完整版导数与恒成立能成立问题及课后练习含答案推荐文档文档格式.docx
《完整版导数与恒成立能成立问题及课后练习含答案推荐文档文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版导数与恒成立能成立问题及课后练习含答案推荐文档文档格式.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
g（x2）恒成立，求实数a的取值范围；
（转化）
x2-2ax+1-a>
0⇒a<
x3+x（x）=x3+x
简解：
（1）由
x3+x
x2x2+1成立，只需满足
>
0
'
2x4+x2+1
2x2+1的最小值大于a即
可．对
（x）=
2x2+1
求导，
（x）=（2x2+1）2
，故（x）
在x∈[1,2]
是增函数，
min
（x）=
（1）=2
3，所以a
的取值范围是
0<
a<
2
3．
a
例2、设函数h（x）xxb，对任意
a∈[1,2]
2
，都有h（x）≤10在
x∈[1,1]
4
恒成立，求实数b
的范围．
分析：
思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最
值解决．
方法1：
化归最值，h（x）≤10⇔hmax（x）≤10；
b≤10-（a+x）
方法2：
变量分离，x或a≤-x2+（10-b）x；
（a）=1⋅a+x+b-10≤0a∈[1,2]
方法3：
变更主元（新函数，x，2
h'
（x）=1-a=
方法1:
对h（x）=a+x+b求导，x2
x
11
x2，（单调函数）
由此可知，
h（x）
[,1]
在4
h（
上的最大值为
）h
（1）
中的较大者．
⎧1⎧1⎧39
∴⎪h（4）≤10⇒⎪4a+4+b≤10⇒⎪b≤4-4a17
⎨
⎩h
（1）≤10
⎩1+a+b≤10
f（x）=x2
⎩b≤9-a，对于任意
g（x）=⎛1⎫x
a∈[
2]b≤
，得b的取值范围是4．
ç
2⎪-mx∈[0,2]x∈[1,2]f（x）≥g（x）
例3、已知两函数，⎝⎭，对任意1，存在2，使得12，
m≥1
则实数m的取值范围为答案：
4
题型二、更换主元和换元法
例1、已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=f（x）+sinx是区间[-1,1]上的减函数，（Ⅰ）
ag（x）≤t2+t+1在x∈[-1,1]t
求的值；
（Ⅱ）若上恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）分析：
在不等式中出现了两个字母：
及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显
然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在（-∞,-1]内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。
（Ⅱ）略解：
由（Ⅰ）知：
f（x）=x，∴g（x）=x+sinx，g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g'
（x）=+cosx≤0∴≤-cosx在
[-1，1]上恒成立，∴≤-1，[g（x）]max=g（-1）=--sin1，∴只需--sin1≤t2+t+1，∴（t+1）+t2+sin1+1≥0（其中
⎨⎧t+1≤0
≤-1f（）=（t+1）+t2+sin1+1≥0（≤-1）-t-1+t2+sin1+1≥0
）恒成立，由上述②结论：
可令,则⎩，
∴
⎧t≤-1
⎨2
⎩t-t+sin1≥0，而t2-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1。
例2、已知二次函数f（x）=ax2+x+1对x∈[0,2]恒有f（x）>
0，求a的取值范围。
解：
对x∈[0,2]恒有f（x）>
0即ax2+x+1>
0变形为ax2>
-（x+1）
当x=0时对任意的a都满足f（x）>
0只须考虑x≠0的情况
a>
-（x+1）即a>
-1-1要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。
x2xx2
现求-1-1在x∈（0,2]上的最大值。
令t=1∴t≥1g（t）=-t2-t=-（t+1）2+1（t≥1）
xx2
g（t）
=g
（1）=-3
x2
3
所以a>
-
242
max244
又f（x）=ax2+x+1是二次函数∴a≠0所以a>
-3且a≠0
例3、对于满足0≤a≤4的所有实数a求使不等式x2+ax>
4x+a-3都成立的x的取值范围
答案：
x<
-1或x>
3
题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）
此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：
若对于x取值范围内的任一个数都有f（x）≥g（a）恒成立，则g（a）≤f（x）min；
若对于
x取值范围内的任一个数都有f（x）≤g（a）恒成立，则g（a）≥f（x）max.
例1、当x∈（1,2）时，不等式x2+mx+4<
0恒成立，则m的取值范围是.
x2+4
解析:
当
x∈（1,2）
时，由
x2+mx+4<
m<
得x
.∴m≤-5.
例2、已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=x-cosx在区间
⎡2⎤
⎢,⎥上是减函数.
⎣33⎦
（Ⅰ）求a的值与的范围；
（Ⅱ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有g（x）≤t-1在
⎢,上恒⎥成立，求实数t的取值范围.
lnx
（Ⅲ）若m0，试讨论关于x的方程
f（x）
=x2-2ex+m的根的个数.
