八年级上册数学全等三角形中重点几何模型卷附答案Word下载.docx

八年级上册数学全等三角形中重点几何模型卷附答案Word下载.docx

《八年级上册数学全等三角形中重点几何模型卷附答案Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级上册数学全等三角形中重点几何模型卷附答案Word下载.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°

，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．

（1）求证：

△BAD≌△CAE；

（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．

11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

12．如图所示，在△ABC中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．试判断EC与BF的关系，并说明理由．

13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

14．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：

EF=BE+CF．

15．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．

AE=BD；

（2）求证：

MN∥AB．

16．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

17．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．

18．已知：

如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：

当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

参考答案与试题解析

【分析】首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．

【解答】解：

过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，

∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3．

故选：

C．

【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．

如图所示，加油站站的地址有四处．

D．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．

【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP=∠AOB=30°

，则PE=

PC=2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．

作PE⊥OA于E，如图，

∵CP∥OB，

∴∠ECP=∠AOB=30°

在Rt△EPC中，PE=

PC=

×

4=2，

∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，

∴PD=PE=2．

B．

【点评】本题考查了角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离．

【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，

∵DE=DG，

∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，

S△DNM=S△EDF=

S△MDG=

11=5.5．

【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴AN=BN，

∵△BCN的周长是7cm，

∴BN+NC+BC=7（cm），

∴AN+NC+BC=7（cm），

∵AN+NC=AC，

∴AC+BC=7（cm），

又∵AC=4cm，

∴BC=7﹣4=3（cm）．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

【分析】连结PG、PH，如图，根据轴对称的性质得OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，则根据线段垂直平分线的性质得AP=AG，BP=BH，于是利用等线段代换可得△PAB的周长=GH=10cm．

连结PG、PH，如图，

∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，

∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，

∴AP=AG，BP=BH，

∴△PAB的周长=AP+AB+BP

=AG+AB+BH

=GH

=10cm．

【点评】本题考查了轴对称的性质：

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；

如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．

【分析】设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可．

设运动的时间为x，

在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，

AP=20﹣3x，AQ=2x

即20﹣3x=2x，

解得x=4．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．

S△CAO=　4：

5：

6　．

【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：

S△CAO的值．

过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，

∴OD=OE=OF，

∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，

∴S△ABO：

S△CAO=（

AB•OD）：

（

BC•OF）：

AC•OE）=AB：

BC：

AC=40：

50：

60=4：

6．

故答案为：

4：

【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　垂直　，线段CF、BD的数量关系为　相等　；

【分析】

（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°

，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

．即CF⊥BD．

（2）当∠ACB=45°

时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°

，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由

（1）①可知CF⊥BD．

【解答】证明：

（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°

，即CF⊥BD．

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．

∵∠BAC=90°

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

，AB=AC，

∴∠ABC=45°

∴∠ACF=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．

即CF⊥BD．

时，CF⊥BD（如图）．

理由：

过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，

则∠GAC=90°

∵∠ACB=45°

，∠AGC=90°

﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°

﹣45°

=45°

∴∠ACB=∠AGC=45°

∴AC=AG，

∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°

+45°

=90°

，即CF⊥BC．

【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

【分析】要证

（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°

很易证得．

（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°

，需证∠ADB+∠ADE=90°

可由直角三角形提供．

【解答】

（1）证明：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD

即∠BAD=∠CAE，

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

证明如下：

由

（1）知△BAD≌△CAE，

∴∠ADB=∠E．

∵∠DAE=90°

∴∠E+∠ADE=90°

．

∴∠ADB+∠ADE=90°

即∠BDE=90°

∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；

全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．

（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；

（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=x，由AB﹣BE=AC+CF，即可得方程5﹣x=3+x，解方程即可求得答案．

连接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）解：

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

设BE=x，则CF=x，

∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，

∴5﹣x=3+x，

解得：

x=1，

∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．

【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．

【分析】先由条件可以得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论．

EC=BF，EC⊥BF．

∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠EAB=∠CAF=90°

∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

∴∠EAC=∠BAE．

在△EAC和△BAF中，

∴△EAC≌△BAF（SAS），

∴EC=BF．∠AEC=∠ABF

∵∠AEG+∠AGE=90°

，∠AGE=∠BGM，

∴∠ABF+∠BGM=90°

∴∠EMB=90°

∴EC⊥BF．

【点评】本题考查了等式的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．

（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．

（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．

（1）∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），

∵E是CD的中点（已知），

∴DE=EC（中点的定义）．

∵在△ADE与△FCE中，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴FC=AD（全等三角形的性质）．

（2）∵△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），

∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB=BF=BC+CF，

∵AD=CF（已证），

∴AB=BC+AD（等量代换）．

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．

∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠2，∠5=∠6，

∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，

∴∠1=∠3，∠4=∠5，

根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE=ED，DF=FC，故EF=ED+DF=BE+CF．

【点评】本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质；

一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结论．进行等量代换是解答本题的关键．

（1））先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°

，∠ECB=60°

，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；

（2）由

（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=∠CDN，再根据∠ACD=∠ECB=60°

，A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°

，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC=NC，再根据∠MCN=60°

可知△MCN为等边三角形，故∠NMC=∠DCN=60°

故可得出结论．

（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°

∵∠DCA=∠ECB=60°

∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，

在△ACE与△DCB中，

∵

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=BD；

（2）∵由

（1）得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM=∠CDN，

∵∠ACD=∠ECB=60°

，而A、C、B三点共线，

∴∠DCN=60°

在△ACM与△DCN中，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴MC=NC，

∵∠MCN=60°

∴△MCN为等边三角形，

∴∠NMC=∠DCN=60°

∴∠NMC=∠DCA，

∴MN∥AB．

【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△DCB，△ACM≌△DCN是解答此题的关键．

（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°

，因而运用边角边定理可知△ABQ