合同法第23章.docx
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合同法第23章
合同法第23章
篇一：
第23章一元二次方程的解法
第23章一元二次方程
一元二次方程
教学目标
（一）知识与技能
知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式axbxc0（a≠0）
（二）过程与方法
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
（三）情感、态度与价值观
通过学生自主、合作学习，激发学生学习数学的热情
教学重点：
一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教学难点：
一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教学过程一、做一做：
1．问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析:
我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x（x＋10）＝900
整理可得x＋10x－900=0.
（1）
2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册.求这两年的年平均增长率.
分析:
设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）（1＋x）＝5（1＋x）2万册.可列得方程5（1＋x）=,
整理可得5x＋10x－=0.
（2）3．思考、讨论
这样，问题1和问题2分别归结为解方程
（1）和
（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？
它们有什么共同特点呢？
（学生分组讨论，然后各组交流）
共同特点：
（1）都是整式方程;
（2）只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2.二、一元二次方程的概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：
ax＋bx＋c＝0（a、b、c是已知数，a≠0）。
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
三、例题讲解与练习巩固
1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？
试说明理由。
（1）3x25x3
（2）x24（3）
2
2
2
2
2
x2
1x2（4）x24（x2）2x1
2．例2将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）6y2y;2）（x-2）（x+3）=8;3）（x3）（3x4）（x2）2
说明：
一元二次方程的一般形式axbxc0（a≠0）具有两个特征：
一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。
此外要使学生意识到：
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
3．例3方程（2a—4）x—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？
在什么条件下此方程为一元一次方程？
本题先由同学讨论，再由教师归纳。
解：
当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
2
2
4．例4已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
分析：
一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。
5．练习一将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x223x;
（2）2x（x-1）=3（x-5）-4;（3）2y1y1y3y2
2
2
练习二关于x的方程（m3）x2nxm0，在什么条件下是一元二次方程？
在什么条件下是一元一次方程？
练习三已知x=0是关于x的一元二次方程（k-1）x+3kx+4-4︱k︳=0的解，求k.
2
四、本课小结
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为ax2bxc0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
五、布置作业：
P19习题1、2、3
一元二次方程的解法
（1）
教学目标
（一）、知识与技能
使学生会运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊一元二次方程；
（二）、过程与方法
通过观察讨论，发现和获取用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的思想方法，体会“降次”化归的思想。
（三）、情感、态度与价值观
通过解一元二次方程所采用的方法，体会数学转化思想方法的运用，使我们能用一种踏实的态度解题，灵活的方法解题。
通过学生自主、合作学习，激发学生学习数学的热情。
教学重点：
直接开平方法和因式分解法
教学难点：
运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程；教学过程
一、创设情境：
问题解下列方程，并说明你所用的方法，与同学交流。
（1）x＝4；
（2）x－1＝0二、探究归纳：
概括
（1）x＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2，所以x＝±2。
我们知道，求一个数平方根的运算叫做开平方。
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算。
（2）x－1＝0，如果把它化为x＝1，由直接开平方法，得x＝±1
对于x－1＝0，将左边运用平方差公式因式分解后再解这个方程，（x＋1）（x－1）＝0，必有x＋1＝0或x－1＝0，从而得，
22
2
2
2
2
x1＝－1，x2＝1
这种通过因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．通常用x1、x2来表示未知数为x的一元二次方程的两个实数解．
思考
（1）能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程有什么特征？
（2）x＝4能否用因式分解法来解？
要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程为：
形如x＝a（a≥0）；用因式分解法来解时，首先应将它化成一般形式。
2
2
三、实践应用：
例1试用两种方法解方程：
x－900＝0
学生分组分别用直接开平方法和因式分解法解这个方程，并指出x＝±30，或x1＝30，x2＝－30都可以作为方程的解。
例2解方程：
（1）x－2＝0；
（2）16x—25＝0
分析：
对于缺少一次项的一元二次方程ax+c＝0（a≠0）,用直接开平方法来解比较简便。
思考本题若用因式分解法求解，应如何解？
例3解方程：
（1）3x＋2x＝0；
（2）x＝3x
分析：
将方程化成一般形式后，可把左边因式分解再求解，因式分解的常用方法有提公因式法和运用公式法.
注意：
运用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）方程化为一般形式；
（2）方程左边因式分解；
（3）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．例4解方程3（x－2）－x（x－2）＝0
分析：
这个方程的左边能否因式分解？
有没有必要去掉括号化成一般形式？
四、练习：
P22⒈⒉五、小结：
1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解。
如ax＝c（a、c为常数，a≠0，c≥0）。
2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用。
两边开平方实际上是实现方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化。
由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径。
3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解。
如方程
2
2
2
2
2
2
2
x2＝－3，就没有实数解；
x2＝0，有两个相等的实数解是x1＝x2＝0。
4.运用因式分解法解一元二次方程，一般要把方程化成一般形式，再运用提公因式法或公式法进行分解因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解；但有时不一定要化成一般形式（如例4）。
在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的。
六、布置作业：
1、（必做）课本习题P31习题第1
（1）
（2）（3）（4）
2、（选做）同步练习册：
一元二次方程的解法
（2）
教学目标
（一）知识与技能
通过对形如（ax+b）＝c（c≥0）的一元二次方程解法的探讨，让学生进一步熟悉直接开平方法；使学生熟练掌握运用因式分解法解方程。
（二）过程与方法
通过观察、比较，培养学生的“整体”意识，掌握方程的解法。
（三）情感、态度与价值观
在引导学生“换元”的过程中，让学生形成良好的全面观察和分析问题的习惯。
教学重点：
掌握用直接开平方法和因式分解法解（ax+b）＝c（c≥0）型的方程
2
2
教学难点：
用直接开平方法解一元二次方程教学过程
一、创设情境：
问题如何解下列方程：
（1）（x+1）-4＝0；
（2）12（2-x）-9＝0
对于这两个方程，你想到了哪些求解方法？
你能从上一课学习的内容中得到一些启发吗？
二、探究归纳：
分析：
对于
（1），如果退一步解x－4＝0，同学们都能想到运用直接开平方法求解；那么将这里的x换成x＋1，不是同样的思考方法吗？
实际上，这两个方程都可以化成（）=a的形式。
思考你对上面两个方程还有其他解法吗？
三、实践应用：
用因式分解法解方程：
（1）（x+1）-4＝0；
（2）12（2-x）-9＝0
分析：
对
（1）左边容易分解为（x＋1＋2）（x＋1－2）；而对
（2）左边应分解为342x42x（为
什么？
）
例2用适当的方法解方程：
（1）5（3x＋1）＝20；
（2）4（x-1）-（x+2）＝0
分析：
（1）变形为（3x＋1）＝4时，用直接开平方法来解简单；
（2）把左边分解因式成[2（x-1）+（x+2）]
[2（x-1）-（x+2）]，再进一步化成两个一元一次方程求解。
例3见“读一读”
分析：
小林的解法中有一步“方程两边都除以3x＋2”是错误的，根据等式的性质，在方程两边只能乘以或除以同一个不等于零的数，等式才成立，现在小林在方程两边都除以3x＋2，就会丢失一个解。
因此，在解一元二次方程时，不可以在方程两边都除以一个含有未知数的代数式。
四、课堂练习：
P24练习五、小结：
1.若方程是（）＝a的形式，用直接开平方法求解简单；有时方程经过变形后可以得到形如（）＝a的形式，也适合用直接开平方法。
2.所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式。
如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零，用因式分解法更为简单。
例如：
x＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解。
可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键。
“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据。
方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件。
满足这样条件
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