方案设计型问题Word格式文档下载.docx
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①在你设计的测量方案中,选用的测量工具是:
;
②要计算出塔的高,你还需要测量哪些数据?
.
【分析】
(1)要求MN的长,先求ME的长,因为ME所在的直角三角形,没有一个边已知,所以不好直接求。
于是设
长为
,根据直角三角形的边角关系列方程求解。
(2)答案不唯一,可以考虑相似法,也可以考虑用锐角三角函数法等。
【答案】解:
(1)设
的延长线交
于
点,
,则
.
∵
∴
.∴
解得
∴太子灵踪塔
的高度为
(2)①测角仪、皮尺;
②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度.
(或者①木杆、皮尺;
②木杆自身的高度和当时的影长)
【评注】①不好直接求,可以考虑用方程法求解;
②不同的方案,所用的数学原理不同,所选用的测量工具、测量数据也不同。
2.设计搭配方案问题
这类问题不仅在中考中经常出现,大家在平时的练习中也会经常碰到。
它一般给出两种元素,利用这两种元素搭配出不同的新事物,设计出方案,使获利最大或成本最低。
解题时要根据题中蕴含的不等关系,列出不等式(组),通过不等式组的整数解来确定方案。
例2.(2010莱芜)为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;
组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)问符合题意的组建方案有几种?
请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明在
(1)中哪种方案费用最低?
最低费用是多少元?
(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x),然后分别把所需要的科技类书籍和人文类书籍表示出来,再根据题中的不等关系列出不等式组,求出其整数解;
(2)分别求出每种方案的费用,进行比较,就可以求出最低费用。
【答案】解:
(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.
由题意得
解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.
当x=18时,30-x=12;
当x=19时,30-x=11;
当x=20时,30-x=10.
故有三种组建方案:
方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;
方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;
方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方法一:
由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用,因此组建中型图书角的数量越少,费用就越低,故方案一费用最低,
最低费用是860×
18+570×
12=22320(元).
方法二:
①方案一的费用是:
860×
12=22320(元);
②方案二的费用是:
19+570×
11=22610(元);
③方案三的费用是:
20+570×
10=22900(元)
故方案一费用最低,最低费用是22320元.
【评注】本题主要考查学生运用不等式组解决实际问题的能力,属于中等难度的试题,具有一定的区分度.注意分类讨论在解答此类问题的应用。
另外,本题也可以用一次函数表示出需要总费用,然后根据一次函数的性质求出其最小值。
3.设计销售方案问题
在商品买卖中,更多蕴含着数学的学问。
在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中,大家不能被表象所迷惑,需要理智的分析。
通过计算不同的销售方案盈利情况,可以帮助我们明白更多的道理。
近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
例3.(2010年南京)某厂为新型号电视机上市举办促销活动,顾客每购买一台该型号电视机,可获得一次抽奖机会,该厂拟按10%设大奖,其余90%为小奖.
厂家设计的抽奖方案是:
在一个不透明的盒子中,放入10个黄球和90个白球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,摸到黄球的顾客获得大奖,摸到白球的顾客获得小奖.
(1)厂家请教了一位数学老师,他设计的抽奖方案是:
在一个不透明的盒子中,放入2个黄球和3个白球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出2个球,摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖,其余的顾客获得小奖.该抽奖文案符合厂家的设奖要求吗?
请说明理由;
(2)下图是一个可以自由转动的转盘,请你将转盘分为2个扇形区域,分别涂上黄、白两种颜色,并设计抽奖方案,使其符合厂家的设奖要求.(友情提醒:
1.在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数.2.结合转盘简述获奖方式,不需说明理由.)
