该问题的对称性决定了位移场u，且具有代表性的是，同时标量分量和与θ是相互独立的：
假设变形小，||||≤1，并且它遵循从方程
（1），该位移具有代表性，标量分量εrr，εθθ，εzz和εrz，这些是在给定位移场条件的标量分量。
因此，应力场具有代表性的，与标量分量σrr，，σzz的指向和σrz是由给定应变场的标量分量的计算
其中C11，C12，C13，C33和C44是为横观各向同性弹性层的五个独立的弹性常数。
最后，假设自身重量和物质加速度场可以忽略不计，所以平衡方程只有两个非平衡的标量分量。
第三个标量平衡方程是平衡满足时。
2.2边界条件
在变形的结构中，弹性层和刚性球形压头之间的接口是一个球形帽，具有一个圆形的正交投影，或接触印痕，（参见图1）这个接口被假定为无摩擦，使边界条件：
其中w（r）是球形帽的公式，这样，如果R是球形压头和w*≡W（0）时压痕的深度半径，则
如果该弹性层是相对于压头很薄，且半径R》t，瓦特,则它遵循a《R并且，当所有r≤a时。
因此，对于薄弹性层的压痕更新方程（7）由下式给出
;（7）
注意，接触印痕半径是关系到球面压头半径R和压痕深度W*。
要求当W（A）=0时，它对于一个薄的弹性层的公式如（8）。
.（9）
该压痕深度宽W*比弹性层厚度t少,可以由不等式条件表示:
（10）
该弹性层将被假定为从现在开始要薄，并且近似表达式方程为（9），压痕轮廓和深度将用于接触补片的外面，在弹性层的自由表面牵引是无边界。
（11）
边界条件方程（6），（9）和（11）在自由表面处z=0处，都是相似的考虑以所有情况。
用于弹性层和刚性基础之间的界面为z=t时，将要考虑的是该接口在理想化的情况下是理想粘结，其相应的边界条件是
，（12）
这将被称为键合的情况。
其他理想化将要考虑的是这种情况，其中界面弹性层和刚性基础之间无粘结和摩擦，从而使相应的边界条件是
，，（13）
这种将被称为无粘结情况。
3，分析解决方案
约翰逊假设轴对称变化[2]说：
“飞机的部分压缩后仍然面压缩”意味着这是与z无关：
；（14）
首先，注意，该假设意味着；（15）
这意味着压头之间的界面在弹性层中，零摩擦边界条件式（6）1和正常位移边界条件方程（6）2不能同时满足。
优先此处是考虑到正常的位移边界条件。
在另一方面，零摩擦边界条件式（13）1是隐含由零正常位移边界条件式（13）2。
给定了位移场的假定形式后，它不可能找到平衡方程的解，方程（4）和（5）满足所有的边界和内部连续条件。
因此，该解决方案在下面衍生，它们近似值可能非平衡或一些边界以及内部连续条件可能不会满足。
不满足条件的一些误差程度明确识别并将指示给予有限元分析比较。
3.1理想情况下绑定的接口
用于粘合的情况下，径向位移边界条件式（12）1和假设方程（14）意味着径向位移消失无处不在的弹性层：
，，；（16）
注意的是轴向位移的边界条件方程（6）2和（12）2及平衡方程方程（4）和（5）与此结果不兼容，也就是说，它们不能同时满足。
因此，判定为满足轴向位移的边界条件为平衡方程。
假定应变分量是通过均匀弹性层的厚度.
