08数与代数内容分析Word文档格式.docx
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数的概念的形成过程是一个数概念外延的多次扩张的过程。
数系（含运算）的扩充有两条主要的途径：
——一是元素添加：
在自然数集合中添加“负整数”就得到整数；
在整数集合中添加“分数”就得到有理数；
在有理数集合中添加“无限不循环小数”就得到实数……
——二是等势抽象：
为了实现加法运算的对称化（可以实施减法运算），必须把自然数扩充为整数；
为了实现乘法运算的对称化（可以实施除法运算），必须把整数扩充为有理数；
为了实现乘方运算的对称化（可以实施开方运算），必须把有理数扩充为实数……
数学课程遵循数概念扩充的顺序，考虑学生学习的特点，将数的形成与发展，数的运算安排在不同学段学习。
1．数的形成：
从量到数的抽象（自然数）
自然数形成包括两个方面：
与生活密切相关的数字（0～9）的形成，计数单位（十、百、千等）的建立。
（1）数字的形成
从一些动物具备多少的概念，可以判定人类具备这种先天的“多与少”的概念，“人的基因不仅能够携带信息，而且人的基因需要一个锻炼和培育的过程。
”（史宁中）
自然数的创造源于人类的生活。
在人类早期活动（狩猎、劳动等）过程中，会在工具、成果、人之间感知到一一对应的关系，为了交流需要又会用大家熟悉而方便的“手、耳”或者其它器物来表示劳动工具、劳动成果等的数量，从而形成了数量。
自然数表示的是事物的数量。
在人类的生活过程中，众会根据事物数量的变化，逐一地创造出数字，从1开始，每次增加1形成不同的数。
自然数的表示则是从具体的物体开始，如用一根小棒表示1，用两根小棒表示2……人们用符号1，2，3，4，5，6，7，8，9等数字表示数，是一个重要的抽象过程。
众依据先天的“多与少”的概念，以及后天经过活动得到培育、提升的感知“多与少”的能力，就将各个数字进行有序的排列，形成从小到大的排列，而且相邻两个数之间可以通过添1或去1进行转换。
（2）计算单位的产生
计数单位的产生有两个阶段：
——自然形成阶段，“很多事情要从原本思考，想法要自然，要符合逻辑。
”（史宁中）计数单位的产生不是人类的主观臆断，而是与人类活动密切相关。
当人们通过添加“1”可以方便地进行事物数量转换的时候，就产生了自然数的基本单位“一”。
随着人类活动能力的不断增强，产生表示更大更多数量的需求，计算的方式就由“个的计数”进入到“群与个相结合的计数”。
这样，人们自然就会对事物的“群体数量”进行约定，形成了多种记数方法。
而在众多记数方法中，将10作为一个表示数的单位“十”，成为被人们普遍采用的方法。
“十进制”记数方法是在“十”为单位的基础上，再形成“百”“千”“万”等单位，可以表示任意大小的数。
2．数的表示：
数位与记数法
（1）多位数的表示
在计数单位“十”的基础上形成了更大的计数单位“百”“千”“万”，我国记数法中，把“万”当作新的“单位一”，就可以得到一组新的计数单位“个（万）、十（万）、百（万）、千（万）”……
（2）记数法的含义及刻画方式
记数法主要指提取与刻画事物数量信息的方法。
一般情况下，一种记数法应该包含撮数量信息的法则（二进制、十进制），以及分别用语言与符号刻画数量信息的法则（读法和写法）。
如“十进制计数法”提取信息的法则是“满十进一、四位一级”；
用语言刻画信息的法则是“从高位读起，四位一级，每级按个级的读法，在级尾给出级名，级首有零一定读，级中有零一个算，级尾有零全不管”（不同母语读数方法是不一样的，如英语采用三位一级）；
用符号刻画数量信息的法则是“哪个数位上有几个计数单位就在那一位写几，一个计数单位也没有就用0占位。
”
记数法的刻画方式。
在我国自然数的符号刻画方式有两种：
——位值原则记数法（罗马数字是加减原则），即利用数位表进行计数，一个数字不仅有本身的值，还有位置的值。
平时见到的自然数都默认其对应于隐性的数位表。
——科学记数法：
将“位置值与自身值”以捆绑的形式来刻画数量信息，即写成不同的计数单位的数的和的形式。
如98765432=9×
107+8×
106+7×
105+6×
104+5×
103+4×
102+3×
101+2×
100。
3．数的扩充
（一）：
分数和小数
（1）分数的扩充：
分数的扩充一般由两种需要产生，一是分东西的过程中，需要对一个物体进行切割与分配时，整体中的“部分”无法用自然数来表示，就需要有刻画“部分”的方式方法；
二是计算过程中，2/3=？
无法用自然数表示计算结果，就需要有刻画这类除法运算结构的方式方法。
（2）小数的扩充：
小数的产生有两个前提，一是十进制计数法的使用，二是分数概念的完善。
