沪科版数学八年级上册第14章整合提升试题及答案Word格式文档下载.docx
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4．在△ABC中，∠BAC＝60°
，∠C＝40°
，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：
AB＋BP＝BQ＋AQ.
倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
（1）求证：
AB＋AC>
2AD；
（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
（第5题）
截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：
BC＝AB＋CD.
（第6题）
专训三：
全等三角形的四种常见实际应用
利用三角形全等解决实际问题的步骤：
（1）明确应用哪些知识来解决实际问题；
（2）根据实际问题抽象出几何图形；
（3）结合图形和题意分析已知条件；
（4）找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．
利用三角形全等测量池塘两端的距离
1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°
，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗？
利用三角形全等测量物体的内径
2．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.
（第2题）
利用三角形全等判断三点是否共线
3．如图，公园里有一条“Z”形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路路旁各有一个石凳E，M，F，且BE＝CF，石凳M在BC的中点处，试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？
为什么？
利用三角形全等解决工程中的问题
4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35cm，点B与点O的垂直距离AB长20cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？
专训四：
几类常见的热门考点
本章主要学习了全等三角形的性质与判定，其考查形式有利用全等三角形证明线段或角的数量关系，求线段的长度或角的度数，判断位置关系，以及利用全等三角形解决实际问题等．
全等三角形的性质
1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列等式中不正确的是（ ）
A．AB＝AC
B．∠BAE＝∠CAD
C．BD＝CE
D．AD＝DE
2．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A′＝50°
，∠B＝∠B′＝60°
，AB＝15cm，则∠C′的度数为________，A′B′的长度为________．
3．如图，已知△ABC≌△ADE，BC边的延长线交AD于点F，交AE的延长线于点G，∠ACB＝105°
，∠CAD＝15°
，∠ADE＝25°
，求∠DFB和∠G的度数．
全等三角形的判定
4．在△ABC和△A′B′C′中，下列各组条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
①AB＝A′B′；
②BC＝B′C′；
③AC＝A′C′；
④∠A＝∠A′；
⑤∠B＝∠B′；
⑥∠C＝∠C′.
A．具备①②③B．具备①②④
C．具备③④⑤D．具备②③⑥
（第5题）
5．如图，已知BC＝EC，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为________（只需填一个）．
6．（中考·
宁德）如图所示，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，∠B＝∠D.
△ABC≌△CDE.
全等三角形的性质与判定的综合应用
7．如图，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝100°
，∠BAE＝70°
，下列结论错误的是（ ）
（第7题）
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠DAE＝40°
D．∠C＝30°
8．（2014·
黄冈）如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：
DE＝DF.
（第8题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°
后得CE，连接EF.
（第9题）
△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
全等三角形在实际问题中的应用
10．某校七（3）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案：
方案一：
如图①，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，延长BC到点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B之间的距离．
（第10题）
方案二：
如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为A，B之间的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案一是否切实可行？
________，理由是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
（2）方案二是否切实可行？
（3）方案二中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是__________________________；
若∠ABD＝∠BDE，但不一定垂直，方案二是否成立？
__________________．
数学思想方法的应用
a．转化思想
11．如图，AB＝DC，∠A＝∠D.求证：
∠ABC＝∠DCB.
（第11题）
b．分类讨论思想
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．
（第12题）
c．类比思想
13．在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，E点和F点分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，如图①，则可以得到以下两个结论：
①∠AED＋∠AFD＝180°
；
②DE＝DF.那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED＋∠AFD＝180°
，如图②，则DE与DF是否仍相等？
若仍相等，请证明；
否则请说明理由．
（2）若DE＝DF，则∠AED＋∠AFD＝180°
是否成立？
（只写出结论，不证明）
（第13题）
答案
专训一
1．证明：
如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°
，∠2＋∠BAC＝90°
.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.
∵∠N＋∠4＝90°
，∴∠3＋∠4＝90°
，即∠MAN＝90°
.∴AM⊥AN.
2．
（1）＝
（2）证明：
将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，
∵MN∥BC，RC∥EH，
∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，
易得∠GRC＝∠RGC，过点C作CZ⊥GR，∴∠CZR＝∠CZG＝90°
，
又∵CZ＝CZ，∴△CZR≌△CZG，
∴CR＝CG.
