134《最短路径问题1》教案Word文档下载推荐.docx

134《最短路径问题1》教案Word文档下载推荐.docx

《134《最短路径问题1》教案Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《134《最短路径问题1》教案Word文档下载推荐.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

【知识点】两点之间线段最短

【思路点拨】依据“两点（直线异侧）一线型”，和“两点之间，线段最短”，则AP+PB的最小值为线段AB的值.

【解题过程】连接AB交于直线l于点P，则点P就是所求的点.

【答案】如图，则点P就是所求的点.

⑶如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测

（1），根据“两点之间，线段最短”，连接AB即可.

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，则点P就是所求的点.

【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短.

⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，则点P可能的个数为（）个

A.3B.2C.1D.0

【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质

【思路点拨】将“A，B在直线l的同侧”利用轴对称转化为“A，B在直线l的异侧”，又根据“两点之间线段最短”可得出只有唯一的点P.

【答案】C

【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为新课中“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．

（二）课堂设计

1.知识回顾

⑴两点的所有连线中，线段最短；

⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

⑶三角形三边的数量关系：

三角形中两边之和大于第三边.

2.问题探究实际问题转化为数学问题

探究一“两点一线”的最短路径问题★▲

今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”.

●活动①创设情境，引入新知

师：

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

问题1.如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.

【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，则AC+BC的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点（直线异侧）一线型”.

【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:

●活动②整合旧知，探究新知

问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：

问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

l

将问题2抽象为数学问题：

如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短

【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题.此情况可简称为“两点（直线同侧）一线型”.

【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.

3．尝试解决数学问题

●活动③大胆猜想，建立模型

【解题过程】

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.

师生活动：

学生独立思考，尝试画图，相互交流.

学生若有困难，教师可作如下提示：

1若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小；

2现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB′?

⑶你能根据轴对称的知识，找到

（2）中符合条件的点B′吗？

【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路.通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.

4．证明AC+BC“最短”

●活动

反思过程，验证新知

证明“最短作图”的正确性：

追问1你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.

证明：

如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=

AC′+C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴　AC+BC﹤AC′+BC′，

即AC+BC最短．

●活动⑤集思广益，理解新知

追问2：

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合）？

学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：

若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．

【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.

追问3：

回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？

学生回答，相互补充.

【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.

●活动⑥反思总结，归纳新知

【方法归纳】

1、“两点（直线同侧）一线型”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.

2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.

练习有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.（保留作图痕迹，不写作法）

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短

（1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线；

（2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.

【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”，通过“作D关于AB的对称点D′”转化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.

【答案】如图，则点E就是所求的点.

海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题”：

探究二“一点两线型”的最短周长问题

问题3.如图，有一条河流和一块草地，马厩A建在河流和草地所成的∠MON内部.牧马人某一天要从A牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.

【数学思想】转化、类比

【解题过程】分别作点A关于OM、ON的对称点A′、A′′，连接A′A′′分别交OM、ON于E、F，此时△AEF周长有最小值；

【思路点拨】

（1）将OM，ON抽象为两条相交的直线，将马厩A抽象为一个点；

（2）抽象为数学问题：

如图，点A在∠MON内部，试在OM、ON上分别找出两点E、F，使△AEF周长最短；

（3）当AE、EF和AF三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一”作图.求三角形周长最短，即求AE+EF+AF的最小值为A′A′′的值，根据轴对称的性质得AE=A′E，AF=A′′F，再由“两点之间，线段最短”解决.此情况简称为“一点两线型”.

【答案】作图如图1，则此时点E、F使△AEF周长有最小值．

F

能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性：

【理由简要分析】如图2，在OM上任取一个异于E的点E′，在ON上任取一个异于F的点F′，连接AE′，A′E′，E′F′，A″F′，AF′，则AE′＝A′E′，AF′＝A″F′，且A′E′＋E′F′＋F′A″＞A′A″=A′E＋EF＋FA″=AE＋EF＋FA，所以△AEF的周长最小，故E，F就是我们所求使△AEF周长最短的点．

练习如图所示，点P为∠AOB内一点，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F.若P1P2=9，则△PEF的周长是（）

A.7B.8C.9D.10

【知识点】轴对称知识

【解题过程】因为P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，根据轴对称的性质得PE=P1E，PF=FP2，所以PE+EF+PF=P1E+EF+P2F=P1P2=9.

【思路点拨】根据轴对称知识，PE+EF+PF=P1E+EF+P2F=P1P2，故答案选C.