小数的产生有两个动因，一是十进制计数法扩展完善的需要，二是分数书写形式的优化改进。
小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。
我们对小数的定义就是根据这种形式变换过程来定义的：
将十进分数改写成不带分母形式的数就叫做小数。
小数与百分数，在形式上不同于分数，但是它们都是从分数中分离出来的：
分数中分离出十进分数，将其书写成不带分母形式的数就是小数；
分数中分离出分母是100（10n,n≥1）的分数，将其改写成带有（类似于）百分号（%）形式的数就是百分数（十分数、百分数、千分数、万分数……）
4．数的扩充
（二）：
有理数
（1）负数的产生：
“负数”是一个与“正数”意义相反的概念，它的形成源于生活中完全相反的事物数量的刻画。
我国数学家刘徽早在两千多年前就给出负数的定义与刻画方法：
“今两算得失相反，要令正负以名之。
”“正算赤，负算黑，否则以斜正为异。
（2）有理数的含义：
有理数与无理数统称为实数。
有理数是一切形如
（m,n∈Z,n≠0）的分数。
一切分数都可以化为有限小数或循环小数，因此我们可以基于小数来定义有理数：
“有理数是有限小数或者循环小数。
（3）有理数的扩充过程：
自然数（零与正整数）集合（N）中添加负整数形成整数集（Z），在整数集中添加分数形成有理数集（Q）。
有理数英文为rationalnumber，词根“ratio”是比率的意思，即有理数的愿意就是“整数的比”，这与我们把分数看成是部分与整体之间的关系是一致的。
5．数的运算：
四则运算的含义与运算律
数（自然数）是刻画一个集合中事物数量信息的符号，运算（四则运算）是刻画多个集合中事物数量信息之间关系的符号（组合）。
（1）四则运算的形式化含义
从数学发展的逻辑体系来看，加法是四则运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。
加法的定义：
对于a，b∈N，规定运算a+b表示在a后面增加b个序数，如果这个序数为c，那么称c为a与b的和，求各的运算叫加法。
记作a+b=c。
显然，加法运算满足封闭性、交换律、结合律。
乘法的定义：
乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自身相加的缩写。
一般对，对于a，b∈N，规定乘法运算a·
b表示a个b相加。
显然，乘法运算满足封闭性、交换律、结合律，乘法对加法满足分配律。
减法的定义：
减法是加法的逆运算，减法是通过加法来定义的。
由于减法将出现负整数，因此运算集合需要从自然数集体（N）扩展到整数集合（Z）。
对于a,x,b∈Z，如果a+x=b，则称x为b减a的差，求差的运算叫减法，记作b-a=x。
显然，整数集对于减法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a+0=a，a+（-a）=0。
除法的定义：
除法是乘法的逆运算，除法是通过乘法来定义的。
由于除法将出现分数，因此运算的集合需要从整数集合（Z）扩展到有理数集合（Q）。
对于a,x,b∈Q，如果a·
x=b，则称x为a与b的商，求商的运算叫除法，记作
或b÷
a=x。
显然，有理数集对于除法的运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a×
1=a,a÷
a=1。
*单位元：
是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。
当单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。
在实数集合中，加法单位元是0，乘法单位元是1。
（2）运算定律
加减乘除运算定律是指在运算过程中被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律。
加法运算定律有加法交换律、加法结合律，乘法运算定律有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
二、代数式及其运算
学习代数式及其运算的基本要求可以概括为：
借助现实情境和简单问题中数量关系的分析，先后形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念，并重点讨论整式、分式和根式的运算法则、运算律和相关的运算性质，能熟练准确地实施各种运算，提升运算能力，建立数感与符号意识。
1．用字母表示数
用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，对形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念，学会各类运算的基础，应贯穿于学习数与代数的始终。
