届高三理科数学一轮复习学案 函数的奇偶性及周期性.docx

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届高三理科数学一轮复习学案函数的奇偶性及周期性

第三节函数的奇偶性及周期性

突破点

（一）　函数的奇偶性

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．函数的奇偶性

奇函数

偶函数

定义

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x

都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数

都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数

图象特征

关于原点对称

关于y轴对称

2.函数奇偶性常用结论

（1）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

（3）在公共定义域内有：

奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

函数奇偶性的判断

[例1]　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝xlg（x＋）；

（2）f（x）＝（1－x）；

（3）f（x）＝

（4）f（x）＝.

[解]　

（1）∵>|x|≥0，

∴函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，

又f（－x）＝（－x）lg（－x＋）

＝－xlg（－x）＝xlg（＋x）＝f（x），

即f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．

（2）当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x<1，

由于定义域关于原点不对称，∴函数f（x）是非奇非偶函数．

（3）函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

当x>0时，－x<0，f（－x）＝x2－2x－1＝－f（x），

当x<0时，－x>0，f（－x）＝－x2－2x＋1＝－f（x），

∴f（－x）＝－f（x），即函数f（x）是奇函数．

（4）∵解得－2≤x≤2且x≠0，

∴函数的定义域关于原点对称，

∴f（x）＝＝.

又f（－x）＝＝－，

∴f（－x）＝－f（x），即函数f（x）是奇函数．

[方法技巧]

判断函数奇偶性的两种方法

（1）定义法：

（2）图象法：

函数是奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（y轴）对称．

函数奇偶性的应用

[例2]　

（1）已知函数f（x）＝x3＋sinx＋1（x∈R），若f（a）＝2，则f（－a）的值为（　　）

A．3B．0

C．－1D．－2

（2）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

[解析]　

（1）设F（x）＝f（x）－1＝x3＋sinx，显然F（x）为奇函数，又F（a）＝f（a）－1＝1，所以F（－a）＝f（－a）－1＝－F（a）＝－1，从而f（－a）＝0.故选B.

（2）因为偶函数的定义域关于原点对称，

所以a－1＝－2a，解得a＝.

又函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为偶函数，结合偶函数图象的特点（图略），易得b＝0.

[答案]　

（1）B　

（2）　0

[方法技巧]

利用奇偶性求值的类型及方法

（1）求函数值：

利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．

（2）求参数值：

在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f（－x）＝－f（x）或偶函数满足f（－x）＝f（x）列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：

若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f（0）＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．[考点一]下列函数为偶函数的是（　　）

A．f（x）＝x－1B．f（x）＝x2＋x

C．f（x）＝2x－2－xD．f（x）＝x2＋cosx

答案：

D

2．[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A．f（x）＝B．f（x）＝x＋

C．f（x）＝2x＋D．f（x）＝x＋ex

解析：

选D　A选项定义域为R，由于f（－x）＝＝＝f（x），所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f（－x）＝－x－＝－f（x），所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f（－x）＝2－x＋＝＋2x＝f（x），所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f（－x）＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．

3．[考点二]设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－）＝（　　）

A．－B.C．2D．－2

解析：

选B　因为函数f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（）＝log2＝.

4．[考点二]设函数f（x）＝为奇函数，则a＝________.

解析：

∵f（x）＝为奇函数，∴f

（1）＋f（－1）＝0，即＋＝0，∴a＝－1.

答案：

－1

5．[考点二]已知f（x）是R上的偶函数，且当x>0时，f（x）＝x2－x－1，则当x<0时，f（x）＝________.

解析：

当x<0时，－x>0，则f（－x）＝（－x）2－（－x）－1＝x2＋x－1，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）＝f（－x）＝x2＋x－1.