回到家的海伦继续思考：

如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？

探究三“两点两线型”的最短路径问题

问题4如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.

【解题过程】

（1）作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；

（2）连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．

【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.此情况简称为“两点两线型”.

【答案】如图所示，牧马人沿A→C→D→B的路线行走，所行走的路线最短.

练习某中学八

（2）班举行文艺晚会，桌子摆成如图1所示两直排（图中的AO，BO），AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.（保留作图痕迹，不写作法）

图1

图2

【解题过程】作法：

（1）作点C关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，

（2）连接C1D1，分别交OA于P、交OB于Q，那么当小明沿C→P→Q→D的路线行走时，所走的总路程最短.

【思路点拨】“两点两线型”求路径最短，所求CP+PQ+QD的最小值为线段C1D1的值.

【答案】作图如图2，小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短.

【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的综合能力.

【方法归纳】“一点两线型”求三角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形.“两点两线型”，也可以为求四边形CPQD的周长最短问题，类比“一点两线型”即可解决.

3.课堂总结

让我们共同回顾一下古希腊著名的学者海伦所遇到的“将军饮马问题”，总结一下他所解决“最短路径问题”的所用的原理与方法.

知识梳理

1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；

2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段”转化到“同一条直线上”，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

重难点归纳：

最短路径问题的主要类型▲

问题

作法

图形

原理

类型一

直线异侧有两点：

在l上求一点P，使得PA+PB最小

连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P.

PA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短

类型二

直线同侧有两点：

在l上求一点P，使得PA+PB最小.

⑴作点B关于直线l的对称点B′；

⑵连接AB′，与直线l相交于点P．

则点P即为所求．

（同样可作点A的对称点）

PA+PB的最小值为AB′的值，PB

=PB′，两点之间，线段最短

类型三

两条相交直线所成的角内有一点P：

分别在边OA、OB上求一点E、F，使△EFP的周长最小.

⑴分别作点P关于直线OA、OB的对称点P′、P′′；

⑵连接P′P′′，与直线OA、OB分别交于点E、F．则点E、F为所求的点．

PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，PE=P′E，PF=

FP′′，两点之间，线段最短.

类型四

两条相交直线所成的角内有两点P、Q：

分别在边OA、OB上求一点M、N，使得四边形MNPQ的周长最小.

⑴作点P、Q分别关于直线OA、OB的对称点P′、Q′；

⑵连接P′Q′，与直线OA、OB分别交于点M、N．则点M、N为所求的点．

PM+MN+MQ的最小值为P′Q′的值，PM=P′M，NQ=NQ′，两点之间，线段最短.

（三）课后作业

基础型自主突破

1.如图，若将河看作直线l，河的同侧有两个村庄P、Q.现要在l上的某处修建一个水泵站，分别向P、Q两个村庄供水，图中实线表示铺设的管道，下面的四种修建方案中，所需管道最短的是（）

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短

（1）作点P关于直线l的对称点P′；

（2）连接QP′，与直线l相交于点M；

则在l上的点M修建一个水泵站所需管道最短．

【思路点拨】根据“两点一线型”的最短路径模型，故选D.

【答案】D

2.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使得点P到点A、点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）

A.（-2，0）B.（4，0）C.（2，0）D.（0，0）

【解题过程】如图，作点B关于x轴的对称点B′（4，-2），过点A作AC⊥x轴，B′C⊥y轴于E，AC和B′C相交于点C，连接AB′交x轴于点P，交y轴于点D

∵A（-2，4），B′（4，-2）∴C（-2，-2），E（0，-2），AC=B′C=6.又∵AC⊥B′C，∴∠CAB′=∠AB′C=45°

.∵DE∥AC，∠DEB′=90°

，∴∠EDB′=∠DB′E=45°

，∴DE=EB′=4，D（0，2）.同理可得∠ODP=∠OPD=45°

，OP=OD=2，

∴P（2，0）

【思路点拨】在直角坐标系中抽出“两点一线型”的最短路径模型：

在直线x轴的同侧有点A和点B点，在直线x轴上找一点P，使PA+PB最小.作图如图，再由图可构造得等腰直角△ACB′，求出坐标.

3.如图，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的一点.若AF=3，当EF+EC取得最小值时，∠ECF的度数是（）

A.15°

B.22.5°

C.30°

D.45°

【知识点】等腰三角形的“三线合一”、轴对称知识、两点之间线段最短

（1）因为等边△ABC的边长为6，又AF=3，所以点F为AC中点.取AB中点F′，则点F与点F′关于直线AD对称；

（2）连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°

.（做题前应先忽略原图中的点E，如图1，再根据“两点一线型”的最短距离的模型作图，如图2：

）

【思路点拨】分离出点F、点C和直线AD，找出“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键.连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.

