命题逻辑Word文档格式.docx
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G是公式,I是G的一个解释,显然,G在I下有真值,通常记为TI(G)
v例.公式G=(PQ)R的真值表中第二个解释就可以记为{P,Q,R}
v公式G称为可满足的,如果它不是恒假的。
v练习:
求满足公式(P→Q)→PQ的解释和弄假它的解释。
(考试题型)
v定义3.1.11称公式G,H是等价的,记以G=H,如果G,H在其任意解释I下,其真值相同。
公式G,H等价iff公式GH恒真。
公式间的等价关系有自反性、对称性,传递性。
v1)(GH)=(GH)(HG);
v2)(GH)=(GH);
v3)GG=G,GG=G;
(幂等律)
v4)GH=HG,GH=HG;
(交换律)
v5)G(HS)=(GH)S,
G(HS)=(GH)S;
(结合律)
v公式恒真或恒假的证明。
例.(P→Q)→((Q→R)→(P→R))
=(PQ)((QR)(PR))
=(PQ)((QR)(PR))
=(PQ)((QPR)(RPR))
=(PQ)((QPR)1)
=(PQ)(QPR)
=(PQPR)(QQPR)
=11=1
v例.
(P→Q)→PQ
=(PQ)(PQ)
=P(QQ)=P1=P
v例.证明:
(PQ)(PR)(QR)=(PQ)(PR)
证明:
左=(PQ)(PR)((PP)(QR))
=(PQ)(PR)(PQR)(PQR)
=((PQ)(PQR))((PR)(PRQ)
=(PQ)(PR)=右
(1)证明:
P→(Q→R)=PQ→R
(2)问:
(P→Q)→R与PQ→R是否等价?
v设Q是逻辑运算符号集合,若所有逻辑运算都能由Q中元素表示出来,而Q的任意真子集无此性质,则称Q是一个完备集。
{,},{,}都是完备集。
v证明{,}是完备集
v证明:
vPQ=(PQ)
PQ=PQ=(PQ)
PQ=(PQ)(QP)
=(PQ)(QP)
=((PQ))((QP))
v“”称作与非联结词。
PQ=(PQ)。
v称作或非联结词。
PQ=(PQ)
{}是完备集
P=(PP)=PP
PQ=(PQ)
=(P)(Q)
=(PP)(QQ)
PQ=(PQ)=(PQ)
=((PQ)(PQ))=(PQ)(PQ)
v设G,H是两个公式。
称H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H)当且仅当对G,H的任意解释I,如果I满足G,则I也满足H,记作GH
符号“”和“=”一样,它们都不是逻辑联结词,因此,G=H,GH也都不是公式。
是一种偏序关系。
v自反性:
任取公式G,有GG恒真,因此,GG。
v反对称性:
若GH,HG,则GH,HG恒真,
从而,(GH)(HG)恒真,即,GH恒真,
v故G=H。
传递性:
若GG1,G1H,则对G,G1,H的任意解释I,若I满足G,则由GG1知,I满足G1,再由G1H知,I满足H。
因此,GH。
设G1,…,Gn,H是公式。
称H是G1,…,Gn的逻辑结果(或称G1,…,Gn共同蕴涵H),当且仅当(G1…Gn)H
设S={PQ,QR,PM,M}则下面的公式序列:
M,PM,P,PQ,Q,QR,R
就是从S推出R的一个演绎
基本蕴含式
1.PQP
2.PQQ
3.PPQ
4.QPQ
5.P(PQ)
6.Q(PQ)
7.(PQ)P
8.(PQ)Q
9.P,QPQ
10.P,PQQ
11.P,PQQ
12.Q,PQP
13.PQ,QRPR
14.PQ,PR,QRR
例设A=(RP)Q,B=PQ,证明A蕴涵B。
证明AB恒真。
((RP)Q)(PQ)
=((RP)Q)(PQ)
=((RP)Q)(PQ)
=(RQ)(PQ)(PQ)
=1
✓利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导
例设A=(RP)Q,B=PQ,
证明A蕴涵B。
由基本等价式可得:
A=(RP)Q
=(RP)Q
=(RP)Q
=(RQ)(PQ)
由基本蕴涵式2.PQQ可知,
(RQ)(PQ)(PQ),即A蕴涵B。
✓任取解释I,若I满足G,往证I满足H
例.设A=PQ,B=(RQ)((PR)Q),
任取解释I,若I满足A,则有如下两种情况:
(1)在解释I下,P为假,这时,
TI(B)=(RQ)(RQ)=1,
因此,I亦满足B。
(2)在解释I下,Q为真,这时,
TI(B)=11=1,即,I亦满足B。
综上,I满足B,因此,A蕴涵B。
✓反证法,设结论假,往证前提假
(即证明HG)。
例设A=(RP)Q,B=PQ,
假设存在解释I使PQ为假,则只有一种情形:
P在I下为真,且Q在I下为假,
这时RP在I下为真,故I弄假(RP)Q。
因此,(RP)Q蕴涵PQ。
KEY
