《三角函数》高考真题理科大题总结及答案docxWord格式文档下载.docx
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63
9.[2015高考四川，理19】如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD
的四个内角.
（1）证明:
tan-=-^^;
2sinA
（2）若A+C=18（T,AB=6,BC=3,CD=4,AD=f求
ABCI）估
tan—+tan—+tan—+tan—旳彳宜・
2222
10.【2015高考湖北，理17]某同学用“五点法〃画函数
f（x）=Asin（a）x+（p）（69>
0,|©
|<
彳）在某一个周期内的图象
时，列表并填入了部分数据，如下表:
cox+（p
兀
3ji
~2
2兀
X
71
3
5兀
~6
Asin@x+0）
5
-5
（I）请将上表数据补充完整，壞爭年等題卡占护摩仪單，并直接写出函数.f（龙）的解
析式；
（II）将,y=fM图象上所有点向左平行移动0（&
>
0）个单位长度，得到y=gO）的图
象若）yg（x）图象的一个对称中心为（罟，0），求&
的最小值.
11.[2015高考陕西，理17】
（本小题满分12分）AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c・向量m=^a,y/3b）与zt=（cosA,sinB）平行.
（I）求A;
（II）若a=N,b=2求AABC的而积.
12.L2015咼考北乐，理15】已知函数/（a）=\/2sin—cos—-V2sin2—・
222
（I）求/（兀）的最小正周期;
（II）求/⑴在区间[-7T,0]±
13.[2015高考广东，理16】在平面直角坐标系xoy中，已知向量
n=（sinx,cosx），
XG
（1）若加丄〃,求tanx的值;
⑵豺与“的夹角为彳,求’的值.
14.[2015高考湖南，理17】设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,6/=/?
tanA,月.B为钝角.
（1）证明：
-V;
（2）求sinA+sinC的取值范围.
《三角函数》大题答案
1.【答案】
（I）-;
（11）1.
【解析】
（I）S»
BDAB-ADsinZBAD,jACADsinZCAD,因为
（II）因为Smbd：
Swc=BD:
DC,所以BDM・在\ABD和MDC中，由余弦定理
AB2=AD2+BD2-2AD•BDcosZADB,AC2=AO2+DC2-2AD•DCcosZADC.
AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由（I）知AB=2AC,所以AC=1.
试题分析：
（1）已知两辺及夹角求第三辺，应用余弦定理，可得BC的长，
（2）利用
（1）的结果，则由余弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出sin2C的值.
试题解析：
⑴由余弦定理知，BC:
=.AB:
+AC:
-2AB.AC-cosA=4+9-2x2x3xl=7,
所以BC=J7・
士工小宀毋心AB_BC詛、」、厂AB・A2sin60:
Q
（a）由正弦疋理知，~；
—■—~~、所以sinC—sinA—-=——•
sinCsinABC7
因为ABcEC,所以C为锐角，则ceC=Jl-sii?
C=
3•【答案】
（I）f（x）=2sinx,兀
二切+£
（k?
Z）.;
（II）
（1）（->
/5,V5）；
（2）详见解析.
【解析】解法一：
⑴将g（x）=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图像，再将y=2cosx的图像向右平移与个单位长度后得到y=2cos（x-^-）的图像，ttf（x）=2sinx,从而函数f（x）=2sinx图像的对称轴方程为
x=kp+乡（k?
Z）.
（2）1）f（x）+g（x）=2sinx+cosx
=V5sin（x+/）（其中sin）
依题意，sin（xt/）二令在区间［0,2p）内有两个不同的解当且仅当1令1<
1，故口的
取值范围是（-a/5,x/5）.
2）因为°
b是方程V5sin（x+/-）=m在区间［0,2p）内有两个不同的解，
所以sin（a+/）=
sin（b+j）=
当1£
mV亦吋，6/+/?
=2（—-y・b=p・2（b土/）;
当■、/mvl时,a+b=2（弓・j）,o・b=3p・2（b+j）;
272/77*
所以cos（d・b）=・cos2（b土/）=2sin2（/?
+/）-1=2（-^）2-1=1.
\J55
解法二：
⑴同解法一.
（2）1）同解法一.
2）因为a#是方程V5sin（x+/）=m在区间［0,2p）内有两个不同的解,
当丁5<
1时,”“2（号八即计=3P-（b+j）；
所以cos（a+j）二.cos（/?
4y）
于是cos（（?
-/?
）=cos[（6f+/）-（/?
+/）]=cos（<
?
+/）cos（/?
+/）+sin（<
7+j）sin（Z?
=-cos2（/?
47）+sin（tz-17）sin（/?
+j）=-[!
-
4.【答案】
（1）2；
（2）b=3・
（1）根据正弦定理可将条件中的辺之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解;
（：
）根据条件首先求得厲门E的值，再结台正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.
试题解析:
⑴由b2-a2=—c2S.正弦定理得sin:
5-—=-sin2C,
rT3T
—cos25=sin*C,又由A=—,即S+C=—,得—cos25=sin1C=2sinCcosC,
44
解得tanC=2;
（2）由tanC=2,CwQ巧得sinC=土，cosC=王，
又TsinS=sin（-44-C）=sin（—4-C）,sin5=,由正弦定理得c.=兰匚b,
4103
又*.*A=—,—bcsinA=3,bc=6a/2,故b=3・
AM
JTTT
5.【答案】
（I）单调递增区间是—一+£
込一+炽（keZ）；
44I丿
（II）\AI3C
面积的最大值为2+产
sin2x1-sin2x.1
=sin2x——
U111
（二）由广+；
=siiiH—耳=0：
得sin.V=w
Jf厶厶
由题意知卫为锐角，所以cosA=^-
7
由余弦定理：
a2=b2-Ibc.cosA
可得：
1+击比=沪+<
>
Ibc
即：
比兰2+語：
当且仅当万=c时等号成立.因此-bcsmA<
^—^-
24
所以UBC面积的最大值为土史
4
1—cos2x
—=——cos2xh——sin2xcos2x
71、
6丿
—sin2x--cos2x=-sm（2x~-
442
所以f（x）的最小正周期T=—=7T.
