高等代数例题全部.docx

1、高等代数例题全部高等代数例题第一章多项式2 31. P44 2 ( 1 ) m、p、q 适合什么条件时，有 x+mx_1x+px + q2. P45 7 设f (xx3 (1 t)x2 2x 2u, g(xx3 tx u的最大公因式是一个二次多项式，求 t、u的值。3. P45 14 证明：如果(f(x),g(x) =1，那么(f(x)g(x), f (x) g(x) =134. P45 18求多项式x - px q有重根的条件。5. % 24 证明：如果(X1) f (xn)，那么(Xn1) f (xn)6. P46 25 证明：如果(X2 +x+1)| fjx3)+xf2(x3)，那么(X

2、1)t(x) ,(X1)f2(x)7. P46 26求多项式xn -1在复数域内和实数域内的因式分解。& P46 28 (4)多项式Xp px 1 ( p为奇素数)在有理数域上是否可约？9. P47 1 设 f/x) = af (x) bg (x), g1(x cf (x) dg(x)，且 ad - be = 0。求证：(f(x),g(x) =(f1(x), gx)。10. P48 5 多项式m(x)称为多项式f (x), g(x)的一个最小公倍式，如果(1) f (x) m(x) , g(x) m(x)；(2) f (x), g(x)的任意一个公倍式都是 m(x)的倍式。我们以f(x), g

3、(x)表示首项系数为1的那个最小公倍式。证明：如果 f (x) , g(x)的首项系数都为1,那么f(x),g(x) f (x)g(x)(f(x),g(x)11.设m、n为整数，g(x)二x x 1除f(x)二x x -2所得余式为 。12.求证：如果 d(x)| f(x) , d(x) | g(x)，且 d(x)是 f (x)与 g(x)的一个组合，那么 d(x)是 f (x)与6 1 54 3 31 21“ 1 41 33 2 ,f(x) =x X-x XX-x -,g(x) xXx x T2222444g(x)的一个最大公因式。13.求 f(x), g(x)。证：g(x) | f (x)

4、。14. 设 f (x) = (x 1)2m -x2n -2x T ( m , n 是正整数),g(x) = x2 x第二章行列式1. P96 5如果排列XMzIHXn/Xn的逆序数为k，排列xnxn X2X1的逆序数是多少?b +cc +aa +babc5. P98 14d +GG +印ai +d=2a1biC1b2c2 +a2a2 +b2a2bc2(2)由行列式性质，求 P(x)的根。0 III 1 00IHIH0210002. P97 8 (3)+1h+n -1川0000川00n（：1）（： 1 ： 2）（： 1 ： 2 ： 3） = 10.若四阶行列式 D的第二列的元素依次是 -1 ,

5、 2 , 0 , 1 ,它们的余子式分别为 5 , 3 , - 7 ,4 ,则D -X2X1x-2x-32x -22x-12x-22x-3若 f(x)=，则f（x）=0的根的个数为3x -33x - 24x53x-54x4x35x-74x3(A) 1(B)2(C)3(D)耳中扎a2a3川ana1a2 +九a3川an计算行列式D n =qa2a3十丸川anIIIIIIIIIinHIqa2a3IHan朴41000a111.12.a2an的每个向量都可以被它们线性表示， 证明an ，川,叫 是a仆川,0的一个极大线性无关组。4. R56 12 证明：如果向量组(I)可由向量组(n)线性表示，那么(I

6、)的秩不超过(n)的秩。+ X2+ X3=15. P|57 19 (1)人取什么值时下列线性方程组有解，并求解： x1+必+ X1= 九+ X1+ ?x1= A咅 + x2 +x3 +X4 +X5 =13为 + 2% 十X3 +X4 3x5 =a6. R57 22 a,b取什么值时，线性方程组 X2 +2x3 +2x4 +6X5 =35% + 4屜 十3x3 +3X4 X5 =b有解？在有解的情形，求一般解。7 . R59 1 设向量B可以经向量组 ,。2,川,线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是1,2l|,r线性无关。& R59 4已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，

