高等代数例题全部.docx
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高等代数例题全部
高等代数例题
第一章多项式
23
1.P442
（1）m、p、q适合什么条件时，有x+mx_1x+px+q
2.P457设f（x^x3（1t）x22x2u,g（x^x3txu的最大公因式是一个二次多项式，求t、
u的值。
3.P4514证明：
如果（f（x）,g（x））=1，那么（f（x）g（x）,f（x）g（x））=1
3
4.P4518求多项式x-pxq有重根的条件。
5.%24证明：
如果（X—1）f（xn），那么（Xn—1）f（xn）
6.P4625证明：
如果（X2+x+1）|fjx3）+xf2（x3），那么（X—1）t（x）,（X—1）f2（x）
7.P4626求多项式xn-1在复数域内和实数域内的因式分解。
&P4628（4）多项式Xppx1（p为奇素数）在有理数域上是否可约？
9.P471设f/x）=af（x）bg（x）,g1（x^cf（x）dg（x），且ad-be=0。
求证：
（f（x）,g（x））=（f1（x）,g^x））。
10.P485多项式m（x）称为多项式f（x）,g（x）的一个最小公倍式，如果
（1）f（x）m（x）,g（x）m（x）；
（2）f（x）,g（x）的任意一个公倍式都是m（x）的倍式。
我们以［f（x）,g（x）］表示首项系数为1的那个最
小公倍式。
证明：
如果f（x）,g（x）的首项系数都为1,那么［f（x）,g（x）］f（x）g（x）
（f（x）,g（x））
11.设m、n为整数，
g（x）二xx1除f（x）二xx-2所得余式为。
12.求证：
如果d（x）|f（x）,d（x）|g（x），且d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，那么d（x）是f（x）与
615
433
12
1
“\14
13
32,
f（x）=xX
-xX
X
-x-
g（x）x
X
xxT
2
2
2
2
4
4
4
g（x）的一个最大公因式。
13.
求f（x）,g（x）。
证：
g（x）|f（x）。
14.设f（x）=（x1）2m-x2n-2xT（m,n是正整数）,g（x）=x2x
第二章行列式
1.P965如果排列XMzIHXn/Xn的逆序数为k，排列xnxnX2X1的逆序数是多少?
b+c
c+a
a+b
a
b
c
5.P
9814
d+G
G+印
a^i+d
=2
a1
bi
C1
b2
c2+a2
a2+b2
a2
b
c2
（2）由行列式性质，求P（x）的根。
0III1■
0
0
IH
IH
0
2
1
0
0
0
2.P978（3）
+
+
+
►
1
h
■
■
■
+
+
+
n-1
川
0
0
0
0
川
0
0
n
（：
1）（：
1：
2）（：
1：
2：
3）=
10.若四阶行列式D的第二列的元素依次是-1,2,0,1,它们的余子式分别为5,3,-7,4,
则D-
X—2
X—1
x-2
x-3
2x-2
2x-1
2x-2
2x-3
若f（x）=
，则f（x）=0的根的个数为
3x-3
3x-2
4x—5
3x-5
4x
4x—3
5x-7
4x—3
（A）1
（B）
2
（C）
3
（D）
耳中扎
a2
a3
川
an
a1
a2+九
a3
川
an
计算行列式
Dn=
q
a2
a3十丸
川
an
III
III
III
in
HI
q
a2
a3
IH
an朴
4
1
0
0
0
a1
11.
12.
a2
an
的每个向量都可以被它们线性表示，证明an，川,叫是a仆〜川］,0^的一个极大线性无关组。
4.R5612证明：
如果向量组（I）可由向量组（n）线性表示，那么（I）的秩不超过（n）的秩。
+X2
+X3
=1
5.P|5719
（1）人取什么值时下列线性方程组有解，并求解：
{x1
+》必
+X1
=九
+X1
+?