（Ⅰ、（Ⅲ）略
（Ⅱ）由题意知，函数g（x）=x-cosx在区间
⎢,⎥上是减函数.
上恒成立
=1,g（x）≤t-1在⎡2⎤
⇔t-11,
∴g（x）maxg（3）=3-2⎢⎣3,
3⎥⎦
≥-
32
≤-
∴t≤+1（≤-1）,∴t1.3232
题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）
例1、若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
解析：
y=|x|
y=ax
y
O
对∀x∈R,不等式|x|≥ax恒成立、则由一次函数性质及图像知-1≤a≤1，即-1≤a≤1。
例2、不等式ax≤在x∈[0,3]内恒成立，求实数a的取值范围。
画出两个凼数y=ax和y=
如图
在x∈[0,3]上的图象
a=知当x=3时3
y=，
当a≤
x∈[0,3]时总有ax≤
所以a≤3
例4、已知函数y=
f（x）=⎧3x+6,x≥-2,若不等式f（x）≥2x-m恒成立，则实数m的取值范围是.
⎩
⎨-6-3x,x<
-2
在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y=2x-m及y=ff（x）的图象，由于不等式
（x）≥2x-m恒成立，所以函数y=2x-m的图象应总在函数y=y
=-4-m≤0,所以m≥-4,故m的取值范围是[-4,+∞）.
f（x）的图象下方，因此，当x=-2时，
题型五、其它（最值）处理方法
若在区间D上存在实数x使不等式f（x）>
A成立,则等价于在区间D上f（x）max>
A；
若在区间D上存在实数x使不等式f（x）<
B成立,则等价于在区间D上的f（x）min<
B.
利用不等式性质
x+3+x-1≤a2-3a
存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为。
设f（x）=x+3+x-1，由f（x）≤a2-3a有解，⇒a2-3a≥f（x），
又x+3+x-1≥（x+3）-（x-1）=4，∴a2-3a≥4，解得a≥4或a≤-1。
2、若关于x的不等式x-2+x+3≥a恒成立，试求a的范围
由题意知只须a比x-2+x+3的最小值相同或比其最小值小即可，得a≤（x-2+x+3）min
由x-2+x+3≥x-2-（x+3）=5所以a≤5
利用分类讨论
1、已知函数f（x）=x2-2ax+4在区间[-1，2]上都不小于2，求a的值。
由函数f（x）=x2-2ax+4的对称轴为x=a
所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论
1．当a≥2时f（x）在[-1，2]上是减函数此时f（x）min=f
（2）=4-4a+4≤2
即a≥
结合a≥2，所以a≥2
2．当a≤-1时f（x）在[-1，2]上是增函数，此时f（-1）=1+2a+4≤2
f（x）min=f（-1）=1+2a+4≤2结合a≤-1即a≤-3
3．当-1<
a<
2时f（x）min=f（a）=x2-2a2+4≤2
即a≥或a≤-所以≤a<
23
综上1，2，3满足条件的a的范围为：
a≤-或a≥
利用导数迂回处理
1、已知f（x）=1lg（x+1）
g（x）=lg（2x+t）若当x∈[0,1]时f（x）≤g（x）在[0，1]恒成立，求实数t的取
值范围
f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即-2x-t≤0在[0，1]上恒成立即-2x-t≤0在[0，1]上的最大值小于或等于0
令F（x）=-2x-t所以
F'
（x）=1-2=1-4，又x∈[0,1]所以F'
（x）<
0即F（x）在[0，1]上单调递减
22
所以F（x）max=F（0），即F（x）≤F（0）=1-t≤0得t≥1
f（x）=lnx-1ax2-2x（a≠0）
2、已知函数2存在单调递减区间，求a的取值范围
（x）=1-ax-2=-ax2+2x-1
因为函数
f<
存在单调递减区间，所以xx
（0,+∞）有解.即
1-2（x∈（0,+∞））
x2x能成立,设
u（x）=1-2
x2x.
12⎛1⎫2
u（x）=-=ç
-1⎪-1
2xxu
（x）=-1
由x⎝⎭
得,min
.于是,a>
-1,
由题设a≠0,所以a的取值范围是（-1,0）（0,+∞）
3、已知函数f（x）=x（lnx+m）,g（x）=ax3+x.
（Ⅰ）当m=-2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若m=
（Ⅰ）略
时，不等式g（x）≥
f（x）恒成立，求实数a的取值范围.
