行程问题典型试题文档格式.docx
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到达同一距离时间（秒）
A
C
B
甲
/
66又2/3
143又1/3
乙
40
90
140
乙可能在顶点追上甲，也可能在边上追上甲，从表中看，在C点时乙没有追上甲，到达B点时，乙已经超过甲，则乙在B、C之间追上了甲，甲在76又2/3秒从C出发，乙在100秒从C出发，乙出发时甲走了了：
（100－76又2/3）×
1.5=35（米），乙追上甲用时为：
35÷
（2.5－1.5）=35（秒），这时乙走了35×
2.5=87.5（米），因此乙在出发135秒，即2分15秒后在B、C间距C87.5米处追上甲。
追及过程中有停留的问题使行进快的人在追及后可能被超越，因此这类问题中不但要求追及的情况，还要确认是第一次追及才可以。
4.图41是一个跑道的示意图，沿ACBEA走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A到B的直线距离是75米，甲、乙二人同时从A点出发练习长跑，甲沿ACBDA的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA的大圈跑每100米用21秒，问：
1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇？
2）出发多长时间甲、乙再次在A点相遇？
分析：
因为甲、乙沿不同的路线，所以并不谁多跑了一圈就一定有一次超过，超过只可能发生在他们共同经过的路线上。
解答：
1）甲跑半圈ACB用时48秒，乙跑半圈ACB用时42秒，也就是如果某次乙经过4点的时间比甲晚不超过6秒，他就能在这一圈追上甲，下面看甲乙经过A点的时间序列表（单位：
秒）
0
66
132
198
264
330
84
168
252
336
由此可知乙跑第五圈时会第一次与甲相遇。
2）甲跑一圈用66秒，乙跑一圈用84秒，它们的最小公倍数为924，因此924秒即15分24秒后，甲、乙第一次同时回到A点。
5.甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；
甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙，那么，甲出发后多长时间追上乙？
题目中只有时间条件，这就说明用三人速度的比例关系即可解题。
设丙速度为U米/分钟，同乙出发时丙走了5U米，乙用了45分钟追上丙，乙速度比丙速快5U/45=1/9U米/秒，即乙的速度为10/9U米/秒，同样甲比丙晚出发20分钟，用了1小时追上丙，则甲比丙速度快：
20U/6=1/3U米/秒，甲速度为4/3U米/秒，甲追乙需用时间为：
（10/9U×
15）÷
（4/3U－10/9U）=75（分钟）。
解题中设的丙速度只是为了表示方便，实质上解题过程中只用到了三人速度之比，在只有时间条件的题目中是不可能求出路程或速度的，用比例解题是必然的方法。
6.甲、乙、丙三个车站在同一公路上，乙站距甲、丙两站距离相等，小明和小强分别从甲、丙两站相向而行，小明过乙站150米后与小强相遇，然后两人继续前进，小明走到丙站后立即返回，经过乙站后450米又追上小强，问：
甲、丙两站距离多远？
仔细分析两人两次相遇的行程，可以发现小明第一次相遇走了一倍甲、乙两站间的的距离又多150米，第二次相遇走了三倍甲、乙两站间的距离又450米，第二次路程是第一次的3倍，这就是突破口。
两次相遇小明走的总路程比为1：
3，小强也一定相同，注意到从第一次相遇到第二次相遇小强走了600米，由此可知小强在第一次相遇时走了：
600÷
（3－1）=300（米），甲、丙两站之间距离为：
（300＋150）×
2=900（米），即甲、丙两站距离900米。
观察数据之间的关系，在条件比较少的题目中，这有时候也会有重要作用。
7.甲、乙、丙三人到学校到体育场的路上练习竞赛走，甲每分钟比乙多走10米，比丙多走31米，上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙，问：
1）从学校到体育场的距离是多少？
2）乙的速度是多少？
3）甲与丙何时相遇？
题目中距离的条件只有一个，因此以这个条件为中心分析，求学校到体育场距离比较有效。
甲与乙相遇时走了的时间为：
310×
2÷
10=62（分钟），已知甲走到体育场用了1小时，因此2分钟走了310米，甲速度为：
310÷