4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°

，AD=3，连接BD，且BD⊥CD，

∠ADB=∠C.若P是BC边上的动点，则DP长的最小值为.

【知识点】等角的余角相等、角平分线的性质、垂线段最短

【解题过程】过点D作DP⊥BC于P，∵∠A=90°

，BD⊥CD，∴△BAD和△BDC都是直角三角形.又∵∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠DBC.∴BD是∠ABC的平分线，∴垂线段DP=DA=3.

【思路点拨】由题意可得△BAD和△BDC都是直角三角形，又因为∠ADB=∠C，

所以∠ABD=∠DBC，则BD是∠ABC的平分线，根据“垂线段最短”和“角平分线的性质”求出DP长的最小值为3.

【答案】3

5.如图，要在河道l边上建立一个水泵站，分别向A、B两个村庄引水，水泵站建在河道的什么地方，才能使输水管道最短？

（保留作图痕迹，不写作法）

（1）将村庄A、B两地抽象为两个点，将河道l抽象为一条直线；

（2）作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l相交于点C.

【思路点拨】“两点（直线同侧）一线型”，在直线l上找一点C，使AC+CB′最小，AC+CB′的最小值为线段AB′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.

【答案】如图，点C即为水泵站建所在的位置：

6.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：

甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？

【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′交OA于E、交OB于F，此时△PEF周长有最小值，即乙站在E处、丙站在F处使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮路程和最短，所用的时间也最少.

【思路点拨】甲、乙、丙三人的传球速度相同，则当路程和最短时所用的时间最少，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题.在OA、OB上分别找点E、点F，PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，根据轴对称的性质得PE=P′E，PF=FP′′，再由“两点之间，线段最短”解决.

【答案】如图所示，因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以当乙站在OA上的E处，丙站在OB上的F处时，才能使传球所用时间最少．

能力型师生共研

7.八年级（6）班同学做游戏，在活动区域边放了一些球（如图），则小明按怎样的线路跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A？

【解题过程】作“小明”关于小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交直线OP于点B，则按“小明”→B→A的线路跑，去捡B处的球，才能最快拿到球跑到目的地A.

【思路点拨】“两点（直线同侧）一线型”，在直线l上找一点B，使AB+BA′最小，AB+BA′的最小值为线段AA′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.

【答案】如图，小明行走的路线是:

“小明”→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.

8.如图，∠AOB=30°

，点P为∠AOB内一点，OP=6cm，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值.

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的判定

【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN周长有最小值=P1P2，∵根据轴对称的性质得

∠1=∠2，∠3=∠4，OP1=OP=OP2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB=

2×

30°

=60°

，∴△P1OP2为等边三角形，∴P1P2=OP1=OP2=6cm，即△PMN周长的最小值为6cm.

【思路点拨】该题属于“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△PMN周长PM+MN+PN的最小值为P1P2的值；

根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=60°

，OP1=OP=OP2，△P1OP2为等边三角形，P1P2=6cm.

【答案】6cm

探究型多维突破

9、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m.

（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？

在图中作出该处；

（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求出最短路程.

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、全等三角形的判定

（1）作法：

①如图作点A关于CD的对称点A′；

②连接A′B交CD于点M.

（2）由

（1）可得直线CD是点A与点A′的对称轴，M在CD上，∴AM＝A′M，A′C＝AC，又∵AC＝BD，∠A′CM=∠BDM=90°

，∠A′MC=∠BMD，∴△A′CM≌

△BDM，∴CM＝DM，A′M＝BM，∴M为CD的中点，且A′B＝2AM，

∵AM＝500m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1000m．即最短路程1000m.

【思路点拨】⑴该题为“两点（直线同侧）一线型”求最短路径问题，在直线l上找一点M，使A′M+MB最小，A′M+MB的最小值为线段A′B的值，再根据“两点之间，线段最短”解决;

⑵由条件“AC＝BD”可推出△A′CM≌△BDM，从而得到最短距离A′B=2AM=1000m

【答案】

（1）如图，点M即为所求的点;

（2）最短路程为1000m.

10.如图，在五边形ABCDE中，

①在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；

②若∠BAE＝125°

，∠B＝∠E＝90°

，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．

【知识点】轴对称知识，两点之间线段最