^x1
=A
"咅+x2+
x3+
X4+
X5=
1
3为+2%十
X3+
X4—
3x5=
a
6.R5722a,b取什么值时，线性方程组<
X2+
2x3+
2x4+
6X5=
3
5%+4屜十
3x3+
3X4—
X5=
b
有解？
在有解的情形，求一般解。
7.R591设向量B可以经向量组％,。
2,川,％线性表示，证明：
表示法唯一的充分必要条件是
〉1,〉2」l|,〉r线性无关。
&R594已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：
这两个向量组等价。
anX1
821X1
+
+
812X2
822X2
+III
+III
+
+
a1nxn
a2nxn
=0
=0
9.R597线性方程组』
IH
_务~1,必
+
an42X2
+III
+
an-1,nXi
=0
f
如
a12III
a1n
a21
a22III
a2n
的系数矩阵为A=
*
■h
*
■F
■b
*
*
ian-4,1
a
気斗2HI
an4,n丿
设Mi是矩阵A中划去第i列剩下的（n-1）（n-1）矩阵的行列式。
（1）证明：
（M1,-M2」l|,（-1）nJMn）是方程组的一个解;
（2）如果A的秩为n—1,那么方程组的解全是（Mi,-M2,|l|,（-1）n」Mn）的倍数。
10•求＞1，〉2，〉3，〉4的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示:
：
1=（1,0,2,3,4）,:
2=（6,1,10,15,-24）,:
3=（7,1,12,0,-34）,:
4
11•设四^=[1,2,0,:
2=（1,a2,-3a）,:
3=（-1,—b—2
=（1,4,一6,0,-1）
a2b），匕=（1,3,-3）。
讨论a、b为何值时
13•设：
-1/-2,…，亠是齐次线性方程组AX=0的基础解系，向量［不是AX=0的解,
即A「0。
证明：
-,■「’，“，“，-：
＞2ts线性无关。
14•若1,2,川，s是非齐次线性方程组AX「r-0）的s个解，则t11“22•川-tss是AX八
的解的充要条件是t|t2・|||ts=1.
n
15.设整系数方程组7aijXj二bi,i=1,2,|l|,n，对任何b1,b2，…，bn均有整数解。
jT
求证：
方程组的系数矩阵A=（%）可逆，且A=1.
第四章矩阵
0）
（D）1
0
6.设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是
（A）
A的列向量线性相关，
B的行向量线性相关
（B）
A的列向量线性相关,
（C）
A的行向量线性相关，
B的行向量线性相关
（D）
A的行向量线性相关,
-11x
8.
设口为3维列向量，若
GLCL'=
-1
1-1
，则Of&
—
；1
-11丿
7•设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有
B的列向量线性相关
B的列向量线性相关
10-10'
9.A=100,P为三阶可逆矩阵，BuP^AP，贝UB2012—2A=
<00-b
々01、
10•设A=030,f（x）=2x3—7x2+4x+4，求f（A）
J02>
（102^
11.设A为4x3矩阵，B=
020
，若r（A）=2，则r（AB）
I-103丿
2
12•已知方阵A满足A—2A+3E=0
则（A+2E）-1=
[EEl
13•设E为n阶单位矩阵，求2n阶矩阵A=的逆矩阵A」。
「EE丿
14.设A、B分别是sn和nm矩阵，若AB=0，求证r（A）•r（B）乞n。
15•设n（n_2）阶矩阵A的伴随矩阵是A，求证：
A二An」。
nr（A）=n
16•设n（n_2）阶矩阵A的伴随矩阵是A，求证：
r（A”）二1r（A）二n-1。
I
0r（A）：
：
n—1
17".设A、B分别是sn和nm矩阵，求证r（AB）乞r（A）•r（B）-n。
18*•设A、B分别是mxn和n>|九Em—AB=En—BA。
第五章二次型
广1
0
2%
1•求二兀二次型f（X1,X2,X3）=（X1,X2,X3）
0
-2
0
X2
的矩阵。
1°
4
0丿
lX3丿
2.两个矩阵的秩相等是它们合同的条件。
222
X2
=C
y2
3.用配方法求二次型f（捲兀出）=Xi-2X27X3-2xm6X1X3的标准形。
4.用初等变换法求下列二次型的标准形，并求非退化的线性变换
（1）f（x「x2,x3）=2x；4x1x^2x1x3-2x2x33x32
（2）f（Xl,X2,X3）--4X1X32X1X2-X2X3
5.设A为n级实对称矩阵，A正定的充分必要条件是
（A）存在实n维列向量X=0，使XAX0
（B）对任意的所有分量都不为零的实n维列向量X，都有XAX0
（C）
（D）存在n级正定矩阵C,使A=C
A的主对角线上的元素aH0,i-1,2jl|,n
6.矩阵A是正定的，下列结论错误的是
（A）A的主对角兀全为正数
（B）A的兀素全为正数
（C）A的特征值全为正数
（D）A的顺序主子式全为正数
fA、
1.在实数域上，下列矩阵中，与A-
3
合同的是
<一2」
2
■2、
*1）
匚1）
（A）
—1
（B）
3
（C）
3
（D）
-3
<6
<2」
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