2=155（米/分），乙速度为：
155－10=145（米/分），体育场到学校距离为：
（155＋145）×
62÷
1=9300（米）合9.3千米，甲、乙相遇用时为：
2×
9300÷
（155＋124）=66又2/3（分钟），即学校到体育场9.3千米，乙速度145米/分，甲、丙相遇在10时6分40秒。
有时候，根据条件的类型和结论所求也可以推测出大概方法，例如本题，求距离，而题目中只有一个关于距离的条件，这个条件就很重要，这样的分析有助于提高效率。
8.甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上一方为止，追上者为胜，已知：
甲、乙的速度分别为每秒1.0米和0.8米，问：
1）比赛开始后多长时间甲追上乙？
2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？
3）比赛过程中，两人同方向游了多长时间？
1）甲追上乙用时为：
50÷
（1－0.8）=250（秒）；
2）第一次迎面相遇甲、乙共游了50米，之后每100米相遇一次，甲、乙共游了250×
（1＋0.8）=450（米），最后一次甲追上乙不算，甲、乙迎面相遇了4次；
3）甲游50米用50秒，乙游50米用62.5秒，甲第一次转身后与乙同向游了12.5秒第二次转身后与乙同游了25秒，依次类推，甲、乙同向游了125秒。
注意迎面相遇与追上相遇的区别。
9.甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每小时行5千米，而乙第一小时行1千米，第二小时行2千米，以后每行1小时都比前1小时多行1千米，问：
经过多长时间乙追上甲？
乙追上甲时，两人走了相同的时间和路程，因此平均速度也相等，也就说乙追上甲时，平均速度5千米每小时，由于乙每小时速度是一个等差数列，因此平均速度为5千米/时，说明乙最后一小时速度为9千米/时，也就是说9小时后乙追上甲。
非匀速运动中，利用速度的变化规律解题比较有效。
10.甲、乙两人赛车，第一分钟甲的速度为每秒6.6米，乙速度为每秒2.9米，以后，甲每分钟速度是自己前一分钟的2倍，乙每分钟速度是自己前一分钟的3倍，问：
出发后多长时间乙追上甲？
每分钟甲、乙速度都在变，但一分钟内，甲、乙速度是不变的，因此，先确定在哪一分钟追上甲，再求具体时间。
列表比较甲、乙走的路程：
11.某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度前进，一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？
本题是与排头的追及问题和与排尾的相遇问题的结合。
追排头用时为：
450÷
（3－1.5）=300（秒），回排尾用时为：
（3＋1.5）=100（秒），其用时400秒。
队伍行进问题一般都可以归为追及或相遇问题。
12.某边防站甲、乙两哨所相距15千米，一天，两个哨所的巡逻队同时从各自哨所出发相向而行，他们的速度分别为每小时4.5千米和5.5千米，乙队出发时，他们带的一只军犬同时向哨所方向跑去，遇到甲队时立即转身往回跑，遇到乙队又立即转身向甲哨所方向跑去……，这只军犬就这样不停地以每小时20千米的速度在甲、乙两队之间奔跑，直到两队会合为止，问：
这只军犬来回跑了多少路？
如果计算军犬每次向一个方向跑的距离再求和是不可行的。
注意到军犬一直在跑且速度始终为20千米/时不变，所以只要求得它跑的总时间即可。
甲、乙两队从出发到相遇用时为：
15÷
（4.5＋5.5）=1.5（小时），这也是军犬不断奔跑的时间，因此军犬总共跑的距离为：
20×
1.5=30（千米）。
以相同速度行进的路程可以合起来计算，不要拘泥于问题的细节，要从全局观察一下问题。
13.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟追上乙；
如果两人相向而行，6分钟可相遇，已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
相遇问题和追及问题分别与速度和及速度差有关，通过和差也能求得速度关系。
甲、乙两个人速度之和为每分钟行全程的1/6，甲比乙快他们速度之差为每分钟差全程的1/26，通过和差公式，因此甲每分钟走全程的1/2×
（1/6＋1/26）=4/39，乙走完全程的1/2×
（1/6－1/26）=5/78，由此可求A到B全和为：
5/78=780（米），即A、B相距780米。