(1)用树状图或列表法表示所有等可能的结果,也可以用枚举法表示所有等可能的结果;
(2)由于按10%设大奖,其余90%为小奖,所以可以把转盘分成两部分,其中大奖部分的圆心角为10%×
360°
=36°
。
(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求。
分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球。
从中任意摸出2个球,可能出现的结果有:
(黄1,黄2)、(黄1,白1)、(黄1,白2)、(黄1,白3)、(黄2,白1)、(黄2,白2)、(黄2,白3)、(白1,白2)、(白1,白3)、(白2,白3)。
共有10种,它们出现的可能性相同。
所有的结果中,满足摸到的2个球都是黄球(记为事件A)的结果有1种,即(黄1,黄2),所以P(A)=
,即顾客获得大奖的概率为10%,获得小奖的概率为90%。
(2)本题答案不惟一,下列解法供参考。
如果,匀转盘圆心角为36°
的扇形区域涂上黄色,其余的区域涂上白色。
顾客每购买一台该型号电视机,可获得一次转动转盘的机会,任意转动这个转盘,当转盘停止时,指针指向黄色区域获得大奖,指向白色区域获得小奖。
【评注】本题主要考查概率的计算,以及利用概率设计实验的能力。
题目不难,但文字表达要清楚,符合题意。
4.设计图形剪拼方案问题
图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题,在各地的中考试题中经常出现。
这类问题大多具有一定的开放性,要求学生多角度、多层次的探索,以展示思维的灵活性、发散性、创新性。
例4.(2010四川达州)在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.
(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?
若不符合,请用方程的方法说明理由.
(2)你还有其他的设计方案吗?
请在图9-3中画出你所设计的草图,将花园部分涂上阴影,并加以说明.
(1)小芳方案中四周小路宽度为1m,则得花园面积是(16-1)×
(12-1)=165≠
,因此小芳的方案是不符合的;
可设小路宽度均为
m,计算得x≠1,从而用方程的方法了说明小芳的方案是不符合的.
(2)可以考虑设计图中阴影面积等于原面积的一半,也可以考虑设计图中空白部分面积等于原面积的一半。
(1)不符合
设小路宽度均为
m,根据题意得:
解这个方程得:
但
不符合题意,应舍去,∴
∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度均为2m.
(2)答案不唯一.
例如:
【评注】本题考查了学生把数学知识运用于生活实际,论证生活中的设计可行性问题,能很好的培养学生对知识的应用意识和运用能力.设计尽量简便可操作,而且要标上适当的数据,或附上文字说明。
四.真题演练
1.(2010安徽)上海世博会门票价格如下表所示:
某旅行社准备了1300元,全部用来购买指定日普通票和平日优惠票,且每种至少买一张.
(1)有多少种购票方案?
列举所有可能结果;
(2)如果从上述方案中任意选中一种方案购票,求恰好选到11张门票的概率.
门票价格一览表
指定日普通票
200元
平日优惠票
100元
……
2.(2010青海西宁)八
(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?
若可行,请证明;
若不可行,请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?
请说明理由.
3.(2010河北)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=
x+150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润
=
销售额-成本-广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳
x2
元的附加费,设月利润为w外(元)(利润
销售额-成本-附加费).
(1)当x
1000时,y
=元/件,w内
=元;
(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?
若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
参考公式:
抛物线
的顶点坐标是
.
真题演练答案
1.
(1)解:
有6种购票方案:
购票方案
指定日普通票张数
平日优惠票张数
一
1
11
二
2
9
三
3
7
四
4
5
五
六
6
(2)解:
由
(1)知,共有6种购票方案,且选到每种方案的可能性相等,而恰好选到11张门票的方案只有1种,因此恰好选到11张门票的概率是
2.
(1)方案(Ⅰ)不可行,因为当OM和ON不相等时,射线OP不是∠AOB的平分线.
方案(Ⅱ)可行
理由:
在△OMP和△ONP中,
所以△OMP≌△ONP(SSS).
所以∠AOP=∠BOP.
所以射线OP是∠AOB的平分线.
(2)此方案可行
在Rt△OMP和Rt△ONP中,
所以Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).
3.解:
(1)14057500;
(2)w内
x(y
-20)-
62500=
x2+130x
,
w外=
x2+(150
)x.
(3)当x
6500时,w内最大;
,
解得a1
30,a2
270(不合题意,舍去).所以a
30.
(4)当x
5000时,w内=337500,w外=
若w内<w外,则a<32.5;
若w内=w外,则a
32.5;
若w内>w外,则a>32.5.
所以,当10≤
a
<32.5时,选择在国外销售;
当a
32.5时,在国外和国内销售都一样;
当32.5<
≤40时,选择在国内销售.
