复变函数答案Word格式文档下载.docx

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5.求下列函数的拉普拉斯变换.

t,2t

（1）

（2）ftt（）esin5,,ftlt（）sin,,2l

t,4t（3）（4）ftt（）1e,,,ftt（）ecos4,,

（5）（6ftut（）（24）,,fttt（）5sin23cos2,,

12,t2（7）（8）fttt（）32,，，ftt（）e,,

（1）

t1ftlttlt（）sin[（）sin],,,,,,22ll

t1FsLftLltLtlt（）（（））（sin）[（）sin],,,,,,,22ll

112llss,,,,,,,,（）2222222222（）（）lsllslsl，，，

5,2tFsLftLt,,,,

（2）（）（（））（esin5）2s，，

（2）25

1ttt（3）（）（（））（1e）

（1）（e）（e）FsLftLtLLtLt,,,,,,,,，,,s1111,,，,,（）2ssss,,1

（1）

s，4,4t（4）FsLftLt（）（（））（ecos4）,,,,2（4）16s，，

1,2t,,（5）ut（24）,,,0,其他,

st,FsLftLututdt（）（（））（（24））=（24）e,,,,,,0,12sts,,=e=edt,2s

（6）

FsLftLttLtLt（）（（））（5sin23cos2）5（sin2）3（cos2）,,,,,

2103ss,,,,,,53222sss，，，444

13,，,

（1）（）1,t222（7）FsLftLt,,,,,（）（（））（e）33

22,,ss,,（）（）

1222（8）FsLftLttLtLtLss（）（（））（32）（）3（）2

（1）（232）,,，，,，，,，，s

6.记，对常数，若，证明sRe（）ss,,,LfsFs[]（）（）,000

st0LfsFss[e]（）（）,,,0

证明:

ststst,00Lfsftdt[e]（）e（）e,,,,,0

,（）（）sstsst,,,00,,,,,,ftdtftdtFss（）e（）e（）0,,00

（）nn7记，证明:

FsLfts（）[（t）（）]（）,,,LfsFs[]（）（）,

当n=1时,

，,st,Fsftdt（）（）e,,,0

，,st,,,Fsftdt（）[（）e],,,0st,，,，,,,[（）e]ftst,,,,,,,,,dttftdtLtft（）e（（））,,00s,

（）nn所以，当n=1时,显然成立。

FsLfts（）[（t）（）]（）,,,

（1）1kk,,假设，当n=k-1时,有FsLfts（）[（t）（）]（）,,,

现证当n=k时

，,kst,,1

（1）k,dtftdt（）（）e,,,dFs（）,（）k0Fs（）,,dsds

kst,,1,，,,,,,[（）（）e]tftkst,,,,,,dttftdt（）（）e,,00,s

k,,,Lfts[（t）（）]（）

8.记，如果a为常数,证明:

LfsFs[]（）（）,

1sLfatsF[（）]（）（）,aa

设，由定义LfsFs[]（）（）,

，,udu,stLfatfatdtatutdt[（）]（）e.（,,）,,,,,令,0aa

ss,,uu，,，,du1aa,,,,fufudu（）e（）e,,00aa

s1,F（）aa

9.记，证明:

，,,ft（）ft（）st,,即,,,LFsds[]（）e（）dtFsds,,,s0stt

，,，,,stst,,Fsdsftdtdsftdsdt（）[（）e]（）[e],,,,,,,,0sss

，,，,1（）（）ftftstst,,,,,,,,,ftdtdtL（）[e]e[]s,,00ttt

10.计算下列函数的卷积

（1）

（2）11,tt,

t（3）（4）sinsinatat,t,e

（5）（6,,（）（）tft,,sinsinatat,

t解:

