高中数学人教B版必修2《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》青年教师参赛教学设计2.docx

高中数学人教B版必修2《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》青年教师参赛教学设计2.docx

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高中数学人教B版必修2《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》青年教师参赛教学设计2

2014年全国高中数学青年教师展评课分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计（重庆涪陵实验中学）

一、教学内容解析

（一）教材的地位和作用

本节课是人教版《数学》选修2-3第一章第一节（第一课时）。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。

返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础。

从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。

这样做的目的是为了分解问题、简化问题。

由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。

（二）教学目标

1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；

2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；

3．经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。

（三）教学重点与难点

重点：

归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。

难点：

正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征、正确地区分“分类”或“分步”。

二、学生学情分析：

1.认知基础：

在学习必修2“古典概型”时突出了树形图、列举法在计数中的作用；在学习和生活中，我们会不自觉地使用“分类”和“分步”的方法来思考解决问题。

2.能力基础：

高二学生有较强的观察能力和数学抽象概括能力。

3.可能障碍：

一是应用原理的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题。

三、教学策略分析：

（一）教法分析

对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质。

因此我采取引导学生分析典型事例，归纳共同特征，进一步抽象概括出两个原理的本质特征，最后通过应用示例，小组讨论，加深对原理的区分和思想方法的理解。

（二）学法指导

学生已具备一定的计数能力（树形图、列举法等），能解决一些基本的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。

但是要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和帮助。

而当归纳总结得出分类加法计数原理之后，运用类比的方式得出分步乘法计数原理对学生来说就并不困难了。

同时，对于两个原理的应用，关键是能否根据具体问题的特征选择相应的原理，要指导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点。

四、教学基本流程

五、教学手段

采用多媒体辅助教学，营造愉悦的学习情境。

六、教学过程：

（一）计数问题的引入

教学过程设计

学生活动

设计意图

创设情景

引入课题

同学们，上课之前老师想问大家一个问题：

大家看过《爸爸去哪儿》吗？

知道第二季第一期他们来到了重庆的哪个地方吗？

就是因为明星效应的带动，他们所住过的五家农户已被当地开发成了一个入住式体验的旅游项目。

师：

如果你去旅游，你会选择入住几号房呢？

生1:

我选5号。

生2:

选2号。

生3:

4号。

师：

假如这三名同学他们分别选的是1,1,3号房，请问，这两种入住方式一样吗？

不一样。

那么

思考：

3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式呢？

师：

可以一一列举吗？

生：

应该可以，但需要时间。

师生互动，学生回答。

从学生感兴趣的电视节目入手，唤起学生学习的心向，通过一个比较复杂的计数问题，制造认知冲突，激发学生的兴趣，揭示探究原理的必要性。

教学过程设计

学生活动

设计意图

生活中我们还会遇到很多类似的计算方法数的问题，我们称之为“计数问题”。

计数问题：

即计算完成一件事的方法数的问题。

今天我们先来学习计数问题中两种最基本、最重要的方法。

（板书课题：

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理）

（二）分类加法计数原理的形成

教学过程设计

学生活动

设计意图

生活感知

初识原理

问题1：

（1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？

生：

7种。

（追问：

你是怎么想的）

师：

这个问题中，小明要完成一件什么事？

生：

从北京到重庆。

师：

怎么完成的呢？

生：

坐飞机或坐火车

师：

你的意思是按交通工具不同分成了两类不同的解决方案？

你是怎么计算的呢？

生：

因为每一个班次的飞机或火车都能到达重庆，所以4+3=7.（以图表形式板书）

师生共同分析本小题。

通过生活中的简单的实例，源自学生的邻近发展区，使学生初步感知计数问题中有这样一类用加法计算的分类问题。

感

知积累

再识原理

（2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

（由完成一件什么事，怎么完成这件事，完成没有？

怎么计算方法数四个方面来解决这个问题）

（3）从班上30名男生、25名女生中任选1名学生担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？

这些问题同学们解决得都很不错。

但是发现问题、提出问题比解决问题更重要，我们不妨思考一下，

追问：

能否举出一些生活中类似的例子呢？

引导学生分析本小题，再由学生举例，并分析要完成一件什么事，怎么完成的，怎么计算的。

在学生的初步感知的基础上，通过类似的两个简单问题和学生自己所举例子，进一步积累感知经验，让感知多次重复被学生熟知，从而形成“共同性印象”，为下一步归纳概括原理打下坚实的基础。

