专题二平行四边形常用辅助线的作法 精编排版Word下载.docx
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互相平分.
说明：
当已知条件中涉及到平行，且要求
证的结论中和平行四边形的性质有关，可
试通过添加辅助线构造平行四边形.
（2）利用两组对边平行构造平行四边形
2、如图，在△ABC
中，E、F
为
AB
上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC
交
BC
分别为
D，G.
ED+FG=AC.
当图形中涉及到一组对边平
行时，可通过作平行线构造另一组
对边平行，得到平行四边形解决问
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形：
3、如图，已知
是△ABC
的中线，BE
于
E，交
F，且
AE=EF.求证
BF=AC.
本题通过利用对角线互相平分构造平行
四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边
形.当已知中点或中线应思考这种方法.
（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
4、如图，在平行四边形
中，点
E,
F
在对角线
上，且
AE
=
CF
请你以
为一
个端点，
和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段
相等（只需证明一条线段即可）
D
F
E
图1
图2
（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
5、如右图
2，在平行四边形
中，对角线
和
BD
相交于点
O，如果
12
，
10
，
m
，那么
的取值范围是（）
A、1
<
11B、
2
22
C、10
12D、
5
6
AD
3
（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
P
6、已知：
如图，四边形
为平行四边形：
求证：
+
CD
DA2
图3
C
图
（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
7、已知：
如右上图
4，在正方形
中，
分别是
、
DA
的中点，
BE
交
P
点，求证：
APAB
二、课堂练习：
1、如图，E
的边
的中点，AC
DE
，若平行四边形
ABCD
A．1
个B．2
个C．3
个D．4
个
2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个
____________________
四边形．
3、如图，AD，BC
垂直相交于点
O，AB∥CD，BC=8，AD=6，
则
AB+CD
的长=___________。
4、已知等边三角形
ABC
的边长为
a，
内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF
∥AC，点
D、
E、F
分别在
BC、AC、AB
上，猜想：
PD＋PE+PF=______，并证明你的
猜想．
CE
图4
K
5、平行四边形
E
G,
H
分别是四条边上的点，且
DH
试说明：
EF
GH
相互平分．
6、如图，平行四边形
交于
O，E、F
OB、OD
的中点，过
任作一直线分
别交
AB、CD
G、H．
GF∥EH．
7、如图，已知
，B
是
的中点，E
的中点．
2CE
8、如图，E
是梯形
腰
DC
S
∆ABE
=
梯形ABCD
5
9、已知六边形
ABCDEF
的
6
个内角均为
120°
，CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF=5cm，试
求此六边形的周长．
10、已知
∆ABC
是等腰三角形，AB=AC，D
边上的任一点，且
⊥
DF
CH
，垂足分别为
E、F、H，
求
证：
CH
11、已知：
在
Rt∆ABC
Rt∆ADE
连结
EC
，取
的中点
M
DM
BM
．
（1）若点
在边
上，点
上且与点
不重合，如图①，
且
（2）如果将图
8-①中的
∆ADE
绕点
逆时针旋转小于
45°
的角，如图②，那么
（1）
中的结论是否仍成立？
如果不成立，请举出反例；
如果成立，请给予证明．
M
ADC
图①
图-②
答案：
4、⑴
BF⑵
BF
DE
,
⑶
证明：
DB
设
交于点
∵四边形
为平行四边形∴
AO
OC,
DO
OB
∵
FC∴
-
OC
FC
即
OF
∴四边形
EBFD
5、解：
将线段
沿
方向平移，使得
CE
则有四边形
CDBE
为平行
四边形,
∵在
∆ACE
中,
2m
∴12
2m
，即
22解得
1
11故选
6、证明：
过
A,
分别作
于点
的延长线于点
∴
（
）
⋅
BC
（CD
2BC
CF
7
DA2
BE
∥
∠ABC
∠DCF∵
∠AEB
∠DFC
90
≅
∆DCF∴
7、证明：
延长
BA
为正方形
∠BAD
∠BCD
∠D
∠1
∠K又∵
∠DAK
0
AF∴
∆CDF
≌
∆KAF
22
0∴
∆BCE
∆CDF∴
∠2
∠3
∠2
∠CPB
则
∠KPB
AP
AB
1、
C2、平行3、104、
a
5、分析：
观察图形，EF
HG
为四边形
HEGF
的对角线，若能说明四边形
是平
行四边形，根据
平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到
相互平分。
6、分析：
观察图形，GF
EH
GEHF
的对边，若能说明四边形
EHFG
是平行
四边形，平行四
边形具有对边平行的性质可得
8
7、分析：
至
F，使
EF＝CE，连结
AF、BF，得四边形
AFBC
是平行四边形，利
用平行四边形
的性质证明△DBC≌△FBC
即可。
8、分析：
过点
作
MN∥AB，交
N，交
的延长线于
M，则四边形
ABNM
行四边形，
ABE
ABNM，接下来说明
梯形
ABCD＝S
9、
10、
点作
DG⊥CH
G
又
DE⊥AB
E，CH⊥AB
H
DGHE
为矩形∴DE＝GHEH∥DG
∴∠B＝∠GDC
AB＝AC∴∠B＝∠ACB
∴∠GDC＝∠ACB
又∠DGC＝∠DFC＝90°
CD＝DC（公共边）
∴△CDG≌△DCF（AAS）
∴DF＝CG
9
CH＝CG＋GH
∴CH＝DF＋DG（等量代换）
11、
平行四边形中常用辅助线的添法
10
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同
性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三
角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常
用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或
中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
第一类：
连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
如左下图
1，在平行四边形
请你
以
为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中
已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结
⑶证明：
DB,
第二类：
平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
如右图
A1
11B
22C10
12D
11
解：
为平行四
边形,∵在
22解得1
第三类：
过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
已知：
3，四边形
为平行四边形
BE
第四类：
延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
4：
中，E,
、DA
12
第五类：
延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
5，在平行四边形
为边
上任一点，请你在该图基础上，
适当添加辅助线找出两对相似三角形。
的延长线相交于
，则有
∆AED
∽
∆FEC
∆FAB
∆FAB
AA
EN
BE图6C
B图5CF
第六类：
把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
6，在平行四边形
AN
BN
，求
:
BD
连结
ON
OA
OB
OD
NE
11BEBF
22ONFO
1BF2
3FO3
BF2
BO5
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：
连对角线，平移对角线，延长一边中点与
顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，
为证明解决问题创造条件。
13
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