（1）1111,,,,dt,,0

t13

（2）tttdt,,,,,,,,（）,06

（3）

ttt,,,,,,tttttddd,,,,,,,,,,eeeeee,,,,,,,,000

t,,ttt,,,,,,,,e[e]ee1dt,,0,0

（4）

tt1atataatdataatd,,,,,,,,,,,,,sinsinsinsin（）[coscos

（2）],,002

t1,,atatsincos2a22

（5）

tt,,,,,,,,,,（）（）（）（）（）（）（）tfttftdtftdt,,,,,,,,,,,,,,00

0t,,0,t,,,,,,（）（）（）（）fdfd,,,,,,,,,,,,（）,0,,ftt,,0t

tt1sincossincos（）[sinsin

（2）]tttdttd,,,,,，,,,,,,,,002

ttt,，,sinin

（2）tstd,,,022

t1t,,,sincos

（2）tt,024

tt1,,,,,ttttsin[coscos（）]sin242

11.设函数f,g,h均满足当t<

0时恒为零，证明fgtgft,,,（）（）（）（）（）（）fghtfhtght，,,,，,以及

t0令,,tu=fgtfgftugu,,,,,,,,,,（）（）d（）d,,，，，，tu,,,,证明:

0t

tt，，，，,,,,,,,ftugugfgft（）d（）d（）,,ut,,,,00

t,,,hth（）d，，,fgfg，，,（），，，，，，t,,,,0

tt，，，，,,,,，,fhtgh（）d（）d,,,,t,,,,,00

,，,fhtgft（）（）

12.利用卷积定理证明

tFs（）Lftdt[（）],,0s

t,gtftg（）（）,（0）0,,且gtftdt（）（）,,0证明:

设，则,LgtsLgtgsLgt[（）][（）]（0）[（）],,,，则

Lgt[（）]，所以Lgt[（）],s

tFs（）Lftdt[（）],,0ds

13.求下列函数的拉普拉斯逆变换.

2ss，8

（1）Fs（）,Fs（）,

（2）22（4）s，

（1）

（2）ss,,

s1（3）（4）Fs（）,Fs（）,22（4）s，sss

（1）

（2），，

2s,1ss，,21（5）（6Fs（）ln,Fs（）,2s，1ss

（1）,

s21解:

（1）Fs（）,,,

（1）

（2）21ssss,,,,

2111,,,1112ttLLL,,,,,（）2（）（）2eessss,,,,2121

22ss，,8321431,,11FsLLttt（）（）（）sin2cos2,,,,,22222

（2）（4）442（4）42sss，，，

1111（3Fs（）,,,,ssssss

（1）

（2）212

（2），，，，

11,,,12tt故LFs,,，（（））ee22

ss1412,,（4）Fs（）（）,,,,,,,222222（4）4（4）42sss，，，

因为

2,1,Lt（）sin222，s2

所以

1st,,11,,,,LFsLt（（））（）sin222，4（4）4s

sgt，111（）（5）FsduL（）ln（）（）,,,,,,0suut,，,111其中

11,,1ttgtL,,,,（）（）eess，,11

,tttteeee,,FsLL（）（）（）,,,tt

,tttteeee,,sht1,ftLFs（）（（））2,,,,,,ttt

2ss，,21122（6）Fs（）,,,，,22sssss

（1）1

（1）,,,所以

122,,,,1111LFsLLL,,，,（（））（）（）（）2sss,,1

（1）

tttt,,，，,，,tt12e2e2e2e1

14.利用卷积定理证明

st,1Lat[]sin,,22（）2saa，

ssa1,,11,,,LL[]（）2222222，，，（）sasasaa又因为

saLatLat（cos）,（sin）,,2222sasa，，

所以，根据卷积定理

sa11,1Latat（）cossin,,,,2222sasaaa，，

tt111,,,,,,,cossin（）[sinsin

（2）]aatadataatd,,,,,,,00aa2

t,,sinat2a

15.利用卷积定理证明

t212,,ty1Ldy,[]ee,0ss,

（1）π证明:

111,,11,,LL[][],s1,sss

（1）

t212,,ty1Ldy,[]ee,0ss,

（1）π因为

1,111t,,112LtL,,（）,（）es,1sπ

所以，根据卷积定理有

111,,,tt1121,,,1（）ttyty222[]eyeeyeLtdydy,,,,,,,00ss

（1）,πππ

ttt22222令yu,tytuty,,,2eeeeee,,,,,,,dydudy,,,000πππ

16.求下列函数的拉普拉斯逆变换.