在第二学段的“式与方程”部分，课程内容提出的要求是：
1．在具体情境中能用字母表示数。
2．结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。
3.能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用。
4．了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
进入第三学段，一方面仍然要求借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，通过分析简单问题中的数量关系，用代数式表示；
另一方面，要以字母表示数为基础，系统研究代数式以及整式与分式、二次根式等一系列属于代数范畴的概念，并实施加、减、乘、除和乘方、开方等代数运算，用字母表示数的含义进一步深化，逐步体现代数的本质特征。
2．代数式
用加、减、乘、除和乘方、开方等运算符号连接而成的式子称为代数式；
如果代数式里的字母用指定的数去代替，再依据代数式所表示的运算进行计算所得的结果称为代数式的值。
对代数式学习的要求是：
（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义（参见例50）。
（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
（3）会求代数式的值；
能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
对代数式的概念以及相关运算的深入学习和研究，要在学习整式、分式和二次根式的过程中逐步进行。
代数式是按照字母的运算进行分类的：
整式中，对字母只实施加、减、乘和乘方运算；
分式中，除可以对字母只实施加、减、乘和乘方运算外，以对字母实施除法运算（形式上表现为分母中含有字母）为主要特征；
根式中，除对字母实施加、减、乘、除及乘方运算外，以对字母实施开方运算（形式上表现为根号下含有字母）为主要特征。
代数式的体系结构如图所示：
第三学段，学习代数式的程序通常是整式（单项式和多项式）→分式→二次根式。
在这一过程中，应牢牢把握住“对字母实施什么运算”这一实质，把概念与运算紧密联系，把代数式和相应的方程与不等式紧密联系，注意揭示知识之间的内在联系，体现知识网络的结构特征，丰富学习内容，克服单纯关注运算的局限。
既要使学生对基础知识的理解更加深刻，基本技能的训练更加扎实，又要使学生对基本数学思想和认识更加充实，并有效积累基本的活动经验。
3．代数式的运算
代数式的运算的本质是“恒等变形”。
从式的一种形态变为另一种形态的恒等变形绝非一种字母的游戏，它是研究数学的有力杠杆之一，对于数感、符号意识的形成具有重要的作用，也是提高运算能力的重要载体和必经之路，是第三学段数与代数的主干内容和教学重点。
因式分解是整式的一种恒等变形，将整式变换成乘积形式，对今后研究整式方程是一种重要的理论依据和求解的有效方法。
提取公因数和公式法是实施因式分解的基本方法，是通法；
十字相乘法固然也是完成因式分解的一种方式，但不是通法，教学中可以介绍给学生，但不宜做过多的训练。
三、方程与不等式
方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型。
方程用以表示数量间的等量关系，是含有未知数的等式；
不等式用以表示数量间的不等关系，是含有未知数的不等关系。
方程与不等式相互联系，相互渗透，相互作用，相辅相成。
通过类比方程与不等式的异同，既要引入新的知识和方法，又要揭示知识之间的内在联系，这有助于构建知识网络，把握把握实质，探究和发现规律。
1．简易方程
第二学段，对于方程的初步认识提出的要求是：
——能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用；
——了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
在这一过程中，了解了等量关系、方程、等式与方程的解等与方程有关的常识，以及解简单方程的方法。
对于方程作为刻画现实情境中数量关系，沟通已知数与未知数的一种数学模型提供了一些素材，留下了初步印象；
进而通过解方程求得未知数的值，对实际问题作出合理解答，初步领会方程的意义。
长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形的主要依据是“四则运算各部分之间的关系”，这实际上是用算术的思路求未知数。
