1分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教案北师大版选修23Word格式文档下载.docx

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3．正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．（难点、易错点）

分类加法计数原理

【问题导思】　

1．一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的化学书，某人从中取出一本书，则本题中要“完成的一件事”是做什么？

【提示】　本题中要“完成的一件事”是“从书架上取一本书”．

2．在问题1中，应该怎样从书架上取一本书（说一下位置即分几类办法）?

【提示】　这本书既可以从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取．

3．在问题1中，共有多少种不同的取法？

【提示】　由2可知，完成这件事可分为三类办法，即从上层、中层、下层中取一本书，而每一类办法中依次有15种、16种、14种办法．所以共有15＋16＋14＝45（种）办法．

（1）定义：

完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．（也称加法原理）

（2）特点

特点完成一件事可以有n类办法把每一类办法中的方法数相加，

就可以得到完成这件事的方法数每一类办法中的每一种方

法都可以完成这件事

分类乘法计数原理

1．有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，则本题中要“完成的一件事”是做什么？

【提示】　本题中“要完成的一件事”是“要从盒子里任取红、白、黄小球各一个”．

2．在问题1中应该如何“完成这件事”（说一下过程）?

【提示】　“要完成这件事”应分三个步骤：

第一步是从一个盒子选出一个红球，第二步是从另一个盒子里选出一个白球，第三步是从最后一个盒子里选出一个黄球，即分三步完成这件事．

【提示】　由2知，第一步共有6种方法（但不能“完成这件事”），第二步共有5种方法，第三步共有4种方法．共有6×

5×

4＝120（种）方法．

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×

m2×

…×

mn种方法．（也称乘法原理）

特点完成一件事需要n个步骤，缺一不可把每一步的方法数相乘，就可

以得到完成这件事的方法数完成每一步有若干种方法

　设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？

【思路探究】　

（1）完成这件事是做什么？

（2）一幅油画能完成此事吗？

一幅国画呢？

一幅水彩画呢？

（3）应用哪个计数原理能解决此事？

【自主解答】　选一幅画布置房间分三类计数：

第一类：

选油画，有5种不同的选法；

第二类：

选国画，有2种不同的选法；

第三类：

选水彩画，有7种不同的选法．

根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．

分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

其次，分类时要注意满足两条基本原理：

（1）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

（2）分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．

前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏．

1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有（　　）

A．50种　　　　　B．26种

C．24种D．616种

【解析】　选一位学习委员分两类办法：

选男生，有26种不同的选法；

选女生，有24种不同的选法．

根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．

【答案】　A

2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4,5}，设P（x，y），x∈M，y∈N，若点P在直线y＝x的上方，则这样的点P有多少个？

【解】　∵点P（x，y）在直线y＝x的上方，

∴x<

y.

∴以x的取值进行分类，应分三类．

当x＝1时，y＝2,3,4,5，共4种选法；

当x＝2时，y＝3,4,5，共3种选法；

当x＝3时，y＝4,5，共2种选法．

由分类加法计数原理知，共有4＋3＋2＝9种选法，即点P共有9个.

分步乘法计数原理

　某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？

【思路探究】　

（1）完成的这件事是什么？

（2）如何完成这件事？

（3）它属于分步还是分类？

（4）运用哪个计数原理．

【自主解答】　完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：

配制成不同的套餐品种共有6×

3＝90种．

解决分步乘法计数问题的思考过程是

（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事．

（2）完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法．

（3）完成这件事共有多少种方法．

将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？

【解】　完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有4×

4×

4＝43＝64种投法．

两个计数原理的简单应用

　已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为（　　）

A．18B．16C．14　　　D．10

（4）如何进行求解．

【自主解答】　完成这件事是确定第一、二象限内的总的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；

而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．

第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5,6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有3×

2＝6个不同的点．

第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1,3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有4×

2＝8个不同的点．

由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．

【答案】　C

应用两个计数原理解决应用问题的方法：

（1）分清是“分类”还是“分步”；

（2）清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；

（3）“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；

在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．

从0、1、2、3、4、5这些数字中选出4个，问能形成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？

【解】　满足条件的四位数可分为两类．

第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成．第一步确定首位有5种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．

∴第一类共有5×

3＝60个．

第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．

第二类共有4×

3＝48个．

∴满足条件的四位数共有60＋48＝108个.