14.某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，问：
电车速度是多少？
电车之间的时间间隔是多少？
不变的时间间隔，相同的速度，不变的距离间隔就是本题关键。
设两车间隔S米，则对迎面开来的车马行人，S是相遇距离和，对从后追上的电车和行人，S是追及问题的距离差S/7.2=5/36S是行人与车速度和，S/12是行人与车速度之差，由此可求得行人与车速度和与差的比为5：
3，因此车与行人速度比为4：
1，车的速度为4.5×
4=18（千米/时）行人为速度合75米/分，汽车合300米/分，电车间隔时间为（75+300）×
7.2÷
300=9（分钟），即电车速度18千米/时，电车间隔时间为9分钟。
在有一定时间间隔的班车问题中，不变的间隔时间、距离是解题关键。
路程（米）
1分钟
2分钟
3分钟
4分钟
396
1188
2772
5940
174
696
2262
6960
从表中可知在3分钟与4分钟之间乙超过甲，3分钟时甲乙差510米，第四分钟甲速度为52.8米/秒，乙速度为78.3米/秒，乙追上甲用时为：
510÷
（78.3－52.8）=20（秒），因此乙追上甲总共用了3分20秒。
把不匀速问题分段，使每段成为我们熟悉的匀速问题，这种思想在各类题目中都非常有用。
15.学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校，已知他们步行速度，平路为4千米/小时，上山为3千米/小时，下山为6千米/小时，问他们一共走了多少路？
往返路程可以分为四段，两段平路，一段上山，一段下山，求路程，我们就需要各段的行进时间。
设同学们下山用时为t，由于上、下山路程相等，下山速度是上山的2倍，因此上山时间为2t，两段平路一共用时（6－3t）小时，总路程为：
t×
6＋2t×
3＋（6－3t）×
4=24（千米），即他们一共走了24千米。
本题从条件的数量上并不足够确定平路及山路的长度，因为上、下山平均速度与平路速度相同，因此才能求得总路程。
16.甲、乙两人以同样的速度沿铁路相向而行，恰好一列火车开来，整个火车经过甲身边用了18秒，2分钟后又用15秒从乙身边经过，问：
1）火车速度是甲速度的几倍？
2）火车经过乙身边后，甲、乙还需多少时间才能相遇？
3）甲步行该火车长度需多长时间？
题目中只有时间条件，因此不能求出具体路程或速度，这样的题目总是用比例求解的。
设火车长为L米，甲、乙步行速度U米/秒，火车速度V米/秒，则由火车经过甲、乙身边的情况，知：
（U＋V）×
15=L=（V－U）×
18，U+V=L/15，V－U=L/18，V=（L/15+L/18）÷
2=11/180L，U=（L/15－L/18）÷
2=1/180L，L=180U，V：
U=11：
1，因此火车速度是甲速度的11倍，火车经过甲身边时，甲、乙相距为：
L+（U+V）×
120=1620U，到甲、乙相遇用时为：
1620U÷
（U+U）=810（秒），因此火车经过乙后到甲、乙相遇还要：
810－120－15=675（秒），甲走火车长度的距离用时为：
L÷
U=L÷
1/180L=180（秒），即火车速度是甲的11倍，火车经过乙后675秒甲、乙相遇，甲步行火车全长用180秒。
解答中设的长度与速度只是参数而不是未知数，也就是设这些变量并不是要求它们的值，而是为了便于表示，求它们之间的关系，在求比较复杂的比例关系时，设一些参数便于表示和运算。
17.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：
"
后面有骑自行车的人吗？
司机回答：
十分钟前我超过了一个骑自行车的人，"
这人继续走了十分钟，遇到了这个骑自行车的人，如果自行车的速度是人步行的三倍，问汽车速度是人步行速度的多少倍？
题目中只有时间条件，显然要用比例解题。
注意汽车超过自行车到遇到行人这10分钟的路程，自行车走了20分钟加上行人走了10分钟才走完，因为自行车速度又是行人的3倍，所以自行车走20分钟的路行人要走60分钟，也就是说汽车走10分钟的路行人要走70分钟，因此汽车速度是行人的7倍。
适当的选取一段路程或时间对解题有很大帮助。
18.一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；
如果以原速行驶100千米后再将车速提高30%，也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地距离。
