陈林华22.1.1二次函数的概念.ppt

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节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？

它会与某种函数有联系吗？

过的路线？

它会与某种函数有联系吗？

运动场上飞舞的跳绳运动场上飞舞的跳绳奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球基础回顾基础回顾什么叫函数什么叫函数?

在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量xx、yy，当变量，当变量xx在在某个范围内取一个确定的值，另一个变量某个范围内取一个确定的值，另一个变量yy总总有唯一的值与它对应。

有唯一的值与它对应。

这样的两个变量之间的关系我们把它叫做这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。

函数关系。

对于上述变量对于上述变量xx、yy，我们把，我们把yy叫叫xx的函数。

的函数。

xx叫自变量，叫自变量，yy叫自变量的函数。

叫自变量的函数。

目前，我们已经学习了那几种类型的函数？

目前，我们已经学习了那几种类型的函数？

二次函数二次函数变变量量之之间间的的关关系系函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b（k0）正比例函数正比例函数y=kx（k0）y=k/x（k0）（下学期）（下学期）正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设正方设正方形的棱长为形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个值的每一个值,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关系可它们的具体关系可以表示为以表示为问题问题1:

1:

y=6x21.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它写出它的表面积的表面积s与半径与半径r之间的关系式之间的关系式.2.n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数m与球队与球队数数n之间的关系式之间的关系式.S=2r2+2r2即即S=4r2即即多边形的对角线数多边形的对角线数d与边数与边数n有什么关系？

有什么关系？

问题问题3:

3:

由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有个个顶点顶点,从一个顶点出发从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点连接与这点不相邻的各顶点,可以作可以作条对角线条对角线.n（n-3）因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连接连接相同两顶点的对角线是同一条对相同两顶点的对角线是同一条对角线角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN即即式表示了多边形式表示了多边形的对角线数的对角线数d与边数与边数n之间的关系之间的关系,对于对于n的每的每一个值一个值,d都有唯一的对都有唯一的对应值应值,即即d是是n的函数。

的函数。

问题3：

某工厂一种产品现在的产量是某工厂一种产品现在的产量是20件，计划今后两年增加产量。

如果每年都件，计划今后两年增加产量。

如果每年都比上一年的产量增加比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种倍，那么两年后这种产品的产量产品的产量y将随计划所定的将随计划所定的x的值而确定，的值而确定，y与与x之间的关系应怎样表示？

之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，一年后的产量是件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是件，件，即两年后的产量为即两年后的产量为式表示了两年后的产式表示了两年后的产量量y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x之间的关系，对于之间的关系，对于x的的每一个值，每一个值，y都有唯一都有唯一的一个对应值，即的一个对应值，即y是是x的函数。

的函数。

即即y=20（x+1）y=20x+40x+2020（1+x）20（1+x）（1+x）函数函数有什么共同点有什么共同点?

观察：

观察：

y=6x2在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。

函数都是用自变量的二次式表示的。

定义：

定义：

一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c（a,b,c是常数是常数,a0）的函数叫做的函数叫做二次函数。

二次函数。

其中其中x是自变量，是自变量，a为二次项为二次项系数，系数，ax2叫做二次项，叫做二次项，b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做一叫做一次项，次项，c为常数项。

为常数项。

（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x的的（3）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为，可以没有，可以没有一次项和常数项，但一次项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。

注意注意：

（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是任意实数。

任意实数。

整式。

整式。

a0.2（5）函数的右边是一个函数的右边是一个整整式式二次函数的一般形式:

yax2bxc（其中a、b、c是常数,a0）二次函数的特殊形式：

当当b0时，时，yax2c当当c0时，时，yax2bx当当b0，c0时，时，yax2（一般式）（一般式）1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项

（1）y=-x2+58x-112

（2）y=x22、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c

（1）y=-3x2-x-1（3）y=x（1+x）

（2）y=5x2-61.解：

设宽为解：

设宽为X,面积为面积为y，则则y=2x22.解：

解：

y=2（1-x）22.解：

y=2（1-x）2.2.解：

y=2（1-x）2.2.解：

解：

y=（30+x）（20+x）整理得整理得y=x2+50x+600.例例1、下列函数中，哪些是二次函数？

若是、下列函数中，哪些是二次函数？

若是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项。

常数项。

（1）y=3（x1）+1

（2）y=x+（3）s=32t（4）y=（x+3）x（5）y=x（6）v=8r1x_x1_解解:

（1）y=3（x-1）+1=3（x2-2x+1）+1=3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:

一次项系数一次项系数:

常数项常数项:

3-64

（2）y=x+1x_不是二次函数不是二次函数.（3）s=3-2t是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:

一次项系数一次项系数:

常数项常数项:

-203（4）y=（x+3）-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函数不是二次函数.二次项系数二次项系数:

