小学奥数知识点梳理全大字Word格式.docx
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除法考虑自己，想5，5！
÷
5=4!
⑷提取公因数
公因数不会明白地告诉，需要用找出来
如何找？
用拆分，也就是乘不变的方法，目的是找公因数
*迎春杯特点：
一定会考一题，一般是凑整求和、提取共因数；
考提取公因数的可能比较大，但不会那么明显地给出公因数，需要拆分找出来；
实在不会，低年级可以硬算。
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
1运算定律的综合运用：
交换率、结合率
2连减的性质
3连除的性质
4同级运算移项的性质：
搬家带符号，加减括号，前面是－、÷
是一定要注意
5增减括号的性质
6变式提取公因数
形如：
（7）换元
（8）通项归纳
找规律，从简单情况入手
利用通项求解
解题步骤：
找最后一项，然后套公式（通常别算出来，当找不出规律时，再考虑算出来）
a.1或2步上10阶楼梯，有多上种上法；
b.几个圆或线或矩形吧平面分多少份
方法：
看多一个图形，多几个点，看多一个点把新的图形分成几个部分，就多几个部分
线和圆把平面分成多少份，第一条线有问题，其他恢复正常；
3、估算
求某式的整数部分：
扩缩法
4、比较大小
基本方法
1通分
a.通分母
b.通分子
2跟“中介”比，比如和1比
3利用倒数性质
若
，则c>
b>
a.。
，则
。
4浓度法
是真分数，必有
>
是假分数，且a≠b，必有
<
5做差：
差与0比
6做商：
商与1比
做商还是做差，看题目条件
放缩法
求整数部分
结构调整：
以2的次方为标记点，划几个，董老师5年级下班9讲
向左划括号
<
向右划括号
两数：
差小积大
5、定义新运算
✓要理解新符号的运算规则
（普通题：
告诉你规则，直接代入就好；
牛题：
新运算需要推导出来，方法：
赵规律，通项归纳）
✓理解运算顺序
没有特殊说明的话，
（1）从左往右算，有括号先括号；
（2）一个式子包含多个新符号，视这些新符号优先级相同
✓运算率别乱用；
6、特殊数列求和
运用相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
（a+b）2=a2+2ab+b2
7、大数计算：
找规律，可以先用小数算算找规律；
凑9，99，999……
9、重复数字：
324324324324=324×
1001001001
10、头同尾和十
（1）概念：
两位数×
两位数中，十位数字相同，个位数字相加为十
结果：
积的后两位=尾×
尾；
积从百位起前面的数=头×
（头+1）
例如：
73×
77=5621
（2）尾同头合十
概念：
两位数中，个位数字相同，十位数字相加为十
头+尾
例如：
78×
38=2964
11、452=2025
12、7×
11×
13=1001
37×
3=111
13、7的秘密：
1÷
7=0.142857
142857×
1
2=285714
14、位值原理：
一个数可以拆成每一位上的数值×
位值
二、数论
知识点小而多，需要记忆的东西多。
包括：
整除问题；
整除特征（小升初常考内容）；
余数问题；
奇偶问题；
质数合数；
约数倍数还有那个平方数的特征。
1、奇偶性问题
奇
奇=偶奇×
奇=奇
偶=奇奇×
偶=偶
偶
偶=偶偶×
两个数的和差奇偶性相同
连续乘法、除法，见偶得偶；
连续加法、减法，只数奇数的个数，奇数的个数是奇数，结果是奇；
奇数的个数是偶数，结果是偶
2、位值原则
=100a+10b+c
3、数的整除特征：
除法的封闭性
要不是下面这些特殊数，变成这些特殊数，可以变大、也可以变大。
末位：
（2,5）（22,55）（23,53）；
数段和：
（3,9）（99,33,11）（37,111,333,999）
数段差：
（7,11,13）
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8；
也说明能被2整除的数，其个位数字只能是偶数；
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数，偶数位与奇数位的差
99
从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数，此数是99的倍数
4、整除性质
1如果c|a、c|b，那么c|（a
b）。
2如果bc|a，那么b|a，c|a。
3如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
4如果c|b,b|a,那么c|a.
