了钢筋混凝土板区段的特性。

接下来，在这些SDE之间，安置长度为二次划分长度的RFE。

端部的划分长度为ΔL/2，其余的为ΔL。

最后，添加模拟连接的SDE，连接钢筋混凝土板和工型钢的RFE边缘，就完成了模型。

图1.RFE模型：

（a）分割的梁段（初次划分）；

（b）RFE系统（第二次划分）。

每一个编号为i的RFE都有它自己独立的坐标系

。

该坐标系与给定RFE的惯性矩主轴相重叠。

在这样假设条件下，质量和惯性矩就是描述RFE所需的唯一参数。

这些参数量可以用一个对角质量矩阵的形式表示：

（1）

矩阵的前三项等于RFE的质量，后三项是RFE绕轴线的质量惯性矩。

对于平面模型，只考虑在二维平面的运动，质量矩阵降维成以下形式：

（2）

在这个将结构的连续部分分割成段而建立的模型中，可以从下面的关系式计算出RFE的参数：

（3）

其中，ρ（i）——RFE材料的质量密度，A（i）——是横截面面积;

——绕轴线

的截面惯性矩。

钢筋混凝土板或I形钢的截面积A（i）和截面惯性矩

都是用来描述RFE的。

每个编号为k的SDE都有沿自己主轴线的独立坐标系

SDE的主轴线有这样的性质——作用在SDE这些轴线方向的力只导致这个方向的平移变形。

描述SDE的主要参数是其弹簧和阻尼特性的确定系数。

对结构自振问题，阻尼特性可以忽略不计。

弹簧特性可以用两个矩阵来描述：

平动刚度系数矩阵

和转动刚度系数矩阵

两个矩阵都是3×

3的对角矩阵。

（4）

这些矩阵，比如质量矩阵，在平面坐标系中分析时可以降维。

在确定二维平面上的运动时，矩阵应采用以下形式：

（5）

钢筋混凝土板和工型钢的SDE模型的平移和旋转刚度系数，可以用下面的关系式计算：

（6）

其中，E（k）——杨氏弹性模量，G（k）——剪切模量（Kirchhoff模量）;

