高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题.docx

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高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题

高考专题突破二　高考中的三角函数与平面向量问题

【考点自测】

1．（2016·全国Ⅱ）若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　）

A．x＝－（k∈Z）B．x＝＋（k∈Z）

C．x＝－（k∈Z）D．x＝＋（k∈Z）

答案　B

解析　由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋（k∈Z）得函数的对称轴为x＝＋（k∈Z），故选B.

2．（2016·全国Ⅲ）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）

A.B.C．－D．－

答案　C

解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，可知BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝tan（∠BAD＋∠CAD）＝＝－3，

所以cosA＝－.

3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（　　）

A．2B．4C．5D．10

答案　D

解析　将△ABC的各边均赋予向量，

则＝

＝

＝

＝

＝＝－6

＝42－6＝10.

4．（2016·全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.

答案　

解析　在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.

5.若函数y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0（O为坐标原点），则A＝________.

答案　π

解析　由题意知M，N，

又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π.

题型一　三角函数的图象和性质

例1　（2016·山东）设f（x）＝2sin（π－x）sinx－（sinx－cosx）2.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g的值．

解　

（1）由f（x）＝2sin（π－x）sinx－（sinx－cosx）2

＝2sin2x－（1－2sinxcosx）

＝（1－cos2x）＋sin2x－1

＝sin2x－cos2x＋－1

＝2sin＋－1.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）．

所以f（x）的单调递增区间是（k∈Z）.

（2）由

（1）知f（x）＝2sin＋－1，

把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到y＝2sin＋－1的图象，

再把得到的图象向左平移个单位长度，

得到y＝2sinx＋－1的图象，

即g（x）＝2sinx＋－1.

所以g＝2sin＋－1＝.

思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．

跟踪训练1　已知函数f（x）＝5sinxcosx－5cos2x＋（其中x∈R），求：

（1）函数f（x）的最小正周期；

（2）函数f（x）的单调区间；

（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

解　

（1）因为f（x）＝sin2x－（1＋cos2x）＋

＝5＝5sin，

所以函数的最小正周期T＝＝π.

（2）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递增区间为

（k∈Z）．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递减区间为

（k∈Z）．

（3）由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）．

由2x－＝kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称中心为（k∈Z）．

题型二　解三角形

例2　（2017·全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2.

（1）求cosB；

（2）若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.

解　

（1）由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2，

故sinB＝4（1－cosB）．

上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，

解得cosB＝1（舍去）或cosB＝.故cosB＝.

（2）由cosB＝，得sinB＝，

故S△ABC＝acsinB＝ac.

又S△ABC＝2，则ac＝.

由余弦定理及a＋c＝6，

得b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB）

＝36－2××＝4.

所以b＝2.

思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．

跟踪训练2　（2017·北京）在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

（1）求sinC的值；

（2）若a＝7，求△ABC的面积．

解　

（1）在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

所以由正弦定理得

sinC＝＝×＝.

（2）因为a＝7，所以c＝×7＝3.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得

72＝b2＋32－2b×3×，

解得b＝8或b＝－5（舍去）．

所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×

＝6.

题型三　三角函数和平面向量的综合应用

例3　已知向量a＝，b＝（cosx，－1）．

（1）当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；

（2）设函数f（x）＝2（a＋b）·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＝，求f（x）＋4cos的取值范围．

解　

（1）因为a∥b，

所以cosx＋sinx＝0，

所以tanx＝－.

cos2x－sin2x＝＝＝.

（2）f（x）＝2（a＋b）·b

＝2·（cosx，－1）

＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.

由正弦定理＝，得

sinA＝＝＝，

所以A＝或A＝.

因为b＞a，所以A＝.

所以f（x）＋4cos＝sin－，

因为x∈，所以2x＋∈，

所以－1≤f（x）＋4cos≤－.

所以f（x）＋4cos的取值范围是.

思维升华

（1）向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．

（2）三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝（cosA－2cosC,2c－a），n＝（cosB，b）平行．

（1）求的值；

（2）若bcosC＋ccosB＝1，△ABC的周长为5，求b的长．

解　

（1）由已知得b（cosA－2cosC）＝（2c－a）cosB，

由正弦定理，可设

＝＝＝k≠0，

则（cosA－2cosC）ksinB＝（2ksinC－ksinA）cosB，

即（cosA－2cosC）sinB＝（2sinC－sinA）cosB，

化简可得sin（A＋B）＝2sin（B＋C），

又A＋B＋C＝π，

所以sinC＝2sinA，因此＝2.

（2）由余弦定理可知，

bcosC＋ccosB＝b·＋c·

＝＝a＝1，

由

（1）知＝＝2，则c＝2，

由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.

1．已知函数f（x）＝sin＋sin－2cos2，x∈R（其中ω>0）．

（1）求函数f（x）的值域；

（2）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f（x）的单调递增区间．

解　

（1）f（x）＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－（cosωx＋1）

＝2－1＝2sin－1.

由－1≤sin≤1，

得－3≤2sin－1≤1，

所以函数f（x）的值域为[－3,1]．

（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f（x）的周期为π，

所以＝π，即ω＝2.

所以f（x）＝2sin－1，

再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）．

所以函数y＝f（x）的单调递增区间为

（k∈Z）．

2．（2016·北京）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.

（1）求B的大小；

（2）求cosA＋cosC的最大值．

解　

（1）由a2＋c2＝b2＋ac，得a2＋c2－b2＝ac.

由余弦定理，得cosB＝＝＝.

又0＜B＜π，所以B＝.

（2）A＋C＝π－B＝π－＝，

所以C＝－A,0＜A＜.

所以cosA＋cosC＝cosA＋cos

＝cosA＋coscosA＋sinsinA

＝cosA－cosA＋sinA

＝sinA＋cosA

＝sin.

因为0＜A＜，所以＜A＋＜π，

故当A＋＝，即A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.

3．（2018·合肥质检）已知a＝（sinx，cosx），b＝（cosx，－cosx），函数f（x）＝a·b＋.

（1）求函数y＝f（x）图象的对称轴方程；

（2）若方程f（x）＝在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1－x2）的值．

解　

（1）f（x）＝a·b＋

＝（sinx，cosx）·（cosx，－cosx）＋

＝sinx·cosx－cos2x＋

＝sin2x－cos2x＝sin.

令2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）．

即函数y＝f（x）图象的对称轴方程为

x＝＋（k∈Z）．

（2）由条件知sin＝sin＝>0，

且0

∴cos（x1－x2）＝cos

＝cos＝cos

＝sin＝.

4．（2017·东北三省四市二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）＝·.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若A为△ABC的内角，f（A）＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．

解　

（1）由已知，得＝（，1），

＝（－cosx,1－sinx），

所以f（x）＝·＝3－cosx＋1－sinx

＝4－2sin，

所以函数f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为f（A）＝4，所以sin＝0，

又0

因为BC＝3，

所以由正弦定理，得AC＝2sinB，AB＝2sinC，

所以△ABC的周长为3＋2sinB＋2sinC

＝3＋2sinB＋2sin

＝3＋2sin.

因为0

所以

所以当B＋＝，即B＝时，

△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2.

5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.

（1）求A；

（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．

解　

（1）acosC＋asinC－b－c＝0，

由正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，

即sinAcosC＋sinAsinC＝sin（A＋C）＋sinC，

亦即sinAcosC＋sinAsi