杭州师范大学高等代数考研初试真题.docx

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杭州师范大学高等代数考研初试真题

杭州师范大学

2020年招收攻读硕士研究生考试题

考试科目代码：

831

考试科目名称：

高等代数

说明：

考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。

每题15分，共150分

1.证明：

一个非零实二次型可以分解为两个一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩为2且符合差为0，或秩为1。

2.求正交线性替换将二次型化为标准型

。

3.已知线性方程组。

（1）取何值时，该方程组有解。

（2）在有解的情况下，求出该方程组的解。

4.求满足的所有阶方阵（这里是的伴随矩阵）。

5.求解行列式

。

6.设为维欧式空间，为的一个正交变换。

设为的一个维数小于的-不变子空间，令为的正交补。

（1）证明：

也是一个-不变子空间。

（2）证明：

存在的一组标准正交基使得在这组基下的矩阵为形如如下矩阵，其中和都是正交矩阵。

7.证明：

n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是：

对于A的任一特征值，矩阵和有相同的秩，这里是n阶单位矩阵。

8.一个整系数多项式称为是本原多项式，如果它的系数互素。

证明：

两个本原多项式的乘积是本原多项式。

9.设为数域P上全体次数不超过n的多项式构成的向量空间。

（1）证明：

构成的一组基，其中。

（2）求基到基的过渡矩阵；

（3）设，证明Taylor公式

。

10.阶矩阵为幂等矩阵（）的充分必要条件是，这里为的秩，E为n阶单位矩阵。

杭州师范学院

2006年攻读硕士学位研究生入学考试题

学科专业：

基础数学、应用数学

研究方向：

考试科目：

高等代数

说明：

1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；

2、命题时试题不得超过周围边框；

3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；

4、

5、

一、（25分）

1）已知f（x），g（x）∈Z[x]，g（x）是本原多项式，又f（x）=g（x）h（x），则h（x）∈Z[x]。

2）求证，多项式f（x）=x6+x3+1在有理数域Q上不可约。

二、（20分）

计算行列式

D=。

三、（20分）

求矩阵A=的逆。

四、（20分）

k为何值时，二次型q（x1,x2,x3）=是正定的？

五、（20分）

n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。

六、（25分）

σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意（x1,x2,x3,x4）∈F4，

有σ（x1,x2,x3,x4）=（x1-x2+5x3-x4，x1+x2-2x3+3x4，3x1-x2+8x3+x4，x1+3x2-9x3+7x4）；

求线性变换σ的像Im（σ）和核Ker（σ）的基与维数。

七、（20分）

已知A=，求一个矩阵B，使A=B2。

（提示：

利用A的特征根、特征向量）

杭州师范学院

2007年招收攻读硕士研究生入学考试题

考试科目代码：

414

考试科目名称：

高等代数

说明：

1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；

2、命题时试题不得超过周围边框；

3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；

4、

5、

一、（20分）

设A∈Mn（C），f（x）∈C[x]，且0f（x）＞0，g（x）是以A为根的次数最低的多项式，求证：

1、若（f（x），g（x））=d（x），则d（A）的秩与f（A）的秩相等；

2、f（A）可逆（f（x），g（x））=1．

二、（20分）

计算Dn=

三、（15分）

设A为n阶方阵，I为n阶单位阵，且满足A3=3A（A－I），试证A－I为可逆阵，并求（A－I）-1．

四、（20分）

设A=（k∈R）分别求矩阵A的秩；并求AX=0的基础解系。

五、（15分）

a为何值时，下列线性方程组有惟一解？

无解？

无穷多解？

并给出一般解。

六、（20分）

σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意ξ∈F4，有σ（ξ）=Aξ；其中

A=

求线性变换σ的像和核的基与维数．

七、（20分）

设A=，B=，C=．

若A为三维向量空间V的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵，则B与C是σ关于V的其他基的矩阵吗?