χ（k）——考虑非均匀切向应力模式的横截面形状系数（Timoshenko剪切系数）。

系数的计算方法见文献[1]。

SDE的连接模型矩阵

中的元素等于剪切连接刚度Kh和轴向连接刚度Kv。

在这种情况下，假设旋转刚度系

数为零。

刚度矩阵K是在平动刚度系数和转动刚度系数的基础上建立的。

惯性矩阵M是在独立的质量矩阵的基础上建立的。

矩阵建立的方法详见由Kruszewski等人的[16]和Wittbrodt等人的[15]。

从一般的运动微分方程得到的自由振动的微分方程，在忽略了外界的对梁作用，并忽略了阻尼效应之后，可以写成以下形式：

（7）

其中，q——广义坐标向量。

以上确定自由振动的频率和对应振型的方程解法，在文献[18]中有详细描述。

2.3模型参数的估算

需估算的参数包括：

（i）连接的剪切刚度Kh，（ii）轴向刚度Kv（垂直于梁的轴向方向）和（iii）钢筋混凝土楼板在考虑了纵向钢筋时的等效弹性模量Ec。

模型中使用的其他参数均取自文献或梁的数据库。

指数S是在试验得到的前n个弯曲振动频率的相对差的平方和。

（10）

其中，n——所选的频率数量。

指数Z是MAC的平均补值。

因此，在进行优化时，考虑到了不同振型。

（11）

MAC（模态保证准则）是使试验方法和数值模拟计算出的振型相符合的一个标准。

当MAC值接近1时，振型结果匹配得更好。

（12）

参数估算时采用以下形式的优化标准：

J=wf⋅S+wφ⋅Z（13）

这种方法允许同时优化指数S和Z。

在估算的过程中，考虑到频率和振型，对频率（指数S）和振型（指数Z）分别采取适当的权重函数wf和wφ。

要使用这样的权重函数，需确定在估算的过程中振动频率和振型的重要性。

类似的解决方法在Mordini的[12]中提出。

已采用的附加标准，是纵向振动基本频率的试验值与数学计算值的兼容条件（14）。

该算法假定的限制条件（14），对确定楼板弹性模量EC的影响最大。

（14）

为了确定能让振型和频率与试验结果有最佳映射关系的模型参数，指数J已经最小化了。

为了解决这个问题，在MATLAB环境下实现优化程序。

3.应用实例

3.1组合梁

研究所使用的组合梁是由S235JRG2钢制成的IPE160热轧工字钢，连接到一块由C25/30混凝土制成的横截面为60×

600mm的混凝土板。

梁B1和B2的韧性连接是，由S235J2G3钢制造的，直径为10mm，高为50mm的KOCO-SD型双头螺柱。

在梁B1和B2中，分别间隔150mm和250mm放一对螺栓。

梁B3通过穿孔的钢条板进行刚性连接。

条板是由S235JRG2钢制成的厚度为10mm的钢板。

条板通过4mm厚的角焊缝焊接于梁上。

梁的总长是3200mm。

三条组合梁中的连接件分布见图1、图2和图3。

图2.组合梁中连接件分布:

（a）B1;

（b）B2;

（c）B3.

