江苏省南通市海安市实验中学学年高三上学期第三次学情检测数学试题.docx

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江苏省南通市海安市实验中学学年高三上学期第三次学情检测数学试题

海安市实验中学2020~2021学年第一学期第三次学情检测

高三数学

一、选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题意.

1.已知全集为集合，则（）

A.B.

C.或D.或

2.若（是虚数单位），则的共轭复数为

A.B.C.D.

3.设，则“”是“”的_______条件.（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.声音大小（单位为分贝）取决于声波通过介质时，所产生的压力变化（简称声压，单位为）.已知声压与声音大小的关系式为，且根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪声容许标准为85分贝.若某新建企业运行时测得的声音为80分贝，则该企业的声压为（）

A.B.C.D.

5.已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（）

A.B.2C.D.4

6.已知，不等式①；②；③中正确个数是（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

7.如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线EF与所成的角为（）

A.B.C.D.

8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（）

A.B.C.D.

二、选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（）

A.

B.函数在上为增函数

C.直线是函数图象的一条对称轴

D.是函数图象的一个对称中心

10.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）

A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值

B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月

C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关

D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费

11.已知双曲线的一条渐近线过点，点为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是

A.双曲线的离心率为

B.双曲线渐近线方程为

C.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的方程为

D.设为坐标原点，若，则面积为

12.设函数，其中表示中的最小者.下列正确的有（）

A.函数为偶函数B.

C.当时，D.当时，

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第16题第一空2分，第二空3分）

13.数列是公比为2的等比数列，其前项和为，若，则______.

14.的展开式中的常数项是_______.

15.若函数满足当时，，当时，，则_______.

16.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：

球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是.由此可知，该实心工艺品的表面积是____.

四、解答题：

本题共6小题，共70分.解答应写出了文字说明､证明过程或演算步骤.

17.在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

在中，内角的对边分别是，若_______，.求的取值范围.

18.已知数列前项和，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

19.如图，四边形与均为菱形，，，且．

（1）求证：

；

（2）求二面角的余弦值．

20.2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远､掷实心球､1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图（如图所示），且规定计分规则如下表：

每分钟跳绳个数

得分

17

18

19

20

（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；

（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差.已知样本方差（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步.假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：

①全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；（结果四舍五入到整数）

②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.

附：

若，则.

21.在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4，点是椭圆上的两点.

（1）若，且为等边三角形，求的边长；

（2）若，是否存在点，使为等边三角形，若存在，求点，若不存在，说明理由.

22.已知函数，其中.

（1）当时，求曲线在点的切线方程；

（2）求证：

若有极值，则极大值必大于0.