由于求距离，要特别注意100千米这个条件，寻找与之对应的条件。
提高车速20%，前后两次速度比为5：
6，时间比应该为6：
5，提前1小时说明原计划用6小时，实际用5小时，同理，在提高车速30%这段距离内，车速比10：
13，时间比为13：
10，提前1小时说明原计划这段距离用时为：
1÷
（13－10）×
13=13/3（小时）合4又1/3小时，也就是说100千米行驶了6－13/3=5/3（小时），汽车速度为：
100÷
5/3=60（千米/小时），甲、乙两地距离为：
60×
6=360（千米）。
本题中比例的运用重要且有效，认真思考可以从中学到很多技巧。
19.甲、乙两班学生到少年宫参加活动，但只有一辆车接送甲班学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行，车到途中某处让甲班学生下车步行，车立即返回接乙班上车，并直接开到少年宫，已知学生步行速度为每小时4千米，汽车载学生速度为每小时40千米，空车速度为每小时50千米，要使两班学生同时到达少年宫，甲班学生应步行全程的几分之几？
若要甲、乙两班学生同时到达，则他们步行的时间和路程一定相等，他们与汽车行进路程如图所示：
设全程为S千米，甲、乙两班各步行了a千米，则由出发到汽车遇到乙班这段时间有：
，计算可得s=7a,a=1/7S，因此甲班步子行了全程的1/7。
确定甲、乙两班步行距离相等是本题关键。
20.一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16小时；
顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16小时，求水流速度。
求水流速度就必须求出顺流逆流速度，条件中两种航行方法用时相同，这就是关键。
由两种航行方法用时相同，第一种比第二种顺水多行60千米，逆水少行40千米，可知顺水60千米与逆水40千米航行时间相等，因此顺水与逆水航行速度之比为3：
2，因此可推得16小时顺水可走120+80×
3/2=240（千米），逆水可走120×
3/2＋80=160（千米），船顺水速度为：
240÷
16=15（千米/时），逆水速度为：
160÷
16=10（千米/时），水流速度为：
（15－10）÷
2=2.5（千米/时）。
比较同时间所走路程或相同路程所用时间都是利用比例关系解题的常用方法。
21.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点，如果甲车速不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇地点距C点12千米；
如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米；
如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还是从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米，甲车原来每小时行多少千米？
仔细分析条件，发现第二种与第三种方案甲、乙速度和相同，因此时间相同，这就是突破。
如图所示，第二次与第三次相遇地点相距28千米，由于所用时间相同两次甲速度差为5千米/小时，可知所用时间为：
28÷
5=5.6（小时），比较前两次，甲速度相同，时间第二次减少0.4小时，少走了12千米，由此可求甲速度为：
12÷
（6－5.6）=30（千米/时）。
条件之间的微妙关系有时也有重要作用，利用这个方法解题不但要观察力，更需要积累经验。
22.在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆车载运可行驶24天的汽油，现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完全任务后，沿原路返回，为了让甲车尽可能开出更远距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他油给甲车，求甲车能开行的最远距离。
甲、乙两车一共有48天的汽油，为了行驶尽量远，可以认为两车返回都使汽油刚好用完，但如果乙车过早返回，它留下的汽油甲车无法全部带走不是最好方案，如果乙车返回晚了，它留下的汽油不能使甲车满载，我们考虑提前一天让乙车返回，就能让甲车走得更远，因此这也不是最好方案，因此可知，乙留给甲的汽油恰好让甲车满载就是最佳方案，因此可知，乙留给甲的汽油恰好让甲车满载就是最佳方法，因此乙8天后给甲骨8天的油然后返回，这样甲车走得最远，它可以用32天的油，最远走：