v证明{(PQ),(PR),(QS)}SR
1.PQ规则1
2.PQ规则2,根据1
3.QS规则1
4.PS规则2,根据2,3
5.SP规则2,根据4
6.PR规则1
7.SR规则2,根据5,6
8.SR规则2,根据7
v证明{P(QS),RP,Q}RS
1.RP规则1
2.R规则3
3.P规则2,根据1,2
4.P(QS)规则1
5.QS规则2,根据3,4
6.Q规则1
7.S规则2,根据5,6
8.RS规则3,根据2,7
v定义3.1.18原子或原子的否定称为文字。
v例.P,P是文字。
v有限个文字的析取式称为一个子句;
有限个文字的合取式称为一个短语。
v特别,一个文字既可称为是一个子句,也可称为是一个短语。
v例.P,PQ,PQ是子句,P,PQ,PQ是短语
v有限个
(1)短语的析取式称为析取范式;
有限个
(1)子句的合取式称为合取范式。
文字也两者都是
vP,PQ,PQ,(PQ)(PQ)是析取范式P,PQ,PQ,(PQ)(PR)是合取范式。
vG=(P(QR))S
=(P(QR))S
=P(QR)S
=P(QR)S…………….(析取范式)
=P(QR)(S(QQ))
=P(QR)(SQ)(SQ)(析取范式)
=(PS)(QR)
=(PSQ)(PSR)……(合取范式)
v对于P1,…,Pn的任一个极小项m,2n个解释中,有且只有一个解释使m取1值。
v设命题公式G中所有不同原子为P1,…,Pn,如果G的某个析取范式G’中的每一个短语,都是关于P1,…,Pn的一个极小项,则称G’为G的主析取范式。
vd)对于所有不是关于P1,…,Pn的极小项的短语使用同一律,补进短语中未出现的所有命题原子,并使用分配律展开。
v求G=(RP)(Q(PR))的主析取范式
v解:
G=(RP)(Q(PR))
=(RP)(QP)(QR)
=(PR)(PQ)(QR)
=((PR)(QQ))((PQ)(RR))((QR)(PP))
=(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
判断公式G=(PQ)(QR)(RP)是否恒假?
解:
G=(PQ)(QR)(RP)
=(PQ)(QR)(RP)
=((PQ)(QQ)(PR)(QR))(RP)
=(PQR)(QQR)(PRR)(QRR)(PQP)(QQP)(PRP)(QRP)
故公式G不是恒假的。
判断公式G=(PQ)PQ是否恒假?
G=(PQ)PQ
=(PQ)PQ
=(PPQ)(QPQ)
故公式G是恒假的。
1.把公式化成主析取范式
公式恒假时,主析取范式没有极小项;
公式恒真时,主析取范式有全部极小项。
Ø
极大项有如下性质:
⑴n个命题原子P1,…,Pn有2n个不同的解释,每个解释对应P1,…,Pn的一个极大项。
⑵对P1,…,Pn的任意一个极大项M,有且只有一个解释使M取0值.若使M取0的解释对应的二进制数为i,则M记为Mi。
⑶任意两个不同的极大项的析取式恒真:
MiMj=1,i≠j。
⑷所有极大项的合取式恒假。
极小项和极大项的关系:
mi=Mi,Mi=mi
从一公式A的主合取范式(PQ)求其主析取范式的步骤为:
⑴求出A的主合取范式中没有包含的所有极大项。
PQ,PQ,PQ
⑵求出与⑴中极大项下标相同的极小项。
PQ,PQ,PQ
⑶将⑵求出的所有极小项析取起来,即得A的主析取范式。
(PQ)(PQ)(PQ)
例.若(PQ)(PQ)(PQ)为一公式H
的主析取范式,
H=H
=((PQ)(PQ)(PQ))
=((m0m1m3)
=(m2)
=M2
=PQ
为H的主合取范式。
v例求公式G=P→(Q→R)的主析取范式与主合取范式。
(真值表法和公式推导法)
主析取范式:
G=(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
=m0m1m2m3m4m5m7
主合取范式:
G=PQR=M6
v利用主合取范式与主析取范式可求解判定问题
主析取范式:
公式恒假时,主析取范式没有极小项(G’=0);
公式恒真时,主析取范式包含所有极小项。
主合取范式:
公式恒假时,主合取范式包含所有极大项;
公式恒真时,主合取范式没有极大项(G’=1)。
v证明等价式成立
由于任意公式的主范式是唯一的,所以可以分别求出两个给定的公式的主范式,若二者主范式相同,则给定的两公式是等价的,否则,给定的两公式不等价。
例判断P→(Q→R)与(PQ)→R是否等价。
利用求主合取范式的方法来判断。
由前知,P→(Q→R)的主合取范式为:
M6。
下面求(PQ)→R的主合取范式。
(PQ)→R
=(PQ)R
=(PQ)R
=(PR)(QR)
=(P(QQ)R)((PP)QR)
=(PQR)(PQR)(PQR)
=M2M4M6
二者的主合取范式不相同,因此,这两个公式不等价。