又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH.∴CG＝HE.
由平移的性质得BC＝EF，
∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.
易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG（SAS），
∴BH＝FG.
3．解：
猜想：
EF＝BE＋AF.
证明：
∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°
∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°
∠BCA＝α＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠ACF.
又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，
∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.
4．解：
在题图
（2）中结论仍成立；
在题图（3）中不成立．
对于题图
（2）证明如下：
如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，
则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°
.
又∵∠A＝∠ABC，∠AMD＝∠BND＝90°
且易知DA＝DB，
∴△ADM≌△BDN，∴DM＝DN.
∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°
，∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°
∴∠MDE＝∠NDF.
∴△DME≌△DNF.
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF＋S△CEF.由题图
（1）可知S四边形DMCN＝
S△ABC，∴S△DEF＋S△CEF＝
S△ABC.
在题图（3）中，S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的关系是S△DEF－S△CEF＝
专训二
如图，延长AD交BC于点F.（相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE）
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD（ASA）．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.
2．证明：
如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°
，∴∠2＋∠ACF＝90°
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°
，∴∠1＋∠ACF＝180°
－∠AEC＝180°
－90°
＝90°
.∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
∴△ACD≌△CBG（ASA）．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°
，∠DBF＝45°
，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°
－45°
＝45°
.∴∠DBF＝∠GBF.
在△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF（SAS）．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
点拨：
本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．
如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°
，∠D＝90°
，∴∠D＝∠ABH＝90°
在△ABH和△ADF中，
∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°
∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在△AEH和△AEF中，
（第3题）
∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝
∠HAF＝45°
图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°
，使AD边与AB边重合，得到△ABH.
4．证明：
过点O作OD∥BC交AB于点D，
∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°
∴∠ABC＝80°
.∴∠ADO＝80°
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°
.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°
.∴∠ADO＝∠AQB.
易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.
∴OD＝OQ，AD＝AQ.
又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.
又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.
∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°
又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.
∴BD＝OD.∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°
，∠ABC＝80°
，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°
，∠ABQ＝40°
，∴∠BOP＝70°
∵∠BAP＝30°
，∴∠APB＝70°
∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，
∴∠BNO＝∠BNP＝90°
又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.
∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.
5．
（1）证明：
延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>
AE，∴AB＋AC>
2AD.
（2）解：
∵AB－BE<
AE<
AB＋BE，
∴AB－AC<
2AD<
AB＋AC.
∵AB＝5，AC＝3，∴2<
8.∴1<
AD<
4.
本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题．
6．证明：
方法一：
如图①，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE（SAS）．∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°
而∠5＋∠6＝180°
，∴∠6＝∠D.
在△EFC和△EDC中，
∴△EFC≌△EDC（AAS），
∴FC＝DC.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
方法二：
如图②，分别延长BA，CE交于点F.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°
∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，
∴∠1＝∠2＝
∠ABC，∠3＝∠4＝
∠BCD.
∴∠2＋∠3＝
（∠ABC＋∠BCD）＝90°
∴∠BEC＝90°
.∴∠BEF＝∠BEC＝90°
在△BEC和△BEF中，
∴△BEC≌△BEF（ASA）．∴BC＝BF，EC＝EF.
∵AB∥CD，∴∠7＝∠D，∠F＝∠4.
在△EAF和△EDC中，
∴△EAF≌△EDC（AAS）．∴FA＝CD.
∴BC＝BF＝BA＋AF＝AB＋CD.
本题运用了两种不同的方法解题，方法一是截长法，方法二是补短法，这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法，用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形，将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段．
专训三
1．解：
因为∠ACB＝90°
所以∠ACD＝180°
－∠ACB＝90°
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC（SAS）．
所以AB＝AD.
2．解：
可设计如图所示的工具，其中AC＝BD，O为AC，BD的中点．
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD（SAS）．
所以AB＝CD，即CD的长就是A，B间的距离．测出CD的长为b.
