验证吉布斯效应Word格式.docx
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随着现代机械工业的发展、机械加工精度的提高,
机械加工过程从单机自动化、生产自动线发展到柔性加工系统,
并朝着无人化工厂方向发展。
工程中为满足自动测量、安全监控、设备管理和故障诊断等要求,
先进的测试和信号分析技术已成为生产系统中必不可少的组成部分。
我们在这里对周期信号进行频域分析,
把周期方波展开成傅里叶级数的三角函数表达式,
用计算机仿真实验,改变谐波分量的项数,
可以演示信号分析中的吉布斯现象。
关键词：
信号吉布斯效应傅立叶仿真
第一章MATLAB简介
1.1MATLAB语言功能
MATLAB功能丰富，可扩展性强。
MATLAB软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功能。
基本部分包括：
矩阵的运算和各种变换；
代数和超越方程的求解；
数据处理和傅立叶变换；
数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。
扩展部分称为工具箱。
它实际上是用MATLAB的基本语句辩称的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。
MATLAB具有以下基本功能
（1）数值计算功能；
（2）符号计算功能；
（3）图形处理及可视化功能；
（3）可视化建模及动态仿真功能[6]。
1.2MATLAB语言特点
MATLAB给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。
它具有以下特点：
（1）语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。
MATLAB程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。
由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。
（2）运算符丰富。
由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。
（3）MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
（4）程序限制不严格，程序设计自由度大。
例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。
（5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。
（6）MATLAB的图形功能强大。
在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。
MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。
（7）功能强大的工具箱是MATLAB的另一特色。
MATLAB包含两个部分：
核心部分和各种可选的工具箱。
核心部分中有数百个核心内部函数。
第二章离散傅立叶变换的快速算法
计算离散傅里叶变换的一种快速算法,简称FFT。
快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著。
有限长序列可以通过离散傅立叶变化（DFT）将其频域也离散化问题,因此引出了快速傅里叶变换（FFT）.1965年，Cooley和Tukey提出了计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，将DFT的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基２DIT和基２DIF。
FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
第三章吉布斯效应
3.1吉布斯现象的定义及简介
将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲）进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。
以有限项傅式级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些不连续点附近会引起较大误差。
为减少这一效应同样是用窗函数法。
当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。
当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。
这种现象称为吉布斯效应。
吉布斯现象是当用信号的谐波分量的和来表述具有间断点的波形时出现，并能观察。
（1）信号中频率较低的谐波分量的幅值较大，占主体地位，信号波形中所含的频率布斯现象越突出。
（2）当截取窗变长时，跳变峰向间断点靠近，但跳变峰值并未明显减小，跳变峰所包围的面积减小，通过matlab使这种吉布斯现象得到清楚的表现。
下面求
的傅立叶变换，也就是找出待求FIR滤波器的频率特性，以便看出加窗处理后究竟对频率响应有何影响。
根据复卷积公式，在时域在时域相乘，则在频域是周期性卷积关系，即
因而，
逼近
的好坏，完全取决于窗函数的频率特性
结论：
加窗处理对理想矩形频率响应产生以下几点影响。
1）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带宽等于窗的频率响应
的主瓣宽度
。
（2）带内增加了波动，最大的峰值在
处。
阻带内产生了余振，最大的负峰在
通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。
波动愈快（加大时），通带、阻带内波动愈快，
旁瓣的大小直接影响
波动的大小。
（3）改变截取长度N，只能改变窗谱的主瓣宽度、
的坐标比例以及改变
的绝对值大小，但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。
这个比例是由窗函数的形状来决定的。
3.2吉布斯现象的实现
以模拟信号x（t）=sin（5t）/t为例说明：
3.2.1吉布斯效应源程序：
symst
x=sin（5*t）/t;
figure
（1）;
ezplot（x,[-2,2]）
title（'
截断前模拟信号的时域图‘）
gridon
holdon
X=fourier（x）;
XX=abs（X）;
figure
（2）;
XX=simple（XX）;
%寻找最短形式的符号解
ezplot（XX,[-50,50]）；
%画二维曲线
截断前模拟信号的频谱图'
）
ts=-3;
te=3;
n=800;
t1=linspace（ts,te,n）;
%线性等分向量
x1=sin（5*t1）./t1;
figure（3）
plot（t1,x1,'
r'
axis（[-4,4,-4,7]）;
截断后数字信号的时域图'
fs=n/（te-ts）;
X1=abs（fft（x1,1024））/fs;
f=（0:
length（X1）/2-1）*fs/1024*2*pi;
figure（4）
plot（f,X1（1:
length（X1）/2））;
ezplot（XX,[0,50]）;
截断后数字信号的频谱图与截断前模拟信号的频谱图比较'
3.2.2实验结果
（1）当窗函数宽度为6.，采样点数为100，采样频率为100/6
图1
图2
图3
图4
局部放大后如图5
图5
由图5算出
峰起值为总跳变值的8.27%，第一个峰起距离不连续点为
（2）当窗函数宽度为30，采样点数为500，采样频率保持不变，频谱图如下
图6
图7
由图7算出
峰起值为总跳变值的8.88%，第一个峰起距离不连续点为
3.2.3结论
由此可知增加窗函数宽度，在剪切频率不变的情况的条件下，峰起值变化不大，接近9%，且峰起越来月靠近不连续点。
可以推论，在理想情况下，矩形窗函数很大，峰起值接近零，频谱图近似等于理想频谱图。
第四章心得体会
通过实际完成基本序列离散傅立叶变换的软件实现课程设计，首先初步掌握了使用MATLAB语言进行编程的方法。
其次巩固了所学的理论知识，更好地将理论与实践相结合，而且对信号分析与处理的基本方法有了更深一层的理解，更重要的是提高了独立分析和解决实际问题的能力，这对以后进一步学习和实验提供了宝贵的经验。
在本课程设计过程中，深刻认识到课本上的知识是机械的，抽象的，只有通过实践才能真正掌握所学的知识。
总之，基本达到了预期的课程设计目的。
参考文献
1、谢平林洪彬编著信号处理原理及应用机械工业出版社2009年
2、刘明编著数字信号处理--原理与算法实现清华大学出版社2006年
3、唐向宏编著数字信号处理—原理实现与仿真高等教育出版社2006年
4、王嘉梅编著基于MATLAB数字信号处理西安电子科技大学出版社2007年
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