11Fs（）,

（1）

（2）Fs（）,2242（4）s，ss，，54

2233ss，，s，2（3）Fs（）,（4）Fs（）,222（45）ss，，

（1）（3）ss，，

（1）

22112（4）14ss，,Fs（）,,,,,222222（4）16（4）8（4）sss，，，21214s,,,,,2221648（4）ss，，

2121411s,,,,111故LFsLLttt（（））（）（）sin2cos2,,,,,2221648（4）168ss，，

1111Fs（）（）,,,4222ssss，，，，54314

（2）:

1112,,（）2223122ss，，

1112,,,111,,LFsLL（（））（）（）222，，3162ss

11,,sinsin2）tt36

ss，，2211,（3）Fs（）（）,,,,22222（45）[

（2）1]2

（2）1ssss，，，，，，

1,,12t故LFstt,,,（（））esin2

2233ssABCD，，Fs（）,,，，，223

（1）（3）13（3）（3）ssssss，，，，，，

113,,,,,,ABCD,,,3442

故

113,3442Fs（）,，，，23ssss，，，，13（3）（3）且

1111,,,（）,（）2,,,,23ssss，，，，3（3）3（3）

113,,,,,13323tttt所以LFstt,,，,,,（（））eee3e442

17.求下列微分方程的解

t,,,,

（1）yyyyy，,,,,23e,（0）0,（0）1

,,,

（2）yyttyy,,，,,,,4sin5cos2,（0）1,（0）2

t,,,,（3）yyytyy,，,,,,222ecos2,（0）（0）0

2t,,,,,,,（4）yyyyy，,,,,e,（0）（0）（0）0

（4）,,,,,,,,（5）yyyyyyy，，,,,,,20,（0）（0）（0）0,（0）1

（1）设

LytYsLytsYsysYs[（）]（）,[（（）]（）（0）（）,,,,,22,,,LytsYssyysYs[（（）]（）（0）（0）（）1,,,,,

方程两边取拉氏变换,得

12sYssYsYs,,，,,,（）12（）3（）s，1

12s，2（23）（）1ssYs，,,，,ss，，11

ss，，22Ys（）,,2

（1）（23）

（1）

（1）（3）ssssss，，,，,，

为Y（s）的三个一级极点,则sss,,,,,1,1,3123

3,1stytLYssYss（）[（）]Re[（）e;

],,,,kk,1

stst

（2）e

（2）ess，,，,,,，Re[;

1]Re[;

1]ss

（1）

（1）（3）

（1）

（1）（3）ssssss，,，，,，st

（2）es，,，,Re[;

3]s

（1）

（1）（3）sss，,，

131,,ttt3,,，,eee488

（2）方程两边同时取拉氏变换,得

1s2sYssYs,，，,,,，,（）2（）45222ss，，12

1s2

（1）（）45

（2）sYss,,,，,,，222ss，，12

452ss，Ys（）,，,222222

（1）

（1）

（1）

（2）

（1）sssss,，,，,

11112s,,，,,,,2（）（）s2222222ssssss,，,，,,111211

2s,,,222ss，，12

1ytLYstt（）[（）]2sincos2,,,,

（3）方程两边取拉氏变换,得

s,12sYssYsYs,,,，,,（）2（）2（）22

（1）1s,，

2

（1）s,2（22）（）ssYs,，,2

（1）1s,，

2

（1）1s,,Ys（）[],,,222[

（1）1]

（1）1ss,，,，

因为由拉氏变换的微分性质知，若L[f（t）]=F（s）,则

LtftFs[（）（）]（）,,,

即

,11,LFstfttLFs[（）]（）（）（）[（）],,,,,,

1,1tLt,,[]esin2s,，

（1）1

2

（1）1s,,,11,LL{}[（）],,222[

（1）1]