（32÷
2）×
200=3200（千米）。
设计最佳方案的题不但要说明方案，还需证明这个方案的确是最佳的。
23.骑车人以每分钟300米的速度沿公共汽车路线前进，当人离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，它的速度为每分钟700米，并且每行3分钟到达一站停车1分钟，问公共汽车多长时间追上骑车人？
汽车在某两站之间追上骑车人，那么在前一站骑车人先到达，后一站汽车先到达。
列表确定汽车在哪段时间追上骑车人。
到站时间（分钟）
始发站
1站
2站
3站
骑车人
/
4
11
汽车
3
7
由表中可见汽车在恰好到达第三站时追上骑车人，这时汽车走了11分钟。
注意在计算汽车行程时不要按照出站时间算，而要计算入站时间。
24.甲、乙、丙三人的步行速度分别为每分钟60米、50米和40米，甲从B地，乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分钟又遇到丙，求A、B两地距离。
根据已知条件，分析从甲、乙相遇到甲、丙相遇的这段情况。
从甲、乙相遇开始，甲丙相向而行，是相遇问题，距离为：
（60＋40）×
15=1500（米），甲、乙相遇时甲、丙相距1500米，也就是乙丙相距1500米，乙、丙同向是一个追及问题，到甲、乙相遇为止，乙、丙走了：
1500÷
（50－40）=150（分钟），这同时也是甲、乙相遇运动的时间，因此A、B距离为：
（60＋50）×
150=16500（米），合16.5千米，即A、B相距16.5千米。
在复杂的行程问题中，既要从条件出发，也要从结论出发考虑，把复杂问题折成若干简单问题再求解。
25.两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以每小时9千米的速度由仓库开往农场，30分钟后，第二辆以每小时12千米的速度由仓库开往农场，问：
1）第二辆追上第一辆的地点距仓库多远？
2）如果第二辆比第一辆早到农场20分钟，仓库到农场的路程有多远？
这个追及问题重点在于找到路程之差。
1）第二辆拖拉机出发时第一辆相差：
9×
0.5=4.5（千米），第二辆追上第一辆需要时间为：
4.5÷
（12－9）=1.5（小时），此时第二辆行程为：
12×
1.5=18（千米），即追上第一辆地点距仓库18千米；
2）第二辆到达农场时，与第一辆相距：
1/3=3（千米），第二辆从追上第一辆到达农场用时：
3÷
（12－9）=1（小时），农场与仓库距离为：
18÷
1=30（千米），即农场与仓库距离30千米。
追及问题有许多先后出发，先后到达的情形，这种情况下求时间和路程时一定要仔细考虑是谁的行进情况，不要弄反了。
26.甲、乙两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时甲马在前，乙马在后，如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：
何时两地相距70米？
先分析两马行进的大概情况，甲马较慢在前面，乙马较快在后面，开始后乙马追近甲马并超过它，再拉远距离因此相距70米是在乙马超过甲马后出现的。
追及时间为：
（50＋70）÷
（12－10）=60（秒），即60秒后两马相距70米。
27.甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙的后面，出发后6分钟甲第一次追上乙，22分钟时甲第二次追上乙，假设两人速度都保持不变，问：
出发时甲在乙身后多少米？
环形跑道上的追及问题，两次超过之间甲比乙多走一圈，这是重点。
甲比乙快，他们的速度差为：
440÷
（22－6）=25（米/分钟），出发时，两人相距为：
25×
6=150（米），即出发时甲在乙后150米
环形跑道上的追及问题，可以多次追上并超越，利用这一点是这类题目的关键。
28.铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆汽车正以每小时40千米的速度行驶，这时一列长375米的火车以每小时67千米的速度从后面开过来，问：
火车从车头到车尾经过汽车旁边需要多少时间？
铁路上的追及问题与相遇问题中的错车问题相似。
从汽车上看火车速度为67－40=
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