答案：

x2＋x－1

突破点

（二）　函数的周期性

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．周期函数

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

利用函数的周期性求值或范围

周期函数y＝f（x）满足：

（1）若f（x＋a）＝f（x－a），则函数的周期为2a；

（2）若f（x＋a）＝－f（x），则函数的周期为2a；

（3）若f（x＋a）＝－，则函数的周期为2a；

（4）若f（x＋a）＝，则函数的周期为2a；

（5）若函数f（x）关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f（x）的周期为2|b－a|；

（6）若函数f（x）关于点（a,0）对称，又关于点（b,0）对称，则函数f（x）的周期是2|b－a|；

（7）若函数f（x）关于直线x＝a对称，又关于点（b,0）对称，则函数f（x）的周期是4|b－a|；

（8）若函数f（x）是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；

（9）若函数f（x）是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.

[典例]　

（1）（2017·郑州模拟）已知函数f（x）＝如果对任意的n∈N*，定义fn（x）＝，那么f2016

（2）的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

（2）设定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，则f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2018）＝________.

[解析]　

（1）∵f1

（2）＝f

（2）＝1，f2

（2）＝f

（1）＝0，f3

（2）＝f（0）＝2，

∴fn

（2）的值具有周期性，且周期为3，

∴f2016

（2）＝f3×672

（2）＝f3

（2）＝2，故选C.

（2）∵f（x＋2）＝f（x），

∴函数f（x）的周期T＝2.

又当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，

所以f（0）＝0，f

（1）＝1，

所以f（0）＝f

（2）＝f（4）＝…＝f（2018）＝0，

f

（1）＝f（3）＝f（5）＝…＝f（2017）＝1.

故f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2018）＝1009.

[答案]　

（1）C　

（2）1009

[方法技巧]

函数周期性的判定与应用

（1）判定：

判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可．

（2）应用：

根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：

若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1）时，f（x）＝则f＝（　　）

A．0B．1C.D．－1

解析：

选D　因为f（x）是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.

2．（2017·沈阳模拟）函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f的值为（　　）

A.B.C．－D．－

解析：

选A　∵f（x＋1）＝－f（x），∴f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），即函数f（x）的周期为2.∴f＝f＝f＝2××＝.

3．（2016·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1）上，f（x）＝其中a∈R.若f＝f，则f（5a）的值是________．

解析：

因为函数f（x）的周期为2，结合在[－1,1）上f（x）的解析式，得f＝f＝f＝－＋a，

f＝f＝f＝＝.

由f＝f得－＋a＝，解得a＝.

所以f（5a）＝f（3）＝f（4－1）＝f（－1）＝－1＋＝－.

答案：

－

4．若对任意x∈R，函数f（x）满足f（x＋2017）＝－f（x＋2018），且f（2018）＝－2017，则f（－1）＝________.

解析：

由f（x＋2017）＝－f（x＋2018），得f（x＋2017）＝－f（x＋2017＋1），令x＋2017＝t，即f（t＋1）＝－f（t），所以f（t＋2）＝f（t），即函数f（x）的周期是2.令x＝0，得f（2017）＝－f（2018）＝2017，即f（2017）＝2017，又f（2017）＝f

（1）＝f（－1），所以f（－1）＝2017.

答案：

2017

5．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x.求f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）的值．

解：

∵f（x＋6）＝f（x），∴T＝6.

∵当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；

当－1≤x<3时，f（x）＝x，

∴f

（1）＝1，f

（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－1，f（4）＝f（－2）＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（6）＝1，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（6）＝f（7）＋f（8）＋…＋f（12）

＝…＝f（2005）＋f（2006）＋…＋f（2010）＝f（2011）＋f（2012）＋…＋f（2016）＝1，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2016）＝1×＝336.

而f（2017）＋f（2018）＝f

（1）＋f

（2）＝1＋2＝3.

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2018）＝336＋3＝339.

突破点（三）　函数性质的综合问题

1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．

2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

考点

贯通

抓高考命题的“形”与“神”

奇偶性与单调性的综合问题

偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

[例1]　已知奇函数f（x）的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f（1－m）＋f（1－m2）<0的实数m的取值范围．

[解]　∵f（x）的定义域为[－2,2]，

∴解得－