试予以判断，并说明理由。

八、（20分）

已知二次型f（x1,x2,x3）=5+5+t-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，

1）确定参数t；

2）用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵；

3）指出方程f（x1,x2,x3）=1表示何种二次曲面。

杭州师范大学

2008年招收攻读硕士研究生入学考试题

考试科目代码：

814

考试科目名称：

高等代数

说明：

1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；

2、命题时试题不得超过周围边框；

3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；

4、

5、

1、（15分）求证，多项式x6+x3+1在有理数域上不可约．

2、（15分）计算行列式

Dn=（注：

主对角线以外全是x）

3、（15分）设A=（k∈R），求AX=0的解空间的基和维数．

4、（15分）已知矩阵A=与B=相似，求实数a，b．

5、（10分）设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．

杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸

杭州师范大学

2009年招收攻读硕士研究生入学考试题

考试科目代码：

813

考试科目名称：

高等代数

说明：

1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；

2、命题时试题不得超过周围边框；

3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；

4、

5、

1、（15分）设f（x）∈Z[x]，f（x）对四个不同整数ai（i=1、2、3、4）的值都为1，即f（ai）=1，则f（x）+1无整数根．

2、（15分）利用升阶法计算n阶行列式

Dn=其中b1b2…bn≠0．

3、（20分）设A=（k∈R）

求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．

4、（20分）已知n阶实对称阵A是幂等矩阵（即A2=A）,且秩A=r,求det（3I-A）的值．

2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）

杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸

5、（20分）设a，b为两个复数，令

Va={f（x）|f（x）∈F[x]，f（a）=0}，Vb={g（x）|g（x）∈F[x]，g（b）=0}，

为F[x]的两个子空间，试证：

Va与Vb同构．

6、（20分）设V=V1V2，σ，τ∈L（V），对于α=α1+α2∈V，都有σ（α）=α1，

（α1∈V1，α2∈V2），求证V1与V2都是τ的不变子空间στ=τσ．

7、（20分）设W为n维欧氏空间V的n-1维子空间，且V中的非零向量α与W正交，即<α，W>=0；若σ∈L（V），且对于ξ∈W，都有σ（ξ）=ξ，而σ（α）=-α，则σ是一个正交变换．

8、（20分）设A，B皆为n阶实对称阵，且A为正定阵．证明存在一个n阶实可逆阵T，使T/AT=In，T/BT=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λi，i=1，2，…，n，为

│xA－B│=0的根．

特别，若B也是正定阵，则λ1，…，λn皆为正实数．

2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第2页）

杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸

杭州师范大学

2010年招收攻读硕士研究生入学考试题

考试科目代码：

814

考试科目名称：

高等代数

说明：

1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；

2、命题时试题不得超过周围边框；

3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；

4、

5、

1、（15分）设是有理数域上的不可约多项式的根，求证：

对非1任意有理数，。

2、（15分）计算阶行列式

。

3、（20分）设是矩阵，是阶单位矩阵，证明：

存在矩阵使成立的充分必要条件是。

2010年考试科目代码814考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）

杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸

4、（20分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，令，其中为数。

试问满足何关系时，也是方程组的一个基础解系。

5、（20分）设为阶矩阵且，这里为阶单位矩阵。

求可逆阵使为对角阵。

6、（20分）设为数域上的维向量空间的两个非零子空间，且维数。

求证：

上存在线性变换使

。

7、（20分）设是正定矩阵，己知矩阵方程有唯一解，求证是正定矩阵。

8、（20分）设均为阶实对称矩阵，为的任一个特征值，求证存在的一个特征值和的一个特征值使。

2010年考试科目代码814考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第2页）

杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸

杭州师范大学

2011年招收攻读硕士研究生入学考试题

考试科目代码：

825

考试科目名称：

高等代数

说明：

1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；

2、命题时试题不得超过周围边框；

3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；

1．（10分）设和是实系数多项式，且，求证：

。

2、（20分）设都是实数,计算行列式

（1）；

（2）。

3．（10分）求证：

一个矩阵的秩当且仅当可以表示成一个矩阵与一个矩阵之积。

4．（16分）设四元齐次线性方程组（I）为

又知某齐次线性方程组（II）的通解为。

（1）求线性方程组（I）的通解;

（2）线性方程组（I）和（II）是否有公共的非零解?

若没有,则说明理由;若有,则求出所有的公共非零解。

5．（24分）令是数域F上矩阵的集合。

（1）已知：

，求证：

；

（2）已知：

且，求证：

；

（3）已知：

，求证：

。

2011年考试科目代码825考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）

杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸

6．（18分）设A，B都是n阶可逆方阵,C是n阶方阵.证明2n阶方阵可逆,并求。

7．（10分）设是数域F向量空间上线性变换的集合，令，，并且都不等于零，但，求证：

向量组

线性无关。

8．（14分）求使二次型

为正定的充要条件。

9．（10分）设是维欧氏空间的一个正交变换，且的子空间在之下不变，那么的正交补也在之下不变。

10．（18分）设F为数域，且。

.分别是齐次线性方程组的解空间.求证：

。

2011年考试科目代码825考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第2页）

杭州师范大学

2012年招收攻读硕士研究生入学考试题

考试科目代码：

817

考试科目名称：

高等代数

说明：

1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；

2、命题时试题不得超过周围边框；

3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；

1.设为一个素数，证明多项式在有理数域上不可约。

（15分）

2．计算行列式（15分）

。

3．设向量组线性无关，求证下向量组（15分）

线性相关。

4．设矩阵A=，已知A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征根，求可逆阵T，使得T−