这样的教学利用了已有的知识，因而容易理解，但是却不易与中学的教学相衔接，到了中学还要重新学习依据“等式的基本性质”或“方程的同解原理”解方程。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求，从小学阶段引入等式的基本性质，并以此为基础导出方程的解的方法。
这不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展。
但对方程和方程的解的概念以及有关解方程的依据和方法的认识只是初步的，尚未把握方程的实质，形成方程的系统理论。
2．方程与不等式的意义，布列方程与不等式
方程和不等式的学习，应注重对实际应用问题的探索、研究和讨论。
丰富多彩的问题情境可以激发学生对数学的兴趣，引导学生积极主动地收集寻找现实的、有意义的、富有挑战性的问题作为学习和研究的素材，依据问题中的相关信息，将问题数学化，进而对其中的数量关系进行梳理，设定未知数，布列方程或不等式，有条理地、逐步深入地寻求解决问题的方法和途径。
特别是其中有些问题，由于接近客观现实，问题中的数量关系比较多，甚至比较隐蔽，抽象成数学问题有一定的难度，更具挑战性。
结合这样的问题，开展形式多样的数学活动，引导和组织学生独立思考、合作交流，既能巩固所学的知识和方法，又能获得参与数学活动的经验，培养和提升数学能力。
结合实际问题，建立方程与不等式的数学模型，分析和解决问题，始终是学习和研究方程与不等式的核心，既是出发点，也是落脚点。
3．方程（组）与不等式（组）的解和解集，解方程（组）与不等式（组）
四、函数
函数内容包括：
常量和变量；
函数的概念和三种表示法；
正比例函数的图像和性质；
反比例函数的图像和性质；
一次函数的图像和性质；
二次函数的图像和性质。
尽管在义务教育阶段的数学课程中，没有系统、全面地提出映射、函数的三要素、函数的性质（如单调性、奇偶性等）等有关函数的理论问题及相关概念，但结合具体的函数要有效地渗透，并逐步揭示函数的本质特征——联系和变化，以及基本的思想和方法。
在教学中要做到含而不露和深入浅出。
1．正比例和反比例
在第二学段，关于“正比例与反比例”学习内容与要求是：
——在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。
——通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。
——会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值（参见例30）。
——能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。
第二学段，学生初步认识成正比例的量和成反比例的量，以及正比例与反比例关系的实质分别是
（一定）和
·
=
（一定），在表述中已渗透了变量的含义，为第三学段学习正比例函数和反比例函数提供了必要的基础。
第三学段，在学习了函数、自变量和函数值等概念，函数的三种表示形式以及函数图像的有关概念的前提下，系统、全面地学习正比例函数和反比例函数的概念、图像和性质。
学习内容与要求概括为：
——结合具体情境体会正比例函数和反比例函数的意义，能根据已知条件确定正比例函数和反比例函数的表达式。
——能画出正比例函数和反比例函数的图像，根据图像和表达式
和
（k≠0），探索并理解k>
0和k<
0时图像的变化情况。
——能用正比例函数和反比例函数解决简单的实际问题。
正比例函数和反比例函数是成正比例的量和成反比例的量的自然延伸和深化，突显了函数的本质，从概念、图像和性质等各个方面对正比例函数和反比例函数进行研究，不仅在基础知识和基本技能的层面上更加深刻、更有提升，而且有效地强化了变化与对应的思想，数形结合的思想和模型思想。
2．函数的意义
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型。
在建立和运用函数模型的过程中，变化与对应的思想是重要的基础，函数就是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型。
是由常量数学过度到变量数学的标志。
从具有实际背景和丰富内容的问题入手，引导学生采用填表和列式的方法，对其数量关系进行抽象和梳理，从中认识常量和变量的主要特征，并概括出变量间关系的共同特征——两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的对应值——由此引入函数、自变量和函数值等概念。
