高考数学理科一轮复习幂函数学案含答案Word文档格式.docx
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12四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的n值依次为
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
c．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
2．已知函数：
①y＝2x；
②y＝log2x；
③y＝x－1；
④y＝.则下列函数图象从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是
A．②①③④
B．②③①④
c．④①③②
D．④③①②
3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为
A．1,3
B．－1,1
c．－1,3
D．－1,1,3
4．与函数y＝xx＋1的图象形状一样的是
A．y＝2x
B．y＝log2x
c．y＝1x
D．y＝x＋1
5．已知点在幂函数f的图象上，则f的表达式是
A．f＝x3
B．f＝x－3
c．f＝
D．f＝
探究点一 幂函数的定义与图象
例1 已知幂函数f的图象过点，幂函数g的图象过点．
求f，g的解析式；
求当x为何值时：
①f&
g；
②f＝g；
③f&
g．
变式迁移1 若点在幂函数f的图象上，点在幂函数g的图象上，定义h＝f，f≤g，g，f&
g，
试求函数h的最大值以及单调区间．
探究点二 幂函数的单调性
例2 比较下列各题中值的大小．
，；
，；
，和.
变式迁移2 比较下列各组值的大小：
①________；
②0.20.5________0.40.3.
已知m&
m，则m的取值范围是__________________________．
探究点三 幂函数的综合应用
例3 已知函数f＝的图象关于y轴对称，且在上是减函数，求满足&
的a的范围．
变式迁移3 已知幂函数f＝
试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
若该函数还经过点，试确定m的值，并求满足条件f&
f的实数a的取值范围．
．幂函数y＝xα，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；
幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；
如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
一、选择题
．右图是函数y＝
的图象，则
A．m，n是奇数，且mn&
1
B．m是偶数，n是奇数，且mn&
c．m是偶数，n是奇数，且mn&
D．m是奇数，n是偶数，且mn&
2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x&
0，y&
0，函数f满足f＝ff”的是
A．幂函数
B．对数函数
c．指数函数
D．余弦函数
3．下列函数图象中，正确的是
4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是
A．a&
c&
b
B．a&
b&
c
c．c&
a&
D．b&
a
5．下列命题中正确的是
①幂函数的图象都经过点和点；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n&
0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n&
0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
A．①和④
B．④和⑤
c．②和③
D．②和⑤
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6．若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈，α∈，则a，b，c的大小顺序是________．
8．已知函数f＝xα，对于下列命题：
①若x&
1，则f&
1；
②若0&
x&
1，则0&
f&
③当x&
0时，若f&
f，则x1&
x2；
④若0&
x1&
x2，则fx1&
fx2.
其中正确的命题序号是________．
三、解答题
9．设f是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x&
1时，y＝f的表达式是幂函数，且经过点．求函数在[2k－1,2k＋1）上的表达式．
0．已知f＝的图象在[0，＋∞）上单调递增，解不等式f&
f．
1．已知函数f＝满足f&
求k的值并求出相应的f的解析式；
对于中得到的函数f，试判断是否存在q&
0，使函数g＝1－qf＋x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？
若存在，求出q；
若不存在，请说明理由．
．y＝xα x α 2. 四 ， 增函数 不过
．B [方法一 由幂函数的图象与性质，n&
0时不过原点，故c3，c4对应的n值均为负，c1，c2对应的n值均为正；
由增快慢知n&
n&
n．
故c1，c2，c3，c4的n值依次为
2，12，－12，－2.
方法二 作直线x＝2分别交c1，c2，c3，c4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，，2－2，故n值分别为2，12，－12，－2.]
2．D [第一个图象过点，与④对应；
第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝kx，③y＝x－1恰好符合，
∴第二个图象对应③；
第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝ax，且a&
1，①y＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；
第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a&
1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]
3．A 4.c 5.B
课堂活动区
例1 解 设f＝xα，
∵图象过点，故2＝α，
解得α＝2，∴f＝x2.
设g＝xβ，∵图象过点，
∴14＝2β，解得β＝－2.
∴g＝x－2.
