应用凹凸函数的性质证明不等式解读Word文档格式.docx
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n
≤f（x1+f（x2+…+f（xn
当且仅当x1=x2=…,=xn时取等号
（对于凸函数不等式方向相反.由凹函数的
定义可知y=x2（x∈R,y=
1
x
（x>
0为凹函数.事实上,任给x1,x2∈R,都有
x21+x22≥12
（x21+2x1x2+x2
2=2（
x1+x22
∴ y=x2 （x∈R是凹函数.对于任意x1,x2∈R+,
1x1
+
1x2
=x1+x2x1x2≥
2x1x2
x1x1
=
≥
故 y=
1x
x∈R+是凹函数.
利用定义我们还可以证明 y=sinx,
x∈（0,Π是凸函数.下面我们应用凹（或凸
函数的性质,给出某些不等式的证明.
例1 已知Α为锐角,求证:
（1+1sinΑ（1+1
cosΑ
≥3+22.
证明 ∵ Α为锐角,
∴ sinΑ>
0, cosΑ>
0.
又 y=
（x∈R+为凹函数,∴ （1+
1sinΑ（1+1
=1+1sinΑcosΑ+1sinΑ+
cosΑ ≥1+2sin2Α+
sinΑ+cosΑ
=1+2sin2Α+
4
2sin（Α+
Π4
≥1+2+4
=3+22.
例2 已知A1,A2,A3,…,An是凸n边形的n个内角.求证:
sinA1+sinA2+…+sinAn≤nsin（n-2Π
.
证明 由平面几何知识可知 Ai∈
（0,Π,i=1,2,3,…,n,且A1+A2+…+An
=（n-2Π.又y=sinx,x∈（0,Π
是凸函数.
∴ sinA1+sinA2+…+sinAn≤n
sinA1+A2+…+An
n=nsin（n-2Πn
而已知A、B、C为△ABC的内角,
则 sinA+sinB+sinC≤
33
是上
述命题中n=3时的特例.
例3 已知a+b+c=1,且a、b、c∈R+,求证:
（a+1a2+（b+1b2+（c+1c2≥102
3
证明 （a+
1a
2+（b+1b
2+（c+1c
≥3[
（a+
+（b+
1b
+（c+1c
]2
=3[
（a+b+c+
（1a
+1b
1c
≥3（
+133
a+
b+c
2=3×
（13+32=102
应用上题方法可以得到下面的结
7
42004年第11期 中学数学
概率小议
——兼谈广东省2004年高考第13题510631 华南师范大学数学系 孙道椿
1概率的统计定义:
记某个随机事件为A,若在u次彼此无关的试验（或观察中出现了v次,则称Fu（A=v
u
为随
机事件A在u次独立试验中出现的频率.事件
A发生的频率v
会在某一常数P附近摆动,
且当u越大时,这种摆动幅度越小,则称常数P为事件A的概率,记为P（A.
概率的统计定义是一种最基础的定义.它说明了事件的概率是客观存在的.也给出了概率的最原始的求法.从定义可以看出,我们指的随机现象应具有二个条件:
①不确定性:
每次实验的结果（事件具有多个可能性,且不能确定每次试验会出现哪种结果.
②可重复性:
在相同的条件下,试验可重复进行;
或者可以同时进行多次的相同试验.
平常,人们对第一个条件——不确定性映象很深.对第二个条件——可重复性,往往容易忽视.从定义可以看出,概率论是一门实践性很强的科学.忽视了可重复性,就忽视了它的重要基础.
有些事情:
比如美国的总统选举.虽然选举前不能确定它的结果,但它不满足可重复性.所以它不是数学中所指的随机现象.因此也不存在“概率”的问题,实际生活中也很少有人问它的概率大小.如果有四人预测美国的选举结果:
甲说“布什有95◊的可能当选.”
乙说“布什有50◊的可能当选.”
丙说“布什有5◊的可能当选.”
丁说“布什肯定不会当选.”
若结果是布什当选了,上面仅有丁一人说错,若布什没有当选,上面四人全没有错,由于美国的选举不可重复.实际上,前面三人说的话是不可验证的,它只是反映了说话人的主观态度及认识,在概率论中是无意义的.
一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验（而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处
论:
当x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1时,则有
（x1+1
x12+（x2+1
x2
2+…+（xn+1
xn
≥（n2+12
例4 设a、b、c为△ABC的三边,S是
△ABC的面积.求证:
a2+b2+c2≥43S.
（第三届国际中学生竞赛题证明 a2+b2+c2≥ab+bc+ca
=absinC
sinC
bcsinA
sinA
casinB
sinB
=2S（
.①
又 y=1
（x>
0为凹函数,
∴ 2S（1
sinA+
≥2S3
sinA+sinB+sinC
=2S
9
.②
即 y=sinx, x∈（0,Π为凸函数,
又 sinA+sinB+sinC
≤3sinA+B+C
③
由①②③可得
a2+b2+c2≥2S
=43S.
通过以上几个不等式的证明,对比常见
的证明方法,显然利用凹（或凸函数的性质
证明不等式要简捷得多.同时我们还可以看
到应用函数的凹凸性证明不等式,不仅可以
巩固有关基础知识,使得某些复杂问题简单
化,而且可以培养学生的解题技巧,发展学生
的思维能力.
（收稿日期:
20040910
84中学数学 2004年第11期
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