对完成一件事理解不透致误

　甲、乙、丙、丁4位同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？

【错解】　方法一　分4步完成这件事．

第1步，第一位同学去夺三项冠军，有可能一个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情形；

同理，第2、3、4步分别由其他3位同学去夺这三项冠军，都各自有4种不同情况，由分步乘法计数原理知，共有4×

4＝44＝256种冠军获得情况．

方法二　分4步完成这件事．

第1步，第一位同学去夺三项冠军，有3种可能；

同理，第2、3、4步分别由其他3位同学去夺这三项冠军，都各自有3种不同情况．

由分步乘法计数原理知，共有3×

3×

3＝34＝81种冠军获得情况．

【错因分析】　A，B两位同学的解答都是错误的．

要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每个学科只有一名冠军产生”．但A，B两同学的解答都有可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情况，另外A同学的解答中还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．

【防范措施】　上述问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么．上述问题研究的对象是3门学科，而不是4名同学，不同的学科冠军是可以被同一名同学夺得的．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题在分步时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．如：

3个人分别从5个城市中任选一个去旅游，有多少种不同的选法？

因为这里3个人必须“用完”，所以，以3个人为分步的依据进行分步，有5×

5＝53＝125种不同的选法．

【正解】　可先举例说出其中的一种情况，如数学，物理，化学竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生一名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分3步．第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获得，有4种不同的获得情况；

第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第一个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；

第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．

由分步乘法计数原理知，共有4×

4＝43＝64种不同的冠军获得情况．

1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．

2．乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性即不漏步骤也不重步骤.

1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书，现从两个书橱内任取一本书的取法有（　　）种

A．7　　　　　　B．5

C．12D．35

【解析】　根据分类加法计数原理，不同的取法为N＝7＋5＝12（种）．

2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有（　　）种

A．10B．25

C．52D．24

【解析】　根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24（种）．

【答案】　D

3．乘积（a＋b＋c）（m＋n）（x＋y）展开后，共有________项．

【解析】　∵乘积（a＋b＋c）（m＋n）（x＋y）的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成．可分步完成此事．所以共有3×

2×

2＝12项．

【答案】　12

4.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？

【解】　分两类完成：

第1类：

当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条；

第2类：

当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需分两步完成：

第1步：

确定A的值，有4种不同的方法，

第2步：

确定B的值，有3种不同的方法，

由分步乘法计数原理，共可确定4×

3＝12条直线．

由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条.

一、选择题

1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·

y可表示不同的值的个数是（　　）

A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9

【解析】　用分步乘法计数原理，第一步选x有3种方法，第二步选y也有3种方法，共有3×

3＝9种方法．

2．已知集合A{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（　　）

A．2个B．3个

C．4个D．5个

【解析】　当集合A中含一个元素时，A＝{1}或{3}；

当集合A中含两个元素时，A＝{1,2}或{1,3}或{2,3}，

∴共有5个集合．

3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有（　　）

A．510种B．105种

C．50种D．以上都不对

【解析】　完成这件事可分为10步，即10名乘客全部下车，每名乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为510种．

4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（　　）

A．4种B．5种

C．6种D．12种

【解析】　若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；

同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．

5．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法（　　）种

A．756B．56

C．28D．255

【解析】　推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×

12＋12×

7＋9×

7＝255（种）．

二、填空题

6．一个袋子里装有7张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有8张不同的中国联通手机卡，某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，一共有________种不同的取法．

【解析】　由分步乘法计数原理知，有7×

8＝56种不同取法．

【答案】　56

图1－1－1

7．小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内从结点A向结点B可以传递的最大信息量为________．

【解析】　从图形可以看出，从A→B，可以分成这样几种情况，A→D→B，或A→C→B，这两类方法中各自包含的单位时间中通过的信息量分别是3,5，根据分类计数原理知共有3＋5＝8.