;（17）
它遵循由应变-位移关系式
（2）3，轴向位移的边界条件方程（6）2和（12）2和牵引无边界条件式（11），其
因此，该球形压头的下方，该组件压力由下式给出；
然而，牵引-自由表面之下，应力场消失：
，（20）
这种近似解满足所有边界除摩擦压条件（6）1，该解决方案对应的不是一个理想的结合压头和弹性层之间的界面。
另外非平衡的应力场和剪切牵引σrz是在不连续的整个表面R=A上。
压头之间的接触压力P（r）的弹性层为（21）
并与由下式给出的总压头载荷P；
（22）
如下的接触补片的半径是与压头通过加载；
（23）
有趣的是注意到，接触压力的分布与接触面半径的这个近似解为独立四五个弹性常数；
3.2无粘结，无摩擦界面
在制定的近似解解析时，应选择其中的边界条件，以满足在某些特别的区域所得到的值。
当然，最终的目的，是获得一个模型，它提供的预测，是最接近系统的响应。
鉴于牵引边界在方程中给出的条件（6）1及（13）1，我们将假定为一个无粘结的材料，根据剪应力分量σrz压头是可以忽略不计的。
（25）
它遵循由式
（2）3和轴向位移边界条件方程（6）2，（13）2是；
（26）
结合方程（24）和（26），
（2）和（3），把以上结果代入式（4）给出的平衡方程为（27）
一般的解决这个欧拉-柯西方程为
（28）
那等于零在r=0和B2=0的情况下。
将方程（26）和（28）代入
（2）和（3），并要求这里的σzz=0时，当r→a然后给出：
这种近似解满足所有边界条件为0≤r≤a时。
然而平衡条件式（5）不成立，是因为位移场方程（26）和（28）是在假定方程（24）不一致，此外，0≤r≤a为独立方程的一个近似解，此领域之外的弹性层响应的接触压力由下式给出；
（30）
总压头的载荷P由公式（22）给出，相关的压头负载由该接触结合半径得
（31）
需要注意的是，在这种情况下，接触压力分布和接触面半径是独立的弹性常数。
4结果与讨论
对于提出粘结和无粘结分析的解决方案在第3.1和3.2，但更重要注意的是有适用性的范围是有限。
这两种近似解决方案只适用于可压缩，横向各向同性材料。
为了满足这些条件，材料的刚度矩阵（见式（3））必须是稳定和正定：
当上述不等式的左边侧接近为零时，材料变得不可压缩，同时分析解决方案将变得非常不准确。
4.1对于降低各向同性材料的解决方案
上面导出的结果可以通过以下方式获得初始近似的准确性，检查对于各向同性的情况下，降低溶液的涂料。
对于各向同性材料，横观各向同性中出现的本方程弹性常数式（3）减少到
其中，E是杨氏模量，ν是泊松比。
它可以认为，对于各向同性的弹性层近似压力分布公式（21）用于粘合的情况下，与压力分布公式（30）用于在粘合的情况下。
这些分别都是由贾法尔[11]派生的近似结果。
近似解方程（21）和（23）用于结合情况，而方程（30）和（31）用于在粘合的情况下，两者可以看作是贾法尔的解决方案扩展到横观各向同性弹性层。
如将要讨论下面的部分，方程（21）和（30）也将与有限元分析预测结果。
4.2有限元分析比较
商用有限元分析软件ABAQUS6.3.1用于预测的应力和位移，用于解决横观各向同性弹性层中的以上问题。
二维轴对称元件被用于弹性层，用来解析球形压头刚性表面。
该无限弹性层被建模为一个圆柱体，其半径为=1毫米，厚度t=5微米。
而压头的半径R=8毫米。
从而；1600（38）
并且从方程（10）得出该接触补丁半径被限制为
（39）
尽管人们不会准确的认为预测前模型的印迹半径值接近这一限制值。
网格5uM×0.5uM中大约有2000个元素内的弹性层。
对于NbSe2横观各向同性弹性常数有C11=106GPa，C33=54GPa，C12=14GPa，C13=31GPa和C44=19.5GPa。
最大接触压力会发生在中心r=0的结合处，在如图2所示，预测P（0）为
这图
（2）模型预测超过了最大接触压力,有限元预测作为无量纲的函数接触面半径为a/吨。
图3，接触压力分布在粘结和无粘结的情况下，如图通过分析模型，并在a/t=10进行有限元分析预测。
把近似解的最大接触压力方程（21）和（30）进行比较，如果有限元分析接触印痕半径的值不同。
则结果的无量纲接触面半径比a/t也不同。
其中对于任何有限元分析的结果是粘结或无粘结的情况，适当的对于这两种情况在结合和未结合的情况下，把那些好的方案模型进行有限元分析时预测得到的a/t值比5更大，从接触压力分布的近似解方程（21）和（30）中用有限元素分析示图3中得出一个固定的接触印痕半径，其比值a/t为10。
检查该图中可以得出的结论是近似解解析与对应的有限元分析有较好的一致性。
5总结与结论
把刚性球放到一个薄的，横向的刚性基片上时对各向同性弹性层进行问题分析。
该弹性层和刚性基础之间的接口被假定为理想的粘结或无粘结的摩擦。
约翰逊的假设的推广使用得出近似解，有些用有限元分析来确定它们的相对精度，并进行结果比较。
从分析结果以及它们相对于有限元分析的结果来看，得到以下结论。
•粘结和无粘结的近似解用于减少到贾法尔的解决方案极限的各向同性弹性层。
•在结合情况下的近似解逼近有限元分析时，其预测作的接触半径将增大。
•对于无粘合的情况下，基于微不足道的剪应力上假设的近似解与有限元的计算结果吻合良好。
参考文献
[1]M.R.洛弗尔，M.M.Khonsari，R.D.马兰戈尼.为二硫化钼涂层球轴承的摩擦分析：
三维有限元分析.ASME.赛报,1997,11（9）:
754-763.
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