整理版中考数学专题复习学案折叠类题目中的动点问题含答案.docx

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整理版中考数学专题复习学案折叠类题目中的动点问题含答案

专题：

折叠类题目中的动点问题

折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。

此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值

例1.动手操作：

在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.

图例1-1

【答案】2.

【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端.根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.

①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.

确定点A'的位置方法：

因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'.再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.

图例1-2图例1-3

由折叠性质可知，AD=A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，

②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.

确定点A'的位置方法：

因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'.再作出∠A'PA的角平分线，与AD的交点即为点Q.

由折叠性质可知，AB=A'B=3，所以四边形ABA'Q为正方形.

所以A'C=BC－A'B=5－3=2.

综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.

故答案为：

2.

【点睛】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A的落点A'，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ的位置.利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.

类型二、折叠问题中的类比问题

例2.

（1）操作发现

如图例2-1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？

说明理由．

（2）问题解决

保持

（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；

（3）类比探求

保持

（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．

图例2-1图例2-2

【答案】见解析.

【解析】

（1）同意，理由如下：

如图例2-2，连接EF

∵E是AD的中点

∴AE=ED

由折叠及矩形性质得：

AE=EG，∠EGF=∠D=90°

所以，EG=DE

在Rt△EFG和Rt△EFD中，

∵EF=EFEG=DE

∴Rt△EFG≌Rt△EFD（HL）

∴DF=FG

（2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y

由折叠性质及

（1）知BF=BG+GF=AB+GF=3x

在Rt△BCF中，由勾股定理得：

BF2=BC2+CF2

（3x）2=（2y）2+x2

即：

∴

（3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=（n－1）x；

由折叠性质及矩形性质知：

BF=BG+GF=AB+GF=（n+1）x

在Rt△BCF中，由勾股定理得：

BF2=BC2+CF2

[（n+1）x]2=（2y）2+[（n-1）x]2

即：

∴

【点睛】本题立意新颖，是河南中考首次采用此类型题目，给人一种耳目一新的感觉.“操作发现——问题解决——类比探究”所展现的是数学研究的核心，即“提出问题——解决问题——理论扩展及应用”.学生需要具备完善的知识体系及一定的观察、计算能力才能完整解答此题.本题的意义不仅在于考查学生对折叠、矩形、全等三角形、勾股定理、解方程等知识的本质理解与掌握，在很大程度上是检验学生的学习过程和学习方式，从一个新的数学角度考查了学生的数学思维能力．

类型三、折叠问题中的直角三角形存在性问题

例3.如图例3-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为

图例3-1图例3-2图例3-3

【答案】2或1.

【解析】从题目所给的“当△AEF为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论.通过观察及分析可知∠BED=∠DEF=60°，所以∠AEF=180－120°=60°.即点E不可能为直角顶点.

分两种情况考虑：

①当∠EAF=90°时，如图例3-2所示.

∵∠B=30°，BC=3

∴，

∵∠EAF=90°

∴∠AFC=60°，∠CAF=30°

在Rt△ACF中，有：

，

由折叠性质可得：

∠B=∠DFE=30°，

②当∠AFE=90°时，如图例3-3所示.

由折叠性质得：

∠B=∠DFE=30°，

∴∠AFC=60°，∠FAC=30°

∴

所以，BF=2，

综上所述，BD的长为2或1.

【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识.通过此题，可总结出：

①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.

例4.如图例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

图例4-1图例4-2图例4-3

【答案】3或1.5.

【解析】此题以“当△CEB′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B′及点E分别为直角顶点.分两种情况考虑：

①当∠CEB′=90°时，如图例4-2所示.

由折叠性质得：

AB=AB′，四边形ABEB′是矩形.

所以四边形ABEB′是正方形.

此时，BE=AB=3.

②当∠CB′E=90°时，如图例4-3所示.

由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.

∴点A、B′、C共线

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5

由折叠得：

AB=AB′=3

所以B′C=2

设BE=x，则B′E=x，EC=4－x

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

EC2=B′E2+B′C2

即：

（4-x）2=x2+22

解得：

x=1.5.

综上所述，BE的值为3或1.5.

【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.

例5.如图例5-1，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为．

图例5-1图例5-2图例5-3

【答案】或1.

【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.

①当∠CMB′=90°时，如图例5-2所示.

由折叠知：

∠BMN=∠B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90°

即∠BNM+∠MNB′=180°，所以B、N、B′三点共线，此时B′与点A重合.

所以，

①当∠CB′M=90°时，如图例5-3所示.

由折叠知∠B=∠B′=45°，因为∠C=45°，可得∠B′MC=45°，所以△B′MC是等腰直角三角形

设BM=B′M=x，B′C=x，则MC=x

因为BC=+1

所以x+x=+1

解得：

x=1，即BM=1.

综上所述，BM的值为或1.

【点睛】根据题意判断出C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解.

例6.如图例6-1，在∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称.D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E.当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.

图例6-1图例6-2图例6-3

【答案】4或

【解析】分两种情况讨论.

①当∠A’FE=90°时，如图例6-2所示.

∵D、E分别为AC、BC的中点

∴DE是三角形ABC的中位线

即DE∥BA

∴∠A’BA=90°

∴四边形ABA’C为矩形

由折叠得AC=A’C

∴四边形ABA’C为正方形

即AB=AC=4.

②当∠A’EF=90°时，如图例6-3所示.

∵∠A’EF=∠CDE=90°

∴A’E∥CD

∴∠DCE=∠CEA’

由折叠知：

∠DCE=∠A’CE

∴∠CEA’=∠A’CE

∴A’C=A’E=4

又∵E是BC中点

即A’E是Rt△A’BC的中线

∴BC=2A’E=8

在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=

由折叠性质得：

AB=A’B=.

综上所述，AB的长为4或.

【点睛】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.

类型四、折叠问题中的等腰三角形存在性问题

例7.如图例7-1，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为.[

图例7-1

【答案】16或.

【解析】根据△CDB′为等腰三角形，以CD为腰或底分三种情况讨论，①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′.对于①DB′=DC，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以D为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′.对于②CB′=CD，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以C为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′.对于③CB′=DB′，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，弧与CD垂直平分线的交点为B′.

图例7-2图例7-3图例7-4

详解：

①DB′=DC，如图例7-2所示.

易知：

DB′=DC=16.

②CB′=CD，如图例7-3所示.

由折叠性质可知：

BF=B′F=CD=16，此时F点与C点重合，不符题意.

③CB′=DB′，如图例7-4所示.

由题意得，DN=CN=8，因为AE=3，所以EM=5.B′E=BE=13.

在Rt△EB′M中，由勾股定理得，B′M=12.

所以B′N=4.

在Rt△DB′N中，由勾股定理得，B′D=.

综上所述，B′D的长为16或.

【点睛】以CD为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解.

类型五、折叠问题中的落点“固定”问题

例8.如图例8-1，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为　　．

图例8-1

图例8-2图例8-3

【答案】或.

【解析】如图例8-2.

发现有两个不同的D’点，对不同的位置分别求解.

如图例8