完整版导数与恒成立能成立问题及课后练习含答案推荐文档文档格式.docx

1、 g（x2 ） 恒成立，求实数 a 的取值范围；（转化）x 2 - 2ax + 1 - a 0 a 0 2x 4 + x 2 + 12x 2 + 1 的最小值大于 a 即可对 （x） =2x 2 + 1求导，（x） = （2x 2 + 1）2，故 （x）在 x 1,2是增函数， min（x） = （1） = 23 ，所以 a的取值范围是0 a 0 ，求 a 的取值范围。解：对 x 0,2恒有 f （x） 0 即ax 2 + x + 1 0 变形为 ax 2 -（x + 1）当 x = 0 时对任意的 a 都满足 f （x） 0 只须考虑 x 0 的情况a - （x + 1） 即 a - 1 -

2、 1 要满足题意只要保证 a 比右边的最大值大就行。x 2 x x 2现求- 1 - 1 在 x （0,2上的最大值。令 t = 1 t 1 g（t） = -t 2 - t = -（t + 1 ）2 + 1 （ t 1 ）x x 2g（t）= g（ 1） = - 3x 23所以 a -2 4 2max 2 4 4又 f （x） = ax 2 + x + 1是二次函数 a 0 所以 a - 3 且a 0例 3、对于满足 0 a 4 的所有实数 a 求使不等式 x2 + ax 4x + a - 3都成立的 x 的取值范围答案： x 3题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）此

3、类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 x 取值范围内的任一个数都有 f （x） g（a） 恒成立，则 g（a） f （x）min ；若对于x 取值范围内的任一个数都有 f （x） g（a） 恒成立，则 g（a） f （x）max .例 1、当 x （1,2）时，不等式 x2 + mx + 4 0 恒成立，则m 的取值范围是 .x2 + 4解析: 当x （1, 2）时，由x2 + mx + 4 m 得 x. m -5 .例 2、已知函数 f （x） = ln（ex + a） （ a 为常数）是实数集 R 上的奇函数，函

4、数 g（x） = x - cos x 在区间 2 , 上是减函数. 3 3 （）求 a 的值与 的范围；（）若对（）中的任意实数 都有 g（x） t-1 在 , 上恒 成立，求实数t 的取值范围.ln x（）若m 0 ，试讨论关于 x 的方程f （x）= x2 - 2ex + m 的根的个数.（、（）略（）由题意知，函数 g（x） = x - cos x 在区间 , 上是减函数.上恒成立= 1 , g（x） t-1 在 2 t-1 1 , g（x）max g（ 3 ） = 3 - 2 3 ,3 -3 2 -t + 1 （ -1） ,t 1 . 3 2 3 2题型四、数形结合（恒成立问题与二次函

5、数联系（零点、根的分布法）例 1、若对任意 x R ,不等式| x | ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 解析：y =| x |y = axyO对 x R ,不等式| x | ax 恒成立、则由一次函数性质及图像知-1 a 1，即-1 a 1。例 2、不等式ax 在 x 0,3 内恒成立，求实数a 的取值范围。画出两个凼数 y = ax 和 y =如图在 x 0,3 上的图象a = 知当 x = 3时3y = ，当 a x 0,3 时总有 ax 所以a 3例 4、已知函数 y =f （x） = 3x + 6, x -2 , 若不等式 f （x） 2x - m 恒成立，则实数m 的取值范围是

6、 .-6 - 3x, x A 成立,则等价于在区间 D 上 f （x）max A ； 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f （x） B 成立,则等价于在区间 D 上的 f （x）min B .利用不等式性质x + 3 + x - 1 a2 - 3a存在实数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围为 。设 f （x）= x + 3 + x - 1 ，由 f （x） a2 - 3a 有解， a2 - 3a f （x） ，又 x + 3 + x - 1 （x + 3）- （x - 1） = 4 ， a2 - 3a 4 ，解得 a 4或a -1 。2、若关于 x 的不等式 x - 2 + x +

7、 3 a 恒成立，试求 a 的范围由题意知只须 a 比 x - 2 + x + 3 的最小值相同或比其最小值小即可，得 a （ x - 2 + x + 3 ）min由 x - 2 + x + 3 x - 2 - （x + 3） = 5 所以 a 5利用分类讨论1、已知函数 f （x） = x2 - 2ax + 4 在区间-1，2 上都不小于 2，求 a 的值。 由函数 f （x） = x2 - 2ax + 4 的对称轴为 x=a所以必须考察 a 与-1，2 的大小，显然要进行三种分类讨论1当 a 2 时 f（x）在-1，2上是减函数此时 f （x）min = f（2）=4-4a+4 2即 a

8、结合 a 2，所以 a 22当 a -1 时 f（x）在-1，2上是增函数，此时 f（-1）=1+2a+4 2f （x）min = f（-1）=1+2a+4 2 结合 a -1 即 a - 33当-1a2 时 f （x）min = f（a）= x2 - 2a2 + 4 2即 a 或 a - 所以 a 2 3综上 1，2，3 满足条件的 a 的范围为：a - 或 a 利用导数迂回处理1、已知 f （x） = 1 lg（x + 1）g（x） = lg（2x + t） 若当 x 0,1 时 f （x） g（x） 在0，1恒成立，求实数 t 的取值范围 f （x） g（x） 在0，1 上恒成立，即 -