（1）1ss,，,，

1t,1,,,,,,（）[]esintLtt2

（1）1s,，

t故有，，ytt,,,esint

（4）方程两边取拉氏变换,设L[y（t）]=Y（s）,得

132,,,sYssysyysYsy,,,,,,，,,,（）（0）（0）（0）（）（0）s,2

13sYssYs,，,,（）（）s,2

111Ys（）,,,22ssssss,，,，2

（1）

（2）

（1）故

113,,,,,12323ttttytLYs,,,，,,,（）[（）]eete3te442

（5）设L[y（t）]=Y（s）,则

LytsYsysYs[（（）]（）（0）（）,,,,

22,,,LytsYssyysYs[（（）]（）（0）（0）（）,,,,,

323,,,,,,LytsYssysyysYs[（（）]（）（0）（0）（0）（）1,,,,,,,,（4）4324,,,,,,LytsYssysysyysYss[（（）]（）（0）（0）（0）（0）（）,,,,,,,,,,,

方程两边取拉氏变换,,得42sYsssYsYs,,，,，,（）2（）（）0

42（21）（）ssYss，，,,

ss1211,Ys（）（）,,,,,,22222

（1）2

（1）21sss，，，

s111,,11,,,,,,,ytLLtt（）[][（）]sin222，，

（1）212ss

18.求下列微分方程组的解

t,,xxy，,,e,

（1）xy（0）（0）1,,,t,yxy，,,,322e,,

（2）

,xygt,,2（）,,,xxyy（0）（0）（0）（0）0,,,,,,,,,xyy,，,0,

（1）设

LxtXsLytYs[（（）]（）,[（（）]（）,,

LxtsXsxsXs[（（）]（）（0）（）1,,,,,,

LytsYsysYs[（（）]（）（0）（）1,,,,,,,

微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得

1,sXsXsYs,,，,,（）1（）（）,,s,1,2,sYsXsYs,,，,,（）13（）2（）,s,1,

得

s,YssXs（）

（1）（）...

（1）,，,,,s,1,21s，,3（）

（2）（）1...

（2）XssYs,,,,，,,ss,,11,

（2）代入

（1），得

ss，13（）

（2）[

（1）（）]XsssXs，,,，,,ss,,11

2sssss，,,，1

（2）12

（1）（）ssXs,，,，,sss,,,111

1t故于是有Xsxt（）（）e...（3）,,s,1

（3）代入

（1），得

11stYssyt（）

（1）（）e,，,,,,,sss,,,111

（2）设

LxtXsLytYsLgtGs[（（）]（）,[（（）]（）,[（（）]（）,,,

,LxtsXsLytsYs[（（）]（）,[（（）]（）,,,,

22,,,,LxtsXsLytsYs[（（）]（）,[（（）]（）,,,,,

方程两边取拉氏变换,得sXssYsGs,,,,（）2（）（）...

（1）,

22，，sXssYsYs,,,，,（）（）（）0...2,

（1）

（2）,,,s得

sYsGs（）（）...（3）,,,2s，1

t,1？

,,,,ytLYsgttgd（）[（）]（）*coscos,,，，t,,,0（3）代入

（1）:

ssXssGsGs,,,,,,（）2[（）]（）2s，1

即:

2221ss,sXsGsGs,,,,,（）

（1）（）（）22ss，，11

21,s12s,,XsGsGs（）（）（）,,,,,,22s，，ss1，,,s，1

,,,,,,,xtLXstgtgtd（）[（）]（12cos）（）（12cos）（）,,,,0

txtgtd（）（12cos）（）,,,,,,,,0

tytgtd（）（）cos（）,,,,,,,,0

19.求下列方程的解

t,

（1）xtxtdt（）（）e23，,,,,,,,0t

（2）yttydt（）（）（）,,,,,,,,0解:

（1）设L[x（t）]=X（s）,方程两边取拉氏变换,得

123XsXs（）（），,,,2sss,1

123,sXs（）[1]，,2ss,1

2（23）

（1）352352,,,，,ssssXs（）,,,,，,3323sssss

2,,,，,xttt（）35

（2）设L[y（t）]=Y（s）,方程两边取拉氏变换,得

1YsLtyt（）（（））,,,2s

11YsYs（）（）,,,22ss1Ys（）,2s,1

111,,,,,,ytLYsLsht（）（（））（）2s1,