5a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
66672□□这样的用试除法；
7（———abc）k÷
（K-1），若（a+b+c）10=（K-1）10×
（n）10，则可整除，反之，余=（余）10；
5、带余除法=
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×
q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。
用带余数除式又可以表示为a÷
b=q……r,0≤r＜ba=b×
6.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n=p1
p2
...×
pk
7、约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1
那么：
n的约数个数：
d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）
证明：
关键是乘法原理
n的所有约数和：
（1+P1+P1
+…p1
）（1+P2+P2
+…p2
）…（1+Pk+Pk
+…pk
）
约数积：
约数是成对出现的
例：
12的约数积，1X12=12，3X4=12，2X6=12123
8、两数的约数也是两数差的约数；
（a,b）是a,b;
a-b;
a+b;
[a,b]的约数；
9、同余定理
①同余定义：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b（modm）
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
余数相同：
减同余
补数相同：
加同补
10．弃九法
（1）自然数N和它的数字和除以9同余；
（2）在其他进制里同理：
如7进制里，数N和它的各个数字和除以6同余
位值法
11．完全平方数性质
①平方差：
A
-B
=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
②约数：
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：
把数字分解，使他满足积是平方数。
④平方和。
322=1024是第一个四位数
992=9801四位数里最大的四位数
332=四位数里第1个奇数
⑥一个完全平方数的个位数的个位数字一定是0,1,4,5,6,9
⑦完全平方数除以4的性质最重要，偶数除以4余0，奇数除以4余1，除以4余3一定不是完全平方数；
12．孙子定理（中国剩余定理）见下
13．余数应用
求某数、某式的末一位、二位、三位……是几？
（1）末一位，相当于求除10=2×
末二位，相当于求除100=4×
25
末三位，相当于求除1000=8×
125
（2）以大化小
（3）找余数1：
费马小定理：
如a÷
p=……（p-1）、P为质数；
则a2÷
p=……1
如
（1）p是质数，且a和p互质
则：
则ap-1÷
14．辗转相除法---根本在于辗转相减
求20102948的最大公约数
2948-2010=938
2010-938=1072
1072-938=134
938-134=804
804-134=670
。
134-134=0
所以最大公约数是134。
15.质数
（1）质数有无穷个，质数的分布有渐稀性，
（2）特别注意：
质数中2是唯一偶数（奇偶性）；
5（唯一一个末尾是5的质数）；
3两次余数，
（3）如果两个数互质，这两个数的和与其中任意一个数互质，差也是；
100以内的质数：
101、103、107、109，
4位最小的质数：
1009
1003=17X59
1007=19X53
（4）判断质数的方法
（5）制造连续合数
（
16．求最大公因数，最小共倍数
（1）分解质因数
（2）短除法
（3）分数：
分子求正面，分母求相反；
（4）a×
b=（a,b）×
[a,b]
17．数论解题的常用方法
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：
“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余
三，七七数之余二，问物几何？
”答为“23”。
也就是求同余式组x≡2（mod3），x≡3（mod5），x≡2（mod7）（式中a≡b（modm）表示m整除a－b）的正整数解。
明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
”即解为x≡2×
70＋3×
21＋2×
15≡233≡23（mod105）。
此定理的一般形式是设m=m1，…，mk为两两互素的正整数，m＝m1，…mk，m＝miMi，i＝1，2，…，k。
则同余式组x≡b1（modm1），…，x≡bk（modmk）的解为x≡M'
1M1b1＋…＋M'
kMkbk（modm）。
式中M'
iMi≡1（modmi），i＝1，2，…，k。
直至18世纪C.F.高斯才给出这一定理。
孙子定理对近代数学如环论，赋值论都有重要影响。
解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?
首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。
同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来70a+21b+15c是3除余a，5除余b，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105（105=3*5*7）仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。
附：
如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为70×
2+21×
3+15×
2
=140+63+30
=233
233-2×
105=23
公式：
70a+21b+15c-105n
（中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd（mi,mj）=1,i≠j,i,j=1,2,...,k
则同余方程组：
x≡b1modm1
x≡b2modm2
...
