平行线的性质与判定典型例题.docx
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平行线的性质与判定典型例题
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1．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：
AB∥CE．
证明：
∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD＝∠DCF，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠ECD＝∠ACB，又∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ECD，∴AB∥CE．
理由如下：
，∠2＝15°，AE与BF平行吗为什么
因为AC⊥AE，BD⊥BF（已知），
所以∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义）．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质），
即∠EAB＝∠FBG，
所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
3．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，
且∠DBC＝∠F，求证：
EC∥DF．
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∴∠DBC＝∠ABC，∠
∴∠DBC＝∠ECB．
∵∠DBC＝∠F，
∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF．
4．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：
DC∥AB．
证明：
∵DE、BF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
5．如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并
理由：
如图，过C作CF∥AB，
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∵∠B＝25°，
∴∠BCF＝∠B＝25°，
∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°，
又∵∠D＝42°，
∴∠DCF＝∠D，
∴CF∥ED，
∴AB∥ED．
6．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关
系，并说明理由．
解：
BC∥AD．理由如下：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BC．
7．已知：
如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：
EF∥CD．
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证明：
∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA，
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：
∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为135°．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为40°．
（2）由
（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE<90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．
解：
（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°
∴∠ACE＝45°
∵∠BCE＝90°
∴∠ACB＝90°+45°＝135°
故答案为：
135°；
②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40
故答案为：
40°；
2）猜想：
∠ACB+∠DCE＝180°
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理由如下：
∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°；
3）30°、45°
理由：
当CB∥AD时，∠ACE＝30°；
当EB∥AC时，∠ACE＝45°．
∠CFB＝∠EDO，证明：
CF∥DO．
∴∠AED＝∠AOB＝90°，
∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），
∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等）
∵∠EDO＝∠CFB，
∴∠BOD＝∠CFB，
∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．
10．如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：
AD∥BC．
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证明：
∵∠E＝∠F，
∴AE∥CF，
∴∠A＝∠ADF，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADF＝∠C，
∴AD∥BC．
11．已知：
如图，EG∥FH，∠1＝∠2．求证：
∠BEF+∠DFE＝180°
解：
∵EG∥HF
∴∠OEG＝∠OFH，
∵∠1＝∠2
∴∠AEF＝∠DFE
∴AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°．
12．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置
关系，并说明理由．
解：
AB∥EF，理由如下：
∵AB∥CD，
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∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝70°
，（等量代换）
∵∠BCE＝20°
∴∠ECD＝50°
∵CEF＝130°，∴∠E+∠DCE＝180°，
∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线互相平行）
证明：
∵AD∥BC，
∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：
EF∥AD．
∴∠DAC+∠ACB＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
又∵∠EFC＝140°，
∴∠BCF+∠EFC＝180°，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD．
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14．完成下列推理过程：
已知：
如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B
求证：
∠EDG+∠DGC＝180°
证明：
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）
∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠EDG+∠DGC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
15．已知：
如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°，求∠EDB的大小．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：
∵BE∥GF（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行同位角相等）
∵∠1＝∠3（已知）
∴∠1＝（∠2）（等量代换）
∴DE∥（BC）（内错角相等两直线平行）
∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行同旁内角互补）
∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质）
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∵∠DBC＝（70°）（已知）
∠A＝∠D，试说明：
∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°
DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，
1）AF∥ED；
2）∠BED＝∠A；
3）∠1＝∠2
∴∠A＝∠AFC，
∵∠A＝∠D，
∴∠AFC＝∠D，
∴AF∥ED；
（2）证明：
∵AF∥ED，∴∠BED＝∠A；
（3）证明：
∵AF∥ED，
∴∠1＝∠CGD，又∵∠2＝∠CGD，
∴∠1＝∠2．
17．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：
如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证∠A＝∠F
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证明：
∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（对顶角相等）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）
18．如图，∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）求∠α和∠β的度数．
2）求∠C的度数．
解：
（1）解方程组
（2）∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°
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19．如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，求∠P的度数．
过P作PM∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥PM，
∵∠1＝45°，∠2＝30°，
∴∠EPM＝∠2＝30°，∠FPM＝∠1＝45°，
∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝30°+45°＝75°，20．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝∠E，求∠E．
解：
∵AB∥CD，∠A＝60°，
∴∠DOE＝∠A＝60°，
又∵∠C＝∠E，∠DOE＝∠C+∠E，
∴∠E＝∠DOE＝30
21．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗为什么
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解：
∠BAC＝∠DCA，
理由：
∵∠CFE＝∠2，∠2+∠1＝180°，
∴∠CFE+∠1＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
∵∠B＝∠3，
∴∠3＝∠AEF，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
22．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
理由：
∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥AC，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠DAC．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠3+∠DAC＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADC＝∠EFC．（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC．
23．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：
AB∥DE；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，
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P与点A，D，
C重合的
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