一次项系数一次项系数:

常数项常数项:

800不是二次函数不是二次函数.（5）y=-xx1_（6）v=8r是二次函数是二次函数.3、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量），是二次函数的有的有。

Ay=ax2+bx+cBy=x2-4x+1Cy=x2Dy=2+x2+14.函数函数y=（m-n）x2+mx+n是二次函数的条件是是二次函数的条件是（）Am,n是常数是常数,且且m0Bm,n是常数是常数,且且n0Cm,n是常数是常数,且且mnDm,n为任何实数为任何实数BCC思考：

思考：

2.二次函数的一般式二次函数的一般式yax2bxc（a0）与一元二次方）与一元二次方程程axbxc0（a0）有什么）有什么联系和区别？

联系和区别？

联系联系

（1）等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且a0

（2）方程方程ax2bxc=0可以看成是可以看成是函数函数y=ax2bxc中中y=0时得到的时得到的.区别区别:

前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另一等式另一边前者是边前者是y,后者是后者是0知识运用知识运用m22m-1=2m+10m=3例2:

m取何值时，取何值时，函数函数y=（m+1）x+（m-3）x+m是二次函数？

是二次函数？

解解:

由题意得由题意得一次函数一次函数y=kx+b（k0）,其中包括正比例函数其中包括正比例函数y=kx（k0）,二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）现在我们学习过的函数有现在我们学习过的函数有:

可以发现可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。

数表达式与自变量的关系。

想一想想一想例例2、y=（m+3）x

（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？

取什么值时，此函数是正比例函数？

（2）m取什么值时，此函数是二次函数？

取什么值时，此函数是二次函数？

m2-7解：

（解：

（1）当）当m27=1且且m+30即即m=时是正比时是正比例函数。

例函数。

（2）当）当m27=2且且m+30即即m=3时是二次函数。

时是二次函数。

易错题易错题已知函数已知函数y=（n-1）x+（n-2n-3）x-n-1

（1）当n为何值时，y是x的一次函数？

（2）当n为何值时，y是x的二次函数？

解：

（解：

（1）由）由n-1=0，n-2n-3=0解得解得n=1,n-1且且n3当当n=1时，时，y是是x的一次函数的一次函数

（2）由）由n-10,得得n1.当当n1时，时，y是是x的二次函数的二次函数一农民用一农民用一农民用一农民用40m40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为XmXm，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为YmYm22，求求求求yy与与与与xx之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。

之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。

之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。

之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。

当当当当x=12mx=12m时，计算菜园的面积。

时，计算菜园的面积。

时，计算菜园的面积。

时，计算菜园的面积。

xxmmymym22xxmm（40-2x40-2x）mm解：

解：

解：

解：

由题意得：

由题意得：

由题意得：

由题意得：

Y=x（40-2x）即：

即：

Y=-2x2+40x（0x20）当当x12m时，菜园的面积为：

时，菜园的面积为：

Y=-2x2+40x-2122+4012192（m2）若函数若函数y=x2m+n2xm-n+3是以是以x为自变量的二次函数，为自变量的二次函数，求求m、n的值。

的值。

2m+n=2m-n=1m=1n=02m+n=1m-n=2m=1n=-12m+n=2m-n=2m=4/3n=-2/32m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/32m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3

（1）y=2x+1

（2）y=-x-4（5）y=-4x（6）y=ax+1（4）y=5x2其中，一次函数有其中，一次函数有_,那么一那么一次函数的一般形式是次函数的一般形式是_观察下列函数：

观察下列函数：

y=kx+b（k0）1.2.51.函数函数y=x+1，自变量是，自变量是_,自变量自变量的次数是的次数是_,y是是x的的_函数函数.2.函数函数s=-2t-4，自变量是，自变量是_,自变量的次数是自变量的次数是_,s是是t的的_函数函数.写出下列函数的表达式写出下列函数的表达式,1.圆的半径是圆的半径是r（cm）时时,面积面积s（cm2）与半径之间的与半径之间的关系关系_,自变量是自变量是_,它的最高次数是它的最高次数是_.2.正方形的边长为正方形的边长为a,如果边长增加如果边长增加2,新图新图形的面积形的面积s与与a之间的函数关系式为之间的函数关系式为_自变量是自变量是_,它的最高次数是它的最高次数是_.x1一次一次一次一次t1S=r2S=（a+2）222ra3.再看函数再看函数y=（x+1）2-4，自变量是，自变量是_,自变量的最高次数是自变量的最高次数是_,这些函数和以前学得函数有什么不这些函数和以前学得函数有什么不同同?

x2这些函数都是二次函数这些函数都是二次函数.一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式：

（a,b,c是常数）是常数）v我们把形如我们把形如y=axy=ax+bx+c+bx+c（其中其中a,b,ca,b,c