集合典型例题.docx

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集合典型例题

1.集合的含义及其表示

（一）集合元素的互异性

1.已知，则集合中元素x所应满足的条件为

变式：

已知集合，若，则实数的值为_______

2.中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是

①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形

（二）集合的表示方法

1.用列举法表示下列集合

（1）__________________________

变式：

已知a,b,c为非零实数,则的值组成的集合为___

（2）____

变式1：

变式2：

（3）集合用列举法表示集合B

（4）已知集合M=，则集合M中的元素为

变式：

已知集合M=，则集合M中的元素为

2.用描述法表示下列集合

（1）直角坐标系中坐标轴上的点_______________________________

变式：

直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________

（2）能被3整除的整数_______________________.

3.已知集合，，

（1）用列举法写出集合；

（2）研究集合之间的包含或属于关系

4.命题

（1）；

（2）；（3）；（4）表述正确的是.

5.使用和和数集符号来替代下列自然语言：

（1）“255是正整数”

（2）“2的平方根不是有理数”

（3）“3.1416是正有理数”（4）“-1是整数”

（5）“不是实数”

6.用列举法表示下列集合：

（1）不超过30的素数

（2）五边形的对角线

（3）左右对称的大写英文字母（4）60的正约数

7.用描述法表示：

若平面上所有的点组成集合，

（1）平面上以为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________

（2）说明下列集合的几何意义：

；

8.当满足什么条件时，集合是有限集？

无限集？

空集？

9.元素0、空集、、三者的区别？

10.请用描述法写出一些集合，使它满足：

（i）集合为单元素集，即中只含有一个元素；

（ii）集合只含有两个元素；

（iii）集合为空集

11.试用集合概念分析命题：

先有鸡还是先有鸡蛋？

解释：

表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。

先有鸡还是先有鸡蛋？

让我们运用集合概念来分析它。

设地球上古往今来的鸡组成一个集合，孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？

这是关键问题。

设所有的鸡蛋组成集合，要确定的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：

鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：

孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。

如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。

至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。

（三）空集的性质

1.若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________

2.已知a是实数，若集合｛x|ax＝1｝是任何集合的子集，则a的值是_______.0

3.下列三个集合中表示空集的是

（1）{0}；

（2）{（x,y）|y2=-x2,x∈R，y∈R}；（3）{x∈N|2x2+3x-2=0}.

变式1：

若集合=_______

变式2：

若集合，，则_____

（四）集合相等

1.已知集合A=，B=，若A=B，则_____

2.已知集合，集合，且，求实数和的值.

3.已知，则x的值为________

4.已知A＝{x，xy，lg（xy）}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．

5.已知集合,且，则

6.两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：

（1）用列举法分别写出下列集合：

；

（2）请你判断两集合和集合是否相等？

2.集合方程问题

1.若集合

（1）若，求的值；

（2）若，求的值

2.若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合为.

3.设，求.

4.已知集合，为实数.

（1）若A是空集，求的取值范围；

（2）若A是单元素集，求的值；

（3）若A中至多只有一个元素，求的取值范围．

5.已知集合，用列举法表示集合A为.

变式：

若分式方程的分子和分母对调，结论如何？

3.子集、全集、补集

1.集合{}，集合，若，的取值集合为______

2.设集合U={（x，y）|y=3x－1}，A={（x，y）|=3}，则A=.

3.M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a1}.若MN，实数a的取值范围为.

4.若，B={x|x2-4x=0}，C={x|x2-8x+16=0}，若ＵC,求实数a的取值范围

5.或，，当时，实数的取值范围为_____

6.已知集合，，满足，则实数的取值范围为____

变式：

已知集合，集合

（1）若，求实数a的取值范围

（2）若，求实数a的取值范围

（3）A、B能否相等？

若能，求出a的值；若不能，试说明理由

7.已知集合，，若，实数的取值范围为____________

8.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

，则,.

9.设，集合，,若

，=________

10.已知全集，若，则a的值为____________

11.若集合.分别求出当全集为下列集合时的.

（1）；

（2）；（3）.