因为AB＝a－2x，所以x＝
＝
三个石凳E，M，F恰好在一条直线上．
理由：
分别连接EM，MF.
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，
∵M是BC的中点，∴BM＝CM，
在△BEM和△CFM中，
∴△BEM≌△CFM（SAS）．
∴∠BME＝∠CMF.
又∵∠BMF＋∠CMF＝180°
∴∠BMF＋∠BME＝180°
∴三个石凳E，M，F恰好在一条直线上．
所以∠AOB＝∠COD.
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°
所以∠BOC＋∠COD＝180°
即∠BOD＝180°
.所以D，O，B三点在同一条直线上．
所以钻头沿着DO的方向打孔，一定从点B处打出．
专训四
1．D
2．70°
15cm
∵∠CAD＝15°
，∠ACB＝105°
∴∠AFC＝∠ACB－∠CAD＝105°
－15°
∴∠DFB＝180°
－∠AFC＝180°
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE＝25°
∴∠CAB＝180°
－（∠ABC＋∠ACB）＝180°
－（25°
＋105°
）＝50°
∴∠DAE＝∠CAB＝50°
∴∠G＝180°
－50°
＝40°
4．B
5．∠ACB＝∠DCE或∠BCE＝∠ACD或∠B＝∠E
∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠DCE.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
7．C
8．证明：
连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DCF＝∠DBE.
又∵∠DFC＝∠DEB＝90°
，DC＝DB.
∴△DFC≌△DEB，∴DF＝DE.
9．
（1）证明：
∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°
后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°
，∴∠BCD＝90°
－∠ACD＝∠FCE.
在△BCD和△FCE中.
∴△BCD≌△FCE.
由△BCD≌△FCE，得∠BDC＝∠E.
∵EF∥CD，∴∠E＝180°
－∠DCE＝90°
∴∠BDC＝90°
10．解：
（1）可行；
满足边角边判定法可判定△ABC≌△DEC，因而AB＝DE
（2）可行；
满足角边角判定法，可判定△ABC≌△EDC，因而AB＝DE
（3）使∠ABC＝∠EDC；
成立．
11．证明：
如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.
在△ABN和△DCN中，
∴△ABN≌△DCN（SAS）．
∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.
在△NBM和△NCM中，
∴△NBM≌△NCM（SSS）．
∴∠NBC＝∠NCB.
∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，
即∠ABC＝∠DCB.
添加辅助线构造全等三角形是常用的解题方法，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，构造全等三角形，将证明角相等，转化为证明三角形全等，分散证明，体现了转化思想的运用．
12．解：
∵D为AB的中点，AB＝10cm，∴BD＝AD＝5cm.设点P运动的时间是xs，则BP＝CQ＝3xcm，CP＝（8－3x）cm.若BD与CQ是对应边，则BD＝CQ，∴5＝3x，解得x＝
，此时BP＝3×
＝5（cm），CP＝8－5＝3（cm），BP≠CP，故舍去；
若BD与CP是对应边，则BD＝CP，∴5＝8－3x，解得x＝1，符合题意．综上，点P运动的时间是1s.
由∠B＝∠C可知DP与PQ是对应边，而其他两组对应边的对应关系不确定，因此要分BD与CQ是对应边、BD与CP是对应边两种情况考虑，体现了分类讨论思想的运用．
13．解：
（1）相等．证明：
如图，作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，H.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAG＝∠DAH，∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴∠AGD＝∠AHD＝90°
又∵AD＝AD，
∴△AGD≌△AHD，
∴DG＝DH.
∵∠AED＋∠AFD＝180°
∠DFH＋∠AFD＝180°
∴∠AED＝∠DFH.
在△GDE和△HDF中，
∴△GDE≌△HDF.∴DE＝DF.
（2）成立．
本题运用了类比思想，由题图
（1）联想到题图
（2）辅助线的作法．探究中的两个小题只是交换了已知和结论，考虑
（2）题时要在
（1）题的基础上逆向思考．
专训一：
全等三角形判定的三种类型
一般三角形全等的判定方法有四种：
SSS，SAS，ASA，AAS；
直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简便的方法来解题．
已知一边一角型
题型1 一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
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