抽象概括

揭示原理

问题2：

这一类问题有什么共同特征呢？

（分类、加法、计数）

追问：

你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？

分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，第1类方案里有m种不同方法，第2类方案里有n种不同方法，完成这件事一共有N=m+n种不同的方法。

学生感知积累，概括获得计数问题的特征。

由学生叙述原理，老师适当补充。

在经历了感知与想象内化后，结合具体感知的事实材料，和学生一起“去粗取精，去伪存真，由此即彼，由表及里”的反复提炼推敲，抽象概括出加法原理的特征。

让学生体会数学源于生活的同时也培养了学生归纳概括、数学表述的能力。

教学过程设计

学生活动

设计意图

类比迁移

同化原理

练习：

小明在参观重庆的大学时了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学

如果小明要从这两所大学选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？

变式：

如果C大学里还有两个感兴趣的强项专业，A大学B大学C大学

如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？

学生思考回答出答案，并指明完成一件什么事，怎么完成的。

及时给时间让学生检验自己的研究成果，进一步体会加法原理，不但起巩固的效果，还能增加学生的兴趣和信心。

完成一件事有三类不同方案，第1类方案里有种不同的方法，第2类方案里有种不同的方法，第3类方案里有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

（如果完成一件事可以有四类、五类，甚至n类方案，每类方案里有若干种不同方法，又当如何计数呢？

）

分类加法计数原理的推广

完成一件事有n类不同方案，第1类方案里有种不同的方法，第2类方案里有种不同的方法，…第n类方案里有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

学生独立探究、归纳总结，然后类比分类加法计数原理进行推广。

通过一个具体的实例及其变式，让学生经历了数学知识从特殊到一般的推广过程，培养了学生类比、逻辑推理的思维能力，体会了数学的逻辑美。

（三）分步乘法计数原理的形成

教学过程设计

学生活动

设计意图

生活感知

初识原

理

问题3：

（1）小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。

小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？

教学过程设计

独立思考，用列举法、树形图、乘法进行计算，然后展台展示。

学生活动

设计意图

展台展示：

树形图

43=12（请做的同学自己分析解释）

师：

乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更为科学。

我们可以换个角度来看这个问题，问题中小明要完成一件什么事？

生：

从北京到重庆。

师：

怎么完成的？

生：

先坐飞机再坐火车。

师：

只选择一班飞机能完成吗？

生：

不能，还要选择一班火车，所以这个过程分成了两个步骤进行。

师：

那怎么计算呢？

生：

因为第一步里的每一班飞机都对应第二步里的三班火车，所以43=12。

（以图表形式板书）

学生概括出“任意一班飞机都能与3班火车中的任何一班形成一种走法”。

从一个简单的生活实例入手，让学生通过已有的计数经验，和前面所学习的分类加法计数原理，得出结果。

让学生初步体会生活中还存在着一类与分步有关，可用乘法计算的计数问题，让学生经历在特定条件下将加法简化的过程，领会分步与乘法的关系，为进一步的探究积累经验。

感知积累

再识原理

（2）用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

（引导学生从完成一件什么事，怎么完成这件事，怎么计算的去分析这个问题）

（3）从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1人担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？

追问：

你能举出生活中类似的例子吗？

学生举例，并类似地加以分析。

体会乘法的便利性，举例是原理形成和概括的重要手段，让学生初步体会几个具体实例之间的关系，提高观察力，让学生在发现问题、解决问题的过程中主动建构，理解数学知识的本质。

抽象概括

揭示原理

问题4：

这一类问题的共同特征是什么？

（分两步、乘法、计数问题）

追问：

你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？

分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同方法，做第2步有n种不同方法，那么完成这件事一共有N=mn种不同方法。

类比分类问题的共同特征，学生归纳叙述分步乘法计数原理。

从实例和具体经验出发，通过比较、归纳、概括等思维过程获得分步乘法计数原理的内容，培养学生分析问题、模仿和语言表达能力。

类比迁移

同化原理

如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

（如果完成一件事需要n个步骤，每个步骤里有若干种不同方法，又当如何计数呢？

）

分步乘法计数原理的推广

完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…做第n步有种不同的方法