在此基础上，再重新审视同样具有实际背景和丰富内容的实例，重申函数及相关概念的本质特征——联系变化和单值对应，才能形成函数的一般概念。
通过学习函数图像的概念，领会函数图像具有直观反映和描述函数的变化规律的工具作用，并全面、系统地引入表示函数的三种基本形式：
列表法、解析式法和图像法，进一步形成对函数意义的认识。
3．函数类型与性质
类似于对字母进行的运算对代数式进行分类，用对未知数进行的运算规定代数函数分类：
第三学段主要学习一次函数（含正比例函数）、二次函数和反比例函数，其中一次函数和二次函数属于整式函数，反比例函数分式函数。
函数的性质包括：
单调性（增减性）、奇偶性、周期性、最大（小）值、极大（小）值等。
第二节具体内容分析
一、第一、第二学段的内容分析
第一学段的学生思维形式以具体形象为主，他们具有一定的生活经验，比较关注自己周围有趣的事物。
这一学段的数与代数内容比较重视数字的现实意义，强调紧密联系学生身边具体的、有趣的事物，使学生体会数字用来表示和交流的作用；
注重使学生通过观察、操作、解决问题等丰富的活动初步建立数感；
重视口算、估算与笔算的结合；
结合现实问题认识常见的量，初步学习在简单情境下探索数量方面的规律。
第二学段在第一学段的基础上，继续学习相关的数与代数内容。
随着年龄的增长，学生的思维水平和理解能力有所提高。
学生处在由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，因此扩大了数的认识范围，同时在较为抽象的水平上初步认识代数知识和渗透函数思想。
第一、第二学段数与代数内容密切联系，许多内容是螺旋上升、逐步加深的。
因此，整体把握第一、第二学段的内容结构和特征，有利于在教学中突出重点为、前后照应，使学生更好地理解和掌握这些内容，进而整体实现课程目标。
第一、第二学段数与代数内容结构表
学段
数的认识
数的运算
常见的量
式与方程
正比例
反比例
探索规律
一
√
二
1．数的认识
这部分内容的理解和把握的重点在于：
数概念的形成过程，数感的建立，两个学段相关内容的整体把握、递进与衔接。
（1）整数的认识
万以内数的认识是整数认识的主要内容。
学生认识数从“一”到“万”是一个完整的数级，包含了整数认识的所有要素，如数字的表示，数位，各个数位上数字所表示的值。
第一学段万以内数的认识在实际教学中分几个阶段完成，较为普遍的安排方式是：
20以内数的认识→百以内数的认识→万以内数的认识，也可以在“百以内数的认识”之后安排“千的认识”。
其中，“20以内数的认识”是学生认数、读数、写数的重要阶段，涉及几乎所有整数认识的要素，如数的抽象，数字的表示与书写，数位与相应的数值等。
这部分内容的教学重点在于使学生从数量抽象到数。
这个抽象过程学生一开始认识时就要强调，直到大数的认识。
学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数的概念。
在此过程中，学生很自然地理解自然数的特征（后一个数比前一个数大1）和大小关系，进而顺利认识更大的数。
为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。
数位的含义是，不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位规定就没有办法表示更大的数。
算盘代表了中国传统文化，在相当长的一段时间内作为常用运算工具。
算盘上表示数，具有形象直观、体现数位特征的特点。
“让学生知道用算盘可以表示多位数”，有利于学生对多位数的认识，也使学生进一步了解中国传统文化。
数的认识中，学生应当了解数和数之间的关系，特别是大小关系。
数的大小关系可以用自然语言描述（“大一些”“大得多”“小一些”“小得多”），更要会用符号语言描述，这具有一定的抽象性，是培养学生数感和符号意识的重要内容。
第一、第二学段都提出了“感受大数意义、对大数进行估计”的要求。
第一学段是要求“在生活情境中感受大数的意义”，第二学段情境的范围有所扩大，要求在“现实情境中感受大数的意义”，其本质是相同的。
如感受1200的大小，可以设计：
1200张纸有多厚？
1200步有多长？
1200名学生做操需要多大的场地？
（2）分数、小数和百分数的认识
分数、小数的认识分散安排在两个学段：
——第一学段是初步认识：
从情境中具体了解分数、小数，重在现实情境中选择和运用。
——第二学段是认识分数和小数的概念（百分数的认识安排在第二学段）：
这更抽象，
分数、小数是数的概念的一次重要扩充，是人们认识现实世界数量关系的需要，是数学用来表征现
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