第二部分练习部分
1.(2010年鄂尔多斯市)
某移动通讯公司提供了
两种方案的通讯费用
(元)与通话时间
(分)之间的关系,如图所示,则以下说法错误的是().
A.若通话时间少于120分,则
方案比
方案便宜20元
B.若通话时间超过200分,则
方案便宜
C.若通讯费用为60元,则
方案的通话时间多
D.若两种方案通讯费用相差10元,则通话时间是145分或185分
2.(2010年桂林市改编)某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨,准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬菜的能力是:
每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务,则该公司应安排________天精加工,________天粗加工.
3.(2010山东泰安改编)某电视机厂要印制产品宣传材料,甲印刷厂提出:
每份材料收1元印刷费,另收1000元制版费;
乙厂提出:
每份材料收2元印制费,不收制版费.
(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数关系式
甲厂:
_________________;
乙厂:
_______________。
(2)电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料,找____________厂印制的宣传材料能多一些。
(3)印刷数量______________时,在甲厂的印制合算。
4.(2010湖北襄樊)为了扶持农民发展农业生产,国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴.某市农机公司筹集到资金130万元,用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台.根据市场需求,这些收割机可以全部销售,全部销售后利润不少于15万元.其中,收割机的进价和售价见下表:
A型收割机
B型收割机
进价(万元/台)
5.3
3.6
售价(万元/台)
设公司计划购进A型收割机x台,收割机全部销售后公司获得的利润为y万元.
(1)试写出y与x的函数关系式;
(2)市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择?
(3)选择哪种购进收割机的方案,农机公司获利最大?
最大利润是多少?
此种情况下,购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元?
5.(2009年达州)阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度,他们带了以下测量工具:
皮具、三角尺、标杆、小平面镜等.
首先,小明说:
“我们用皮尺和三角尺(含30
角)来测量”.于是大家一起动手,测得小明与旗杆的距离AC为15㎝,小明的眼睛与地面的距离为1.6㎝,如图9(甲)所示.
然后,小红和小强提出了自己的想法.
小红说:
“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.”
小强说:
“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度!
”
根据以上情景,解答下列问题:
(1)利用图9(甲),请你帮助小明求出旗杆AB的高度(结果保留整数.参考数据:
);
(2)你认为小红和小强提出的方案可行吗?
如果可行,请选择一中方案在图9(乙)中画出测量示意图,并简述测量步骤.
6.(2009年北京市)阅读下列材料:
小明遇到一个问题:
5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示,将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是:
按图2所示的方法分割后,将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题:
(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求:
在图3中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可);
(2)如图4,在面积为2的平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果).
练习部分答案
1.D
2.6,10
(1)y=x+1000,y=2x
(2)甲
(3)大于1000份时。
4.解:
(1)y=(6-5.3)x+(4-3.6)(30-x)=0.3x+12.
(2)依题意,有
即
∴10≤x≤12
∵x为整数,∴x=10,11,12.
即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择:
方案1:
购A型收割机10台,购B型收割机20台;
方案2:
购A型收割机11台,购B型收割机19台;
方案3:
购A型收割机12台,购B型收割机18台.
(3)∵0.3>0,∴一次函数y随x的增大而增大.
即当x=12时,y有最大值,y最大=0.3×
12+12=15.6(万元).
此时,W=6×
13%×
12+4×
18=18.72(万元).
5.解:
(1)过点D作DE⊥AB于点E,
在Rt△BDE中,DE=AC=15m,∠BDE=30°
∴BE=DE·
tan30°
≈15×
058=870(m)
∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m
(2)小红和小强提出的方案都是可行的
小红的方案:
利用皮尺和标杆:
(1)测量旗杆的影长AG
(2)测量标杆EF的长度
(3)测量同一时刻标杆影长FH
小强的方案:
把小平面镜放在适当的位置(如图点P处),使得小强可以在镜中看到旗杆AB的顶端
步骤:
(1)测出AP的长度
(2)测出NP的长度
(3)测出小强眼睛离地面的高度MN
6.解:
(1)拼接成的平行四边形是□ABCD(如图3);
(2)正确图形(如图4)
2011-3-29