9、 2x - t 0 在0，1上恒成立即 - 2x - t 0 在0，1上的最大值小于或等于 0令 F （x） = - 2x - t 所以F （x） = 1 - 2 = 1 - 4 ，又 x 0,1 所 以 F （x） 0 即 F （x） 在0，1上单调递减2 2所以 F （x）max = F （0） ，即 F （x） F （0） = 1 - t 0 得 t 1f （x）= ln x - 1 ax2 - 2x （a 0）2、已知函数 2 存在单调递减区间，求a 的取值范围 （x）= 1 - ax - 2 = - ax2 + 2x -1 因为函数f -1,由题设 a 0 ,所以 a 的取值范围是（

10、-1,0） （0,+）3、已知函数 f （x） = x（ln x + m）, g（x） = a x3 + x.（）当 m = -2 时，求 f （x） 的单调区间；（）若m =（）略时，不等式 g（x） f （x） 恒成立，求实数 a 的取值范围.（）当m = 时，不等式 g（x） f （x） 即 a x3 + x x（ln x + 3） 恒成立.由于 x 0 ，a 3 a 13（ln x + 1 ）-6 ln xx2 +1 ln x +，亦即x2 ln x +，所以 a 2 . 令 h（x） = 2 ， 则 h（x） = ，3 2 3 2 x2 x2 x3由h（x） = 0 得 x = 1

11、.且当0 0 ；当 x 1 时， h 0 ，即 h（x） 在（0,1） 上单调递增，在（1,+） 上单调递减，所以 h（x） 在 x = 1 处取得极大值 h（1） = 3 ，也就是函数 h（x） 在定义域上的最大值.因此要使a 恒成立，需要a 3 ，所以a 的取值范围为 3, + .x2 2 2 注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。小结：恒成立与有解的区别：不等式 f （x） M 对 x I 时恒成立 fmax （x） M ， x I 。即 f （x）的上界小于或等于 M ；不等式 f （x） M 对 x I 时有

12、解 fmin （x） M 对 x I 时恒成立 fmin （x） 即 f （x）的下界大于或等于 M ；不等式 f （x） M 对 x I 时有解 fmax （x） M ， x I .。 或 f （x）的上界大于或等于 M ；三、恒成立、能成立问题专题练习1、已知两函数 f （x）= 7x2 - 28x - c ， g （x）= 2x3 + 4x2 - 40x 。（1（ 对任意 x -3,3，都有 f （x） g （x） ）成立，求实数 c 的取值范围；（2（ 存在 x -3,3，使 f （x） g （x）成立，求实数 c 的取值范围；（3（ 对任意 x1 , x2 -3,3，都有 f （x1

13、 ） g （x2 ），求实数 c 的取值范围；（4）存在 x1 , x2 -3,3，都有 f （x1 ） g （x2 ），求实数 c 的取值范围； x a, 2a y a, a + =1 a a a2 log x log y 32、设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时 的取值集合为（ ）（A）a |1 a 2 （B）a | a 2 （C）a | 2 a 3 （D）2, 3x - y 0x + y - 5 0y - 3 0 x , y a（x2 + y2 ） （x + y）23、若任意满足 的实数 ，不等式 恒成立，则实数a 的最大值是 .4、不等式sin2 x - 4sin x + 1

14、 - a 0 有解，则a 的取值范围是 5、不等式ax x 0, 3在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。6、设函数f （x） = - 1 x3 + 2ax2 - 3a2 x + bf （x ）（0 （ ）（III）设 x ，若在 1 , e 上至少存在一点x 0 ，使得f x 0 g x 0 成立, 求实数 p 的取值范围.课后作业答案：1、解析：（1）设h （x）= g （x）- f （x）= 2x3 - 3x2 - 12x + c ，问题转化为 x -3,3时， h （x） 0 恒成立，故 hmin （x） 0 。递令h（x）= 6x2 - 6x - 12 = 6（x + 1）（x -

15、2）= 0 ，得 x = -1 或2 。由导数知识，可知 h （x）在-3,-1单调递增，在-1,2单调减，在2,3单调递增，且 h （-3）= c - 45 ， h （x）极大值 = h （-1）= c + 7 ， h （x）极小值 = h （2）= c - 20 ， h （3）= c - 9 ，hmin （x）= h （-3）= c - 45 ，由 c - 45 0 ，得 c 45 。（2）据题意：存在 x -3,3，使 f （x） g （x）成立，即为： h （x）= g （x）- f （x） 0 在 x -3,3有解，故 hmax （x） 0 ， 由（1）知hmax （x）= c +

16、7 0 ，于是得 c -7 。1 2（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1 , x2 -3,3，都有 f （x1 ） g （x2 ）成立，不等式的左右两端函数的自变量不同， x ， x 的取值在-3,3上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：fmax（x） g（x）,x -3,3 f （x）= 7 （x - 2）2 - c - 28, x -3,3 f （x） = f （-3）= 147 - c，。 g（x）= 6x2 + 8x - 40 = 2（3x + 10）（x - 2）， g（x）= 0 在区间-3,3上只有一个解 x = 2 。 g （x）mi

17、n = g （2）= -48 ，147 - c -48 ，即 c 195 .（4）存在 x1 , x2 -3,3，都有 f （x1 ） g （x2 ），等价于 fmin （x1 ） gmax （x2 ），由（3）得fmin （x1）= f （2）= -c - 28 ， gmax （x2 ）= g （-3）= 102 ， -c - 28 102 c -130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。a3 a2 a3log y = 2a2、B。由方程 a a2a x + loga y = 3 可得x ，对于任意的 x a, 2a ，可得 2