45高一数学导学案立体图形的直观图解析版文档格式.docx

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4．成图处理：

成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．

【合作探究】

探究一水平放置的平面图形直观图的画法

【例1】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°

，AD＝3cm，试画出它的直观图．

[分析]　以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A，B，C，D在直观图中的相应点即可．

[解]　画法步骤：

（1）如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°

.

（2）在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝

≈2.598（cm）；

过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝

ED＝

×

＝0.75（cm），再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.

（3）连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．

归纳总结：

在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；

原图中的共线点在直观图中仍是共线点；

原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；

原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E′，再去确定D′的位置

【练习1】画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．

解：

（1）如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°

，如图②所示．

（2）在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝

AO＝

cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．

（3）擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．

探究二画空间几何体的直观图

【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．

[分析]　利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．

[解]　

（1）画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°

，∠xOz＝90°

（2）画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；

在y轴上取线段PQ，使PQ＝

cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

（3）画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.

（4）成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线），就得到长方体的直观图（如图②）．

（1）画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；

（2）对于一些常见几何体（如柱、锥、台、球）的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出

【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图．

（1）画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°

（2）画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4cm，过O′作Ox，Oy的平行线O′x′，O′y′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．

（3）画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3cm.

（4）成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

探究三由直观图还原成原图

【例3】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝

C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积．

[分析]　利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．

[解]　如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.

在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.

在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形（如图）．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.

所以面积为S＝

2＝5.

由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可

【练习3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（　　）

A．正方形　　B．矩形　　　C．菱形　　　D．梯形

【答案】C

解析：

将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝

O′C′＝2

cm，OD＝2O′D′＝4

cm，C′D′＝O′C′＝2cm，∴CD＝2cm，OC＝

＝6cm，又OA＝O′A′＝6cm，∴OA＝OC，∴原图形为菱形.

课后作业

A组基础题

一、选择题

1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′（如图所示），其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝

，那么△ABC是一个（　　）

A．等边三角形　　　B．直角三角形

C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形

【答案】A　[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：

由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．]

2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1∶

500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　）

A．4cm,1cm,2cm,1.6cm

B．4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C．4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

【答案】C　[由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm，2cm，1.6cm.]

3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°

，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）

A．2＋

B．

C．

D．1＋

【答案】A　[画出其相应平面图易求，故选A．

]

4．（多选题）如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是（　　）

A　　　　B　　　C　　　　D

【答案】CD　[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°

和45°

的坐标系中的直观图．]

5．（多选题）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是（　　）

A．三角形的直观图仍然是一个三角形

B．90°

的角的直观图会变为45°

的角

C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半

D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

【答案】ACD　[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；

对于B,90°

或135°

的角，故B错误；

C，D显然正确．]

二、填空题

6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4,4）在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．

【答案】

（4,2）　[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]

7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

【答案】2.5　[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]

8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°

，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．

【答案】2　[△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]

三、解答题

9．画出水平放置的四边形OBCD（如图所示）的直观图．

[解]　

（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°

①　　　　　　②　　　　　③

（2）如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；

在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝

OD；

过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝

EC．

（3）连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③

所示，

四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．

10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．

[解]　

（1）画法：

过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.

（2）在直角坐标系xOy中．

在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，

再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，

DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC．

B组能力提升

1.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为（　　）

A．2B．4

C．2

D．4

【答案】D　[设△AOB的边OB上的高为h，由题意，得S原图形＝2

S直观图，所以

OB·

h＝2

2×

O′B′.因为OB＝O′B′，所以h＝4

.故选D．]

2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　）

A．2cmB．3cm

C．2.5cmD．5cm

【答案】D　[由题意可知其直观图如图，

由图可知两个顶点之间的距离为5cm.故选D．]

3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18

，则原正方形的面积为________．

【答案】72　[如图所示，作出正方形OABC的直观图O′A′B′C′，作C′D′⊥x′轴于点D′.

S直观图＝O′A′×

C′D′.又S正方形＝OC×

OA．

所以

＝

，

又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝

C′D′，

即C′D′＝

O′C′，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，

＝2

又S直观图＝18

，所以S正方形＝2

18

＝72.]

4.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．

[解]　四边形ABCD的真实图形如图所示，

因为A′C′在水平位置，

A′B′C′D′为正方形，

所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°

所以在原四边形ABCD中，

AD⊥AC，AC⊥BC，

因为AD＝2D′A′＝2，A

C＝A′C′＝

所以S四边形ABCD＝AC·

AD＝2

5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

[解]　

（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°

，如图①.

（2）画底面．以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD．

（3）画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

（4）成图．连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.

①　　　　　　　　②