x≡bkmodmk
模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x,满足：
x≡bimod[m1,m2,...,mk],i=1,2,...,k
中国剩余定理”算理及其应用：
为什么这样解呢？
因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。
21是3和7的公倍数，且除以5余1。
15是3和5的公倍数，且除以7余1。
（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。
）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。
后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1：
一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；
〔3，5〕=15；
〔3，4〕=12；
〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×
2=40；
使15被4除余1，用15×
3=45；
使12被5除余1，用12×
3=36。
然后，40×
1＋45×
2＋36×
4=274，因为，274>
60，所以，274－60×
4=34，就是所求的数。
例2：
一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；
〔3，8〕=24；
〔3，7〕=21；
〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×
2=112；
使24被7除余1，用24×
5=120。
使21被8除余1，用21×
5=105；
然后，112×
2＋120×
4＋105×
5=1229，因为，1229>
168，所以，1229－168×
7=53，就是所求的数。
例3：
一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；
〔5，11〕=55；
〔5，8〕=40；
〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×
2=176；
使55被8除余1，用55×
7=385；
使40被11除余1，用40×
8=320。
然后，176×
4＋385×
3＋320×
2=2499，因为，2499>
440，所以，2499－440×
5=299，就是所求的数。
例4：
有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？
（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；
〔9，5〕=45；
〔9，7〕=63；
〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×
8=280；
使45被7除余1，用45×
5=225；
使63被5除余1，用63×
2=126。
然后，280×
5＋225×
1＋126×
2=1877，因为，1877>
315，所以，1877－315×
5=302，就是所求的数。
例5：
有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？
题中9、7、5三个数两两互质。
6＋225×
2＋126×
3=2508，因为，2508>
315，所以，2508－315×
7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。
）
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。
不懂论坛上有没人发过。
小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。
例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？
解法：
题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。
看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。
不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。
这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。
46＋42＝8846＋42＋42＝13046＋42＋42＋42＝172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？
题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。
没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。
得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”4＋7＝1111＋7＝1818＋35＝53这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。
比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。
大家可以试下.所以：
一共有5个187367547727907
18、最值问题
考虑平均化和极端化
两数和一定，差小积大；
两数积一定，差小和小
三、几何图形
几何出题特点及趋势：
淡化几何几大模型的直接考察
勾股定理频繁现身几何题中
方程（组）作用非比寻常
欧拉公式=顶点+区域=边数+维数–1
1、平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=（N-2）×
180°
⑵等积变形（位移、割补）
1三角形内等底等高的三角形
2平行线内等底等高的三角形
3公共部分的传递性
4极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b；
S1︰S2=S4︰S3或者S1×
S3=S2×
S4（所谓蝴蝶模型）
⑷相似三角形性质（份数、比例）
;
S1︰S2=a2︰A2
②（即所谓梯形蝴蝶模型）
S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;
S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：
S△AGC＝S△BGE：
S△GEC＝BE：
EC；
S△BGA：
S△BGC＝S△AGF：
S△GFC＝AF：
FC；
S△AGC：
S△BCG＝S△ADG：
S△DGB＝AD：
DB；
（6）共角定理
（7）差不变原理
知5-2=3，则圆点比方点多3。
（8）隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
（9）组合图形的思考方法
1化整为零
2先补后去
3正反结合
④有时要求的无法求，可以用反面的方法，求外围然后减去
求面积，直接求
间接求：
整体—部分；
总×
不好求，放到一个大的图形中去求，方法:
这个大的图形的面积好求，或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求，而这个更大的图形的面积好求
容斥法求解
（10）长方形
a×
c=b×
da＋c=b＋d
（11）正方形：
说到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然
弦图：
看到斜着放的正方形，就应该想到弦图
□□
（12）海伦公式
三角形的三边长分别为：
a、b、c;
p为半周长=（a+b+c）/2
则三角形的面积S=
（13）如果六边形对边相等，相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边形面积的一半
（14）当求一部分比另一部分的面积大多少时，除了直接求出每部分相减外，应该可以考虑差不变得方法；
2、立体图形：
长方体、正方体
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
几个面，几个棱等要记清；
圆柱体的体积和表面积
圆锥体的体积和表面积
三棱柱的体积和表面积
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：
V升水=V物
要先判断是否水上升超过了侵入的物体，然后再算升高了多少；
②测啤酒瓶容积：
V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
求堆积体表面积的常见方法——三视图法，有些看不见的图要额外加上
求堆积体体积的常见方法——切片法
⑸染色问题（含染色再切块）
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
（6）打洞题目
3、周长
（1）规则图形：
（2）不规则图形：
平移，注意别有漏的，必要的时候要分析线段之间的关系、要加加减减，
4、图形计数：
容易数不全，方法：
会分类
特别的：
（6+5+4+3+2+1）×
（4+3+2+1）
5、图形分割和拼接
（1）割：
从数量和对称点入手（特别是当要求面
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