在同一坐标系下作出f＝x2与g＝x－2的图象，如图所示．
由图象可知，f，g的图象均过点和．
∴①当x&
1，或x&
－1时，f&
②当x＝1，或x＝－1时，f＝g；
③当－1&
1且x≠0时，f&
变式迁移1 解 求f，g解析式及作出f，g的图象同例1，
如例1图所示，
则有：
h＝x－2，x&
－1或x&
1，x2，－1≤x≤1.
根据图象可知函数h的最大值为1，单调增区间为和；
单调减区间为和．
例2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；
若指数相同，利用幂函数的性质；
若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．
解 函数y＝3x是增函数，∴30.8&
30.7.
函数y＝x3是增函数，∴0.213&
0.233.
∵，
∴.
＝1；
0&
＝1；
&
0，∴.
变式迁移2 ①&
②&
m&
解析 根据幂函数y＝x1.3的图象，
当0&
1时，0&
y&
1，∴0&
0.71.3&
1.
又根据幂函数y＝x0.7的图象，
当x&
1时，y&
1，∴1.30.7&
于是有0.71.3&
1.30.7.
对于幂函数y＝xm，由m&
m知，当x&
0时，随着x的增大，函数值也增大，∴m&
0.
例3 解 ∵函数f在上递减，
∴m2－2m－3&
0，解得－1&
m&
3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，
而22－2×
2－3＝－3为奇数，
2－2×
1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
而y＝在，上均为减函数，
∴&
等价于a＋1&
3－2a&
0，
或0&
a＋1&
3－2a，或a＋1&
3－2a，
解得a&
－1或23&
32.
故a的范围为{a|a&
32}．
变式迁移3 解 m2＋m＝m，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m为偶数．
∴函数f＝的定义域为[0，＋∞），并且在定义域上为增函数．
∵函数f经过点，
∴2＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f&
f得2－a≥0，a－1≥02－a&
a－1.
解得1≤a&
∴a的取值范围为[1，32）．
课后练习区
．c [由图象知，函数为偶函数，
∴m为偶数，n为奇数．
又函数图象在第一限内上凸，∴mn&
1.]
2．c [∵α≠xα&
#8226;
yα，
∴幂函数f＝xα不具有此性质．
∵loga≠logax&
logay，
∴对数函数f＝logax不具有此性质．
∵ax＋y＝ax&
ay，∴指数函数f＝ax具有此性质．
∵cos≠cosx&
cosy，
∴余弦函数y＝cosx不具有此性质．]
3．c [对A、B，由y＝x＋a知a&
1，可知A、B图象不正确；
D中由y＝x＋a知0&
1，∴y＝logax应为减函数，D错．]
4．A [∵y＝在x∈递增，
∴，即a&
c，
∵y＝x在x∈递减，
∴，即c&
b，
∴a&
b.]
5．D
6．1或2
解析 由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
7．c&
解析 ∵α∈，∴1α&
α&
α2.
又∵x∈，∴&
xα&
，即c&
b.
8．①②③
解析 作出y＝xα在第一象限内的图象，如图所示，
可判定①②③正确，
又f&
#61480;
#61481;
x表示图象上的点与原点连线的斜率，
x2时应有f&
x2&
x2，故④错．
9．解 设在[－1,1）中，f＝xn，
由点在函数图象上，求得n＝3.……………………………………………………
令x∈[2k－1,2k＋1），则x－2k∈[－1,1），
∴f＝3.……………………………………………………………………
又f周期为2，∴f＝f＝3.
即f＝3．………………………………………………………………
0．解 由条件知1－n2＋2n＋3&
－n2＋2n＋3&
3.…………………………………………………………
又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
当n＝0,2时，f＝x13，
∴f在R上单调递增．…………………………………………………………………
∴f&
f转化为x2－x&
x＋3.
解得x&
∴原不等式的解集为∪．………………………………………
1．解 ∵f&
f，
∴f在第一象限是增函数．
故－k2＋k＋2&
k&
2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，
∴f＝x2.…………………………………………………………………………………
假设存在q&
0满足题设，由知
g＝－qx2＋x＋1，x∈[－1,2]．
∵g＝－1，∴两个最值点只能在端点）和顶点处取得．
……………………………………………………………………………………………
而4q2＋14q－g＝4q2＋14q－＝&
4q－1&
24q≥0，
∴gmax＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………
gmin＝g＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………
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