（Ⅱ）当m=时，不等式g（x）≥
f（x）即ax3+x≥x（lnx+3）恒成立.由于x>
0，∴
a3a1
3（lnx+1）
-6lnx
x2+1≥lnx+
，亦即
x2≥lnx+
，所以a≥
2.令h（x）=
2，则h'
（x）=，
3232x2x2x3
由h'
（x）=0得x=1.且当0<
1时，h'
（x）>
0；
当x>
1时，h'
0，即h（x）在（0,1）上单调递增，在
（1,+∞）上单调递减，所以h（x）在x=1处取得极大值h
（1）=3，也就是函数h（x）在定义域上的最大值.因此要
使a≥恒成立，需要a≥
3，所以a的取值范围为⎡3
+∞⎫.
x22⎢⎣2⎪⎭
注：
恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。
小结：
恒成立与有解的区别：
①不等式f（x）<
M对x∈I时恒成立⇔fmax（x）<
M，x∈I。
即f（x）的上界小于或等于M；
②不等式f（x）<
M对x∈I时有解⇔fmin（x）<
M，x∈I。
或f（x）的下界小于或等于M；
③不等式f（x）>
M对x∈I时恒成立⇔fmin（x）>
即f（x）的下界大于或等于M；
④不等式f（x）>
M对x∈I时有解⇔fmax（x）>
M，x∈I.。
或f（x）的上界大于或等于M；
三、恒成立、能成立问题专题练习
1、已知两函数f（x）=7x2-28x-c，g（x）=2x3+4x2-40x。
（1（对任意x∈[-3,3]，都有f（x）≤g（x））成立，求实数c的取值范围；
（2（存在x∈[-3,3]，使f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围；
（3（对任意x1,x2∈[-3,3]，都有f（x1）≤g（x2），求实数c的取值范围；
（4）存在x1,x2∈[-3,3]，都有f（x1）≤g（x2），求实数c的取值范围；
x∈[a,2a]y∈[a,a]+=1aaa
2logxlogy3
2、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为
（）
（A）{a|1<
a≤2}（B）{a|a≥2}（C）{a|2≤a≤3}（D）{2,3}
⎧x-y≤0
⎪⎨
⎪x+y-5≥0
y-3≤0x,ya（x2+y2）≤（x+y）2
3、若任意满足⎩的实数，不等式恒成立，则实数a的最大值是.
4、不等式sin2x-4sinx+1-a<
0有解，则a的取值范围是
5、不等式
ax≤
x∈0,3
在内恒成立，求实数a的取值范围。
6、设函数
f（x）=-1x3+2ax2-3a2x+b
f（x）
（0<
1,b∈R）
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间和极值；
f'
（x）≤a
（Ⅱ）若对任意的x∈[a+1,a+2],不等式
成立，求a的取值范围。
→→→
OAOBOCOA-[y+2f'
（1）]⋅OB+ln（x+1）⋅OC=0
7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，，满足：
.
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
2x
（2）若x＞0，证明：
f（x）＞x＋2；
（3）若不等式2
1x2≤f（x2）+m2-2bm-3
时，x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立，求实数m的取值范围．
8、设f（x）=px-q-2lnx
（I）求p与q的关系；
f（e）=qe-p-2
，且e（e为自然对数的底数）
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
g（x）=2e[]（）>
（）
（III）设x，若在1,e上至少存在一点x0，使得fx0gx0成立,求实数p的取值范围.
课后作业答案：
1、解析：
（1）设h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+c，问题转化为x∈[-3,3]时，h（x）≥0恒成立，故h
min（x）≥0。
递
令h'
（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2）=0，得x=-1或2。
由导数知识，可知h（x）在[-3,-1]单调递增，在[-1,2]单调
减，在[2,3]单调递增，且h（-3）=c-45，h（x）极大值=h（-1）=c+7，h（x）极小值=h
（2）=c-20，h（3）=c-9，∴
hmin（x）=h（-3）=c-45，由c-45≥0，得c≥45。
（2）据题意：
存在x∈[-3,3]，使f（x）≤g（x）成立，即为：
h（x）=g（x）-f（x）≥0在x∈[-3,3]有解，故hmax（x）≥0，由
（1）知
hmax（x）=c+7≥0，于是得c≥-7。
12
（3）它与
（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1,x2∈[-3,3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x，x的取值在[-3,3]上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条
件是：
fmax
（x）≤g
（x）,x∈[-3,3]f（x）=7（x-2）2-c-28,x∈[-3,3]f（x）=f（-3）=147-c
，
。
∵∴
∵g'
（x）=6x2+8x-40=2（3x+10）（x-2），∴g'
（x）=0在区间[-3,3]上只有一个解x=2。
∴g（x）min=g
（2）=-48，∴147-c≤-48，即c≥195.
（4）存在x1,x2∈[-3,3]，都有f（x1）≤g（x2），等价于fmin（x1）≤gmax（x2），由（3）得
fmin（x1）=f
（2）=-c-28，gmax（x2）=g（-3）=102，-c-28≤102⇒c≥-130
点评：
本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
a3a2a3
logy=
≤≤2a
2、B。
由方程
⎧a≤a2
ax+logay=3可得
x，对于任意的x∈[a,2a]，可得2
升级会员 