7、证明：这两个向量组等价。an X1821X1+812X2822X2+ III+ III+a1nxna2nxn=0=09. R59 7线性方程组IH_务1,必+an42X2+ III+an-1,n Xi=0f如a12 IIIa1na21a22 IIIa2n的系数矩阵为A =*h*Fb*ian -4,1a気斗2 HIan4,n 丿设Mi是矩阵A中划去第i列剩下的(n -1) (n-1)矩阵的行列式。(1) 证明：(M1, -M2l|,( -1)nJMn)是方程组的一个解;(2) 如果A的秩为n 1,那么方程组的解全是 (Mi, -M2,|l|,(-1)nMn)的倍数。10求1，2，3，4的一个极大

8、线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示:：1 =(1,0,2,3,4) , : 2 =(6,1,10,15,-24), : 3 =(7,1,12,0,-34), : 411设四 =1, 2, 0 , : 2=(1, a 2, -3a) , : 3 =(-1, b2=(1,4,一6,0,-1)a 2b)，匕=(1, 3, -3)。讨论a、b为何值时13设：-1/-2,，亠是齐次线性方程组 AX =0的基础解系，向量不是AX =0的解,即A0。证明：-,，“，“，-：2 ts 线性无关。14若1, 2,川，s是非齐次线性方程组 AXr - 0 )的s个解，则t1 1 “2 2 川-ts

9、s是AX八的解的充要条件是t| t2| ts =1 .n15.设整系数方程组 7 aijXj二bi , i =1,2,|l|, n，对任何b1, b2，bn均有整数解。 j T求证：方程组的系数矩阵 A =(%)可逆，且 A = 1.第四章矩阵0）(D) 106.设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是(A)A的列向量线性相关，B的行向量线性相关(B)A的列向量线性相关,(C)A的行向量线性相关，B的行向量线性相关(D)A的行向量线性相关,-1 1 x8.设口为3维列向量，若GLCL =-11 -1，则 Of &；1-1 1丿7设A、B为满足AB =0的任意两个非零矩阵，则

10、必有B的列向量线性相关B的列向量线性相关10 -1 0 9. A= 1 0 0 , P 为三阶可逆矩阵， BuPAP，贝U B2012 2A = (1 0 211.设A为4 x 3矩阵，B =0 2 0，若 r(A) =2，则 r(AB)I-1 0 3 丿212已知方阵A满足A 2A+3E=0,则(A + 2E)-1 =E El13设E为n阶单位矩阵，求 2n阶矩阵A= 的逆矩阵 A。E E丿14.设A、B分别是s n和n m矩阵，若AB = 0，求证r(A) r(B)乞n。15设n ( n _ 2)阶矩阵A的伴随矩阵是A，求证： A 二 An。n r(A) = n16设n ( n_2)阶矩阵

11、 A的伴随矩阵是 A，求证：r(A”)二1 r(A)二n-1 。I0 r(A) ： n117 .设A、B分别是s n和n m矩阵，求证r(AB)乞r( A) r(B) - n。18* 设A、B分别是mxn和nm矩阵，mn，人是非零数，求证：|九Em AB =En BA。第五章二次型广102 %1 求二兀二次型 f (X1,X2, X3) =(X1, X2,X3 )0-20X2的矩阵。140丿lX3丿2 .两个矩阵的秩相等是它们合同的 条件。2 2 2X2=Cy23.用配方法求二次型 f (捲兀出)=Xi -2X2 7X3 -2xm 6X1X3的标准形。4.用初等变换法求下列二次型的标准形，并求

12、非退化的线性变换(1) f (xx2, x3) = 2x； 4x1x2x1x3 -2x2x3 3x32(2) f(Xl,X2,X3)- -4X1X3 2X1X2 -X2X35.设A为n级实对称矩阵， A正定的充分必要条件是(A)存在实n维列向量X = 0，使XAX 0(B)对任意的所有分量都不为零的实 n维列向量X，都有XAX 0(C)(D)存在n级正定矩阵C ,使A =CA的主对角线上的元素 aH 0 , i -1,2jl|,n6.矩阵A是正定的，下列结论错误的是(A) A的主对角兀全为正数(B) A的兀素全为正数(C) A的特征值全为正数(D) A的顺序主子式全为正数f A 、1.在实数域上，下列矩阵中，与 A-3合同的是 一222 、*1 )匚1 )(A)1(B)3(C)3(D)-3 6 2