勾股定理的培优专题文档格式.docx
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我们把这个定理叫做勾股定理的•
2•在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论
是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做如果把其中一个命题叫做原命
题，那么另一个命题叫做它的•
3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：
（1）6、8,10,
（2）5、12、13,（3）8、15、
17,（4）4、5、6,其中能构成直角三角形的有.（填序号）
4.若△ABC中,（b—a）（b+a）=c2，则/B=；
5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是
三角形.
6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数），则以a—2、a、
a+2为边的三角形的面积为
7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.
（1）两直线平行，同位角相等.
（2）若a>
b,则a2>
b.
二、经典例题、针对训练、延伸训练
考点一证明三角形是直角三角形
例1、已知：
如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CeJ=AD-BD.求证：
△ABC是直角三
角形.
针对训练：
1、已知：
在厶ABC中，/A、/B、/C的对边分别是a、b、c，满足
222
a+b+c+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
2（如图）在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=4BC,求证：
.EFA=90.
3、如图，已知：
在△ABC中，乙C=90,M是BC的中点，MDAB于D,求证：
aD=aC+BEJ.
考点二运用勾股定理的逆定理进行计算
例、如图，等腰△ABC中，底边BC=20,D为AB上一点，CD=16,BD=12,求厶ABC的周长。
1、•已知：
如图，四边形ABCDAD//BC,AB=4,BC=6CD=5AD=3.
求：
四边形ABCD的面积•
3.已知：
如图，DE=m,BC=n,EBC^.DCB互余，求bD+cD.
考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用
例1•阅读下列解题过程：
已知a、b、cABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断
△ABC的形状•
22.224.42z2.2、z2.2、z2.222.2
解：
.ac—bc=a—b,（A）••c（a—b）=（a+b）（a—b）,（B）••c=a+b,（C）-•△ABC
是直角三角形•
问：
①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？
请写出该步的代号;
②错误的原因是;
③本题的正确结论是•
例2.学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2b2=c2,或许其
他的三角形三边也有这样的关系”•让我们来做一个实验！
（1）画出任意的一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是
a=mm;
b=mm较长的一条边长C=mm
比较a2+b2c2（填写“〉”，“v”，或“=”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是
a=mmb=mm较长的一条边长C=mm
比较a2+b2c2（填写“〉”，“v”，或“=”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：
;
O
⑷对你猜想a2b2与c2的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
例3.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50
分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:
A和C
两艇的距离是13海里，AB两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
1观察下列各式：
32+42=52;
82+62=102;
152+82=172;
24?
+102=262…，你有没有发现其中的规律？
请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式
子.
2、如图所示，有一块塑料模板ABCD长为10叫宽为4叫将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能，请你求出这时AP的长；
若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直
角边PF与DC的延长线交于点Q与BC交于点E,能否使CE=2cm?
3.喜欢爬山的同学都知道，很多名山上都有便于游人观光的索道，如图所示，山的高度AC为
800m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1500m,一游客从山下索道口坐缆车到
山顶，知缆车每分钟走50m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶？
说明理由•
延伸训练：
如图，在△ABC中，/ACB=90,AC=BCP是厶ABC内的一点，且PB=1,PC=2PA=3,求/BPC的度数.
总结提高：
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A.三内角之比为1:
2:
3B.三边长的平方之比为1:
3
C.三边长之比为3:
4:
5D.三内角之比为3:
5
2.如图18-2—4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCDAD//BC,斜腰DC的长为10cm,
3.
/D=120°
则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）
4.如图18—2—5,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S、S2、S,且S=4,
S2=8,贝UAB的长为.
1
5.如图18—2—6，已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF—AD,
4
试判断△EFC的形状.
6.
一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中/A与/BDC都应为直角，工人师傅量
得零件各边尺寸：
AD=4AB=3,BD=5,
-2-7
7.已知△ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1（k>
1）,求证：
△ABC是直角三角形
8.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长,△ABQ的三边长分别是2a、2b、2c,那么△AiBiC
是直角三角形吗？
为什么？
8、.如图18-2—9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3,1）,B（2,4）,
△OAB是直角三角形吗？
借助于网格，证明你的结论
r
t
2
/
A
X
9、若△ABC的三边长为a、b、c,根据下列条件判断△ABC的形状。
（1）
222322223
a+b+c+200=12a+16b+20c
（2）a-ab+ab—ac+bc—b=0
10.如图，在厶ABC中,D为BC边上的一点，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长.
11.已知：
如图，四边形ABCDKABLBC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD
的面积.
14•已知：
如图，在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE=^CB,求
证：
AFLFE
15•写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.
22
（1）若a=b，贝Va=b.
⑵如果△ABC^AABC，那么BC=BC,AC=AC，/B=ZB'
.
（3）全等三角形的三组对应角相等.
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