图3.组合梁剖面图

3.2试验研究

试验台由两个钢架组成。

动态测试​​时,通过四束钢丝将梁悬挂在钢架上，形成一个可以自由运动的梁。

试验台和悬挂梁见图4。

图4.试验台和悬挂梁

进行测试时,使用脉冲激励型号为KISLER9726A20000的模型锤。

通过KISLER8692C5M1型三向轴压电传感器记录加速度。

记录加速度的测量点，沿梁长（工型梁的底部凸缘有9个测量点和混凝土板的上表面有三行共27个测量点）每间隔375mm均匀分布。

有关测试的详细描述见[1]。

在分析钢筋混凝土或组合结构的动态特性时，应考虑动态的纵向弹性模量Ed,而不是静态的割线模量Ecm。

模量Ed可以通过下式估算：

Ed=0.8Ecm+C（15）

其中,C是等于19GPa的常数。

这个表达式借用了英国标准：

结构用混凝土CP110：

1972。

这个关系式中,研究使用的混凝土的动态弹性模量为33.1GPA。

在此基础上，钢筋混凝土板的等效弹性模量Ec考虑了板中纵筋的影响，它的计算值是36.0GPA。

3.3模型描述

现在还没有专业的RFE计算软件，于是我们在MATLAB环境中编写源程序来解决这个问题。

该程序能解决组合梁的自振问题，并控制梁的所有其它参数。

对梁B1和B2，采用的划分方法可以使得放置的SDE能体现RFE对称轴上螺栓的属性。

梁B1被分成22段：

中间20段长150mm，两端的长100mm。

模型最后由46个SDE（23个钢筋混凝土板的SDE和23个钢梁的SDE）和65个RFE组成。

梁模型见图5。

图5.梁B1的RFE模型：

（a）梁的区段划分

（b）梁的RFE划分

梁B2被分成26个段：

中间24段长125mm，两端的长100mm。

在这种情况下，由于取区段数n=20,所以要增加每段螺栓的分布密度[1]。

这种RFE密度划分方法,使得有代表性的连接螺栓放在每间隔一个SDE的位置。

梁B3的连接可以视为均匀放置，而不是由连接板条的分布密度确定初次划分。

因而梁被分为32段，每段100mm，模型最终由66个通过99个RFE连接的SDE组成。

3.4估算结果

采用标准（13），进行了以下的数值试验。

在第一阶段的参数估算，标准（13）取最小值，假设wf=1.0,wφ=0.0。

这意味着，在估算过程中只对自振频率进行比较。

从估算结果可以看到,自振频率的试验值和数值计算结果的一致性较好（见表1）。

梁B1和B3相差在1％以下。

对于梁B2,最大相差1.1％。

表1.自振频率的动态试验结果与数值计算结果比较

——第一次估算，取wf=1.0，wφ=0.1

通过引入不同的初始值,使用收敛迭代算法进行测试，来确定模型的参数。

每次迭代得到的变量估算结果都很相似。

图6给出了梁B1的第四振型。

使用ΔS表示钢部分——○和混凝土部分——□的垂直位移差。

组合梁这两个部分沿垂直方向的位移差，是由连接在该方向的变形造成的，这将影响参数Kv的确定。

这些差异在数学模型和进行的试验测试都有所表现。

分析图6可以清楚地看到，在试验测试结果中，钢和混凝土在垂直方向上的协同工作情况比数值模型要好。

因此，可以假定，刚度Kv确定得太小，不能代表钢和混凝土在测试过程中观察到的协同水平（图6a）。

图6.梁B1在第4振型时,试验和数值结果的ΔS比较：

（a）试验数据（b）振型在试验和数值的ΔS比较（c）估算的数值数据

第二阶段,取权重wf＝0.6,wφ=1.0时,估算结果如下。

当检查表2时,有人指出，对Eq引入MAC（13）导致频率的结果相差较大,并且,确定出的参数KV偏大。

这意味着，在估算过程中,考虑了振型之后，更能精确地描述连接沿垂直方向的行为。

表2.自振频率的动态试验结果与数值计算结果比较

——第二次估算，取wf＝0.6,wφ=1.0

在估算过程中，考虑了振型对MAC值的影响后，提高了问题中振型的一致性，如图7所示。

从图7（b）可以显示了，第一次和第二次数值估算的值与试验值的ΔS。

分析图7（b）可以清楚地看出，梁的第二次估算值的最大值与试验数据的最大值都差不多，更好地呈现了试验测试和RFE模型的一致性。

在模型参数的估算中，引入MAC系数大大提高了振型的一致性，而略减小了（改变了2-3％左右）自振频率的一致性。

这种程度的一致性，似乎是频率和振型在解析模型与观察试验之间一致性的一个合理折衷。

图7.第二次估算中，梁B1第4振型的试验和数值数据的ΔS比较：

（a）试验数据（b）振型在试验和数值的Δs比较（c）第二次估算的数值数据

4.讨论

我们经过分析，发现了当已经估算出的参数Kh、Kvi和Ec变化时，对所获得的结果的影响。

我们对每一个待定的参数，都进行了单独的分析。

本文包含了梁B1的分析结果。

参数是在估算的第二阶段确定的，即，将连接的刚度和钢筋混凝土板的动态弹性模量假定为初始值，表示为Kh0，Kv0和Ec0。

在计算时，首先，把剪切刚度Khi作为唯一变量，让它从初始值Kv0的30％到170％范围内变化。

然后，是轴向刚度连接Kv，也在相同范围内进行变化。

最后，等效弹性模量Ec也从其初始值的60％到140％范围内变化。

所得结果列在图8、图9和图10。

图8.梁B1的自振频率随刚度Kh的变化情况

图9.梁B1的自振频率随刚度Kv的变化情况

图10.梁B1的自振频率随刚度弹性模量Ec的变化情况

图8中曲线的分析结果表明，当连接的剪切刚度Kh增加时,会增加所有参与分析的弯曲振动的频率。

另一方面，轴向振动的频率不会受到Kh变化的影响。

在轴向刚度KV变动时,可以观察到,自然弯曲振动的敏感度和频率之间有明确的关联。

当刚度变化时,自然弯曲振动的频率越高，它就越敏感。

轴向振动的基本频率，正如早期所观察到的一样,对刚度Kv的变化不敏感。

图8和图9的曲线图的比较揭示，低频率的弯曲振动对刚度Kh的变化更敏感，而高频率的对轴向刚度KV的变化更为敏感。

这是由于，弯曲振动频率的增加,伴随着使梁的钢和混凝土部分在垂直方向上相分离的惯性力的增加。

这种情况下，当钢筋混凝土板的等效纵向弹性模量Ec改变（见图10）时，轴向振动的频率f1long对其最为敏感。

这证明,在参数估算过程中考虑标准（14）是一个正确的决定。

参数Ec的确定起到了决定性的作用。

应该指出的是,等效弹性模量的平均估算值，达到了Ec=33.8GPA，略低于混凝土材料的试验值，即Ec=36.0GPA（见第3.2章）。

这百分之几的差异,是由测定模量Ed时使用Eq的简化方法（15）引起的。

因为,对于水泥浆含量较高的混凝土,由于使用的混凝土总厚度不大于8mm,该方程中包含的常数C取19GPa并不恰当。

5.结论

数次测试结果表明，该钢-混凝土组合梁的数学模型参数估算算法具有很好的收敛性。

可以用模型代表实际的组合梁，并确定与试验过程中相似的动力特性。

对组合梁模型的参数进行估算时，选择适当的权重函数，对结果的准确性有很大影响。

我们旨在使测试中观察得到的频率和振型与分析模型计算的结果一致。

对于组合梁模型的参数，认定标准的选择是否恰当，对结果的精度会显著的影响。

改变标准并确定标准成分的灵敏度之后，振型将有更好的一致性。

然而，这种改变会使得自振频率的一致性有所降低。

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译文原文出处：

T.Wró

blewski,S.Berczyński,M.Abramowicz.Estimationoftheparametersofthediscretemodelofasteel–concretecompositebeam[J].elsevier,June2013,13

（2）:

209–219.