12.若集合，，且，则实数的值为_______

13.已知集合，，是否存在集合C，使C中的每个元素加

上2就变成了A的一个子集，且C中的每个元素减去2就变成了B的一个子集？

若存在，

求出集合C；若不存在，说明理由

14.，，，则____

15.写出满足条件{a}M{a，b，c，d}的集合M

16.已知A={0，2，4}，UA={-1，1}，UB={-1，0，2}，求B=

17.设集合,,则满足且的集合的个数为____________56

18.已知集合同时满足：

，求实数的值.

解：

两式相减，得

19.已知集合，分别根据下列条件，求实数的取值范围.

（1）；

（2）

（1）；

（2）

20.，，

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求的取值范围；

（3）若，求的取值范围.（4）若，求的取值范围

21.有限集中有一个特殊的集合，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？

任何一个约定式定义，它必须遵循：

①规定的必要性；②规定的合理性。

（1）必要性：

从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。

为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；

（2）合理性：

由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。

22.请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？

若存在，请举例；若不存在，请说明理由。

等等；

【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，可以只含有这两个元素吗？

；可以，集合

23.元素和相等的子集

（i）设集合,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？

（ii）在这9个数字中任取6个不同的数组成集合，请问符合条件

（1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？

【拓展思考】若将集合的元素个数变为7~9种的任一个，结论如何？

24.与其子集元素个数一样多的集合

是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？

【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集

25.约数集的个数

设非空集合，且满足条件“如果，那么”

（i）请你写出一个只含有一个元素的集合；

（ii）只含有三个元素的集合只有是否唯一？

若不唯一，请写出两个不同的集合？

（iii）满足题设的集合共有几个？

（iV）对非空集合，若使集合所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为_______________________

4.交集、并集运算

1.已知，则_________

变式1：

若集合，则M∩P=:

2.设集合或

（1）若，则实数的取值范围为____________

（2）若，则实数的取值范围为____________

3.已知集合=,,则=

4.已知集合，，全集

（1）若,求实数a的取值范围

（2）若，求实数a的取值范围

5.集合，，

满足，实数的值为

6.已知全集，若非空集合，则实数的取值范围是_________

7.若集合或，，且，

，则___________，___________

8.已知集合，且，则实数的取值范围是

9.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A（A∩B）成立的所有a值的集合是

10.已知A={a1，a2，a3，a4}，B={}，其中a1

11.设集合，则的元素个数为____________

12.设集合，

（1）若，求实数a的值

（2）求,.

13.如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

14.若全集都为二次函数，，，则不等式的解集可用表示为______________

15.已知集合，，则____

16.若集合，，，且，则满足条件的整数对的个数为____

变式：

已知集合A＝,且只有5个整数解，则的取值范围是___________.≤

17.设A{2,－1,a2－a+1}，B{b,7,a+1}，M{－1,7}，A∩BM．

（1）设全集，求；

（2）若,求a和b的值．

18.集合，，如果，则

19.集合，，若时的取值范围是，则=___

20.已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩（Venn）

图是________．

21.已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.

22.（2009年高考江西卷改编）已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元

素.若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．

23.已知函数f（x）＝的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（－x2＋2x＋m）的定义域

为集合B.

（1）当m＝3时，求A∩（∁RB）；

（2）若A∩B＝{x|－1

24.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．

（1）若A＝∅，求实数a的取值范围；

（2）若A是单元素集，求a的值及集合A；

（3）求集合M＝{a∈R|A≠∅}．

25.设集合

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围；

（3）若，求实数的取值范围

解：

（1）；

（2）

（3）或或或

26.集合,若则的子集个数最多为_________16

27.则

28.已知,,则

29.设方程的全体解组成集合，方程的全体解组成集合，则分别如何用集合表示？

则

30.设，，若直线交于点，

则；若，则；还有其它情况吗？

31.方程的解集为，方程的解集为。

则是方程的解集。

所以对于右端为零的方程，如果能将其左端分解为几个因式的乘积，就能使求解的问题简化，这也是数学里常常把方程化成一端为零的形式的原因。

32.如果集合各有12个元素，它们的并集有20个元素，那么，这两个集合有多少个共同的元素？

33.如果集合中有3个元素，集合中有2个元素，试问：

（1）中最多有