【答案】　8

8．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,4,5,6}，若a∈A，b∈B，则方程y＝

x表示的不同直线的条数是________．

【解析】　可知A∩B＝{1,2,4}，∴当a＝b＝1,2,4时，方程表示一条直线，这时

＝1.当a≠b时，按a的值进行分类：

（1）当a＝1时，b＝2,4,5,6，

则

＝2,4,5,6，

∴方程y＝

x表示4条不同的直线；

（2）当a＝2时，b＝1,4,5,6，则

＝

，2，

，3，

x也表示4条不同的直线，但与

（1）中1条重，应除去1条，变为3条；

（3）当a＝3时，b＝1,2,4,5,6，则

，

，2，∴方程y＝

x表示5条不同的直线，但也与

（1）中重一条，应除去1条，变为4条；

（4）当a＝4时，b＝1,2,5,6，则

，∴方程y＝

x表示4条不同的直线，但与

（2）中重1条，应除去1条，变为3条．

根据分类加法计数原理，方程y＝

x共表示1＋4＋3＋4＋3＝15条不同直线．

【答案】　15

三、解答题

9．设椭圆

＋

＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．

（1）求满足条件的椭圆的个数；

（2）如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．

【解】　

（1）由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．

故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定a，有5种方法，第二步确定b，有4种方法，共有5×

4＝20个椭圆．

（2）要使焦点在x轴上，必须a>

b，故可以分类：

a＝2,3,4,5时，b的取值列表为：

a

2

3

4

5

b

1

1,2

1,2,3

1,2,3,4

故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．

10．从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有2条路，下山有3条路．如果不走山路，由山北绕道有2条路，由山南绕道有3条路．

（1）如果翻山而过，有多少种不同的走法？

（2）如果绕道而行，有多少种不同的走法？

（3）从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

【解】　

（1）分两步：

第一步，选一条上山路有2种方法；

第二步，选一条下山路有3种方法．

所以翻山而过，有2×

3＝6种不同的走法．

（2）分两类：

由山北绕道，有2种走法；

由山南绕道，有3种走法．

所以绕道而行，有2＋3＝5种不同的走法．

（3）分两类：

翻山而过，有6种走法；

绕道而行，有5种走法．

所以从甲地到乙地共有6＋5＝11种不同的走法．

11．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，求符合条件的三角形的个数．

【解】　根据题意，a可取的值为1、2、3、…25，

根据三角形的三边关系，有25≤c<

25＋a，

当a＝1时，有25≤c<

26，则c＝25，有1种情况，

当a＝2时，有25≤c<

27，则c＝25、26，有2种情况，

当a＝3时，有25≤c<

28，则c＝25、26、27，有3种情况，

当a＝4时，有25≤c<

29，则c＝25、26、27、28，有4种情况，

…

当a＝25时，有25≤c<

50，则c＝25、26、27、28…49，有25种情况，

则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝

＝325个.

现有高一四个班学生共34人，其中一、二、三、四班分别是7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

【思路探究】　主要考查两个计数原理的综合应用，先考虑分类再考虑分步．

【自主解答】　分六类，每类又分两步：

从一、二班学生中各选1人，有7×

8种不同的选法；

从一、三班学生中各选1人，有7×

9种不同的选法；

从一、四班学生中各选1人，有7×

10种不同的选法；

从二、三班学生中各选1人，有8×

从二、四班学生中各选1人，有8×

10种不同选法；

从三、四班学生中各选1人，有9×

所以共有不同的选法N＝7×

8＋7×

9＋7×

10＋8×

9＋8×

10＋9×

10＝431种．

1．本例中，应注意以下两点：

（1）按规律分类，做到不重不漏，而这一规律也是列举法的常用技巧；

（2）解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类后分步”．

2．用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；

由数字0,1,2,3,4,5,6这七个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？

【解】　分两类：

第一类，首位取奇数数字（可取1,3,5中任一个），则末位数字可取0,2,4,6中任一个，而百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位则不能取与第三个数字重复的数字，故共有3×

4＝240种取法．

第二类，首位取2,4,6中的某个偶数数字，则末位只能取剩余的3个偶数数字中任一个，百位又不能取与上述有重复的数字，十位不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×

4＝180种取法．

故共有240＋180＝420个无重复数字的四位偶数．

【开心阅读】

计数和计数原理

计数是一个重复加（或减）的数学行为，通常用于计算所求对象的数目．此外，计数也可以被人们（主要是被儿童）用来学习数字名称和数字系统的知识．由现今的考古证据可以推测人类计数的历史至少有五万年，它的发展推动了数学符号及计数系统的发展．古代人主要使用计数来记录如负债和资本等经济数据.

中国人在计数时，常常用笔画“正”字，一个“正”字有五画，代表5，两个“正”字就代表10，以此类推．这个计数方法简便易懂，很受中国人欢迎．那么，到底是谁最先使用的这个巧妙方法呢？

据说这种方法最初是戏园司事们记“水牌账”时用的．

清末民初，戏园（俗称茶园）是