（II）因为/（兀）在区间卜上,・Z］上是减函数，在区间卜上是增函数,
3664
/WJ（-糾冷J吟2学所以/⑴在区间卜能］上的最大值为¥
最小值为斗
7.【答案】V10
【解析】如图,
设AABC的内角AB.C所对边的长分别是Cibc,由余弦定理得
a2=h2+c2-2bccosABAC=（3a/2）2+62-2x3>
/2x6xcos——=18+36-（-36）=90,4
所以€/=3a/10.
在\ABD中，由正弦定理得"
"
sin"
==^_=価
sin（/r-2B）2sinBcosBcosB
8.【答案】
（1）最小正周期为p,最大值为色亍3；
（2）/（兀）在［彳，誇］上单调递增；
/（X）
、兀2tt
在［型，竺］上单调递减.
123
=—sin2x--（1+cos2x）=—sin2x-■>
"
因此TXT的最小正周期为;
r,最大值为上竺.
⑹当［二兰］时，有0兰2工一二£
不从而
633
当0<
2.y--<
-时•即-<
x<
—时，/（对单调谨増
32•612
TTTT、冗2/T
当一W2%——<
71时，即—<
%<
——时，/（X）单调递减，
23123
JT\冗S772/T
综上可知，/（兀）在］上单调递增；
/（Q在匚冬，丝］上单调递减.
9.【答案】
（1）详见解析:
（2）
（2）由A+C=18（）,得C=18（）-AD=180-B.
4ABCD
I11
（1）,有tun—Ftan—ftun—ftan—
_1-cosA1-cosBl-cos（180-A）l-cos（180-B）sinAsinBsin（180-A）sin（180-B）
22
=1
sinAsinB
连结BD,在AABD中，WBD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA,
在ABCD中，有BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosC,
所以AB2+AD2-2ABADcosA=BC2+CD?
+2BC・CDcosA,
1H人AB2+AD2-BC2-CD262+52-32-423
贝9cosA===—,
2（ABAD+BCCD）2（6x5+3x4）7
于是sinA=71-cos2A=^1-（|）2=彗®
.
连结AC,同理可得
门AB2^BC2-AD2-CD262+32-52-421
-2（ABBC+AD・CD）2（6x3+5x4）"
19?
于是sinB=Vl-cos2B=Jl-（—）2=.
V1919
ABCD
所以tan—Ftan—Ftan—Ftan—
142x19
-2a/102応
10.【答案】
（I）/（x）=5sin（2x--）:
（II）Z
66
（I）根据表中已知数据，解得A=5,⑵=2,0=-兰.数据补全如下表:
6
cox^（p
3兀
12
7兀
13—7T
Asin（ex+0）
且断数表达式为/（X）=5sin（2x-—）・
TTTT
（II）由（I）知/（x）=5sin（2x一一）,得g（x）=5sin（2兀+20一一）.
因为y=sinx的对称中心为（kit,0）,keZ.
令2兀+24才刼,解得*号+誇"
Z.
由于函数y=g（x）的图象关于点（―,0）成中心对称,令罗+誇一°
=罟,解得0号扌,5由&
0可知，当—1时，&
取得最小值自
（I）因为mlIn,所以6/sinB・V3/?
cosA=0,
由正弦定理,得sinAsinB-V3sinBcosA=0
又sinB^Q,从而tanA=V3,
7T
由于0<
-•}<
；
所以A=—
解法一：
由余弦定理，得=b*+-IbccosA
而a=#b=2=A=£
得7=4+c*—2c,冃卩c*—2c—3=0
1r{r
故AABC的面积为-besinA=土.
01
从而sinB
VfT
由正弦定理,
又由a>
b,知A>
B,
/、
故sinC=sin（A+B）=sinB+—
\3丿
12.【答案】
（1）2兀,
（2）
V2.V2V2
——sin/cosx=
977
⑴fd）的最小正周期为T=^=2^；
心）取得最小值为：
-1--
（1）Vtn=
十案―⑵"
等
77=（sinx,cosx）£
Lm丄n,
.（sinx,cosx）=^sinx-^
4丿
cosx=sinx
/\
7171
「市丿
sin
（2）由
（1）依题知
cos—=
m・rt
Z
+
〔2丿
2丿
m-n
X
4丿
•Vsin2x4-cos2x
、
1
（\
x
=一又X——G
<
44丿
兀兀Ur15龙
x——=—B卩兀=—
4612
V29
M【答案】⑴详见解析；
⑵（亍R.
【解析】试题分析：
（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为sin5=sin（^+.4）,再结合条件从而得证；
（2）利用
（1）中的结论，以及三角恒等变形，将sin.4+sinC转化为只与只有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.
（1）由Q=方tan卫及_正弦定理，得"
门"
=；
=血"
sin5=cgsA^即sinS=sin（—宁卫），cos.4bsin52
又P为钝角，因此—（―.7T）9故S=—+-*1，即5—-4=—;
（-）由（丄）知，C=JT—（卫+8）
TTTT7TTT
兀—（2A+—）=——2A>
0,AAe（0,-）,于是sinA+sinC=sinA+sin（——2A）
2242
.?
1?
971
—sinA+cos2A——2sin-A+sinA+1=-2（sinA—）~—,*•*OvAv—,
484
0<
sinA<
——■>
因此——•<
—2（sinA—）'
—5—,由此可知sinA+sinC的収值范围
22488
亍§
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