复变函数答案Word格式文档下载.docx

1、5. 求下列函数的拉普拉斯变换. t,2t（1）（2） ftt（）esin5,ftlt（）sin,2l t,4t（3）（4）ftt（）1e,ftt（）ecos4,（5）（6 ftut（）（24）,fttt（）5sin23cos2, 12,t2（7） （8） fttt（）32,，ftt（）e, （1）t1ftlttlt（）sin（）sin,22llt1FsLftLltLtlt（）（）（sin）（）sin,22ll112llss,（）2222222222（）（）lsllslsl，5,2tFsLftLt,（2） （）（）（esin5）2s，（2）251ttt（3）（）（）（1e）（1）（e）（e）F

2、sLftLtLLtLt,，,s1111,，,（） 2ssss,1（1）s，4,4t（4） FsLftLt（）（）（ecos4）,2（4）16s，1,2t,（5） ut（24）,0,其他, ,st,FsLftLututdt（）（）（24）=（24）e,0 ,12sts,=e=edt,2s（6） FsLftLttLtLt（）（）（5sin23cos2）5（sin2）3（cos2）,2103ss,53222sss，44413,，,（1）（）1,t222（7） FsLftLt,（）（）（e）3322,ss,（）（）1222（8）FsLftLttLtLtLss（）（）（32）（）3（）2（1）（232）

3、,，,，,，s 6.记，对常数，若，证明 sRe（）ss,LfsFs（）（）,000st0 LfsFsse（）（）,0证明:,ststst,00Lfsftdte（）e（）e,0,（）（）sstsst,00,ftdtftdtFss（）e（）e（）0,00 （）nn7 记，证明: FsLfts（）（t）（）（）,LfsFs（）（）,当n=1时, ，,st, Fsftdt（）（）e,0，,st,Fsftdt（）（）e,0 st,，,，,（）eftst,dttftdtLtft（）e（）,00s,（）nn所以，当n=1时, 显然成立。 FsLfts（）（t）（）（）,（1）1kk,假设，当n=k-1时,

4、 有 FsLfts（）（t）（）（）,现证当n=k时 ，,kst,1（1）k,dtftdt（）（）e,dFs（）,（）k0Fs（）,dsdskst,1,，,（）（）etftkst,dttftdt（）（）e,00,sk,Lfts（t）（）（） 8. 记，如果a为常数,证明: LfsFs（）（）,1s LfatsF（）（）（）,aa设，由定义 LfsFs（）（）,，,udu,stLfatfatdtatutdt（）（）e.（,）,令,0aass,uu，,，,du1aa,fufudu（）e（）e,00aas1,F（）aa 9. 记，证明:,，,ft（）ft（）st,即 ,LFsds（）e（）dtFsd

5、s,s0stt,，,，,stst,Fsdsftdtdsftdsdt（）（）e（）e,0sss，,，,1（）（）ftftstst,ftdtdtL（）ees,00ttt 10.计算下列函数的卷积 （1）（2） 11,tt,t（3）（4）sinsinatat,t,e （5）（6 ,（）（）tft,sinsinatat, t解:（1） 1111,dt,0 t13（2）tttdt,（）, 06（3） ttt,tttttddd,eeeeee,000t,ttt,eeee1dt,0,0（4） tt1atataatdataatd,sinsinsinsin（）coscos（2）,002t1,atatsincos2

6、a22（5） tt,（）（）（）（）（）（）（）tfttftdtftdt,000t,0,t,（）（）（）（）fdfd,（）,0,ftt,0ttt1sincossincos（）sinsin（2）tttdttd,，,002ttt,，,sinin（2）tstd,022t1t,sincos（2）tt,024tt1,ttttsincoscos（）sin242 11.设函数f, g, h均满足当t0时恒为零，证明 fgtgft,（）（）（）（）（）（）fghtfhtght，,，,以及 t0令,tu=fgtfgftugu,（）（）d（）d,，tu,证明: 0ttt，,ftugugfgft（）d（）d（）,u

7、t,00t,hth（）d，,fgfg，,（），t, 0tt，,，,fhtgh（）d（）d,t,00,，,fhtgft（）（）12.利用卷积定理证明 tFs（）Lftdt（）,0s t,gtftg（）（）,（0）0,且gtftdt（）（）,0证明:设，则 ,LgtsLgtgsLgt（）（）（0）（）,，则 ,Lgt（），所以 Lgt（）,stFs（）Lftdt（）,0ds 13. 求下列函数的拉普拉斯逆变换. 2ss，8（1）Fs（）,Fs（）,（2） 22（4）s，（1）（2）ss, s1（3）（4）Fs（）,Fs（）,22（4）s，sss（1）（2）， 2s,1ss，,21（5）（6Fs（）

8、ln,Fs（）,2 s，1ss（1）, s21解:（1）Fs（）,（1）（2）21ssss, 2111,1112ttLLL,（）2（）（）2eessss,2121 22ss，,8321431,11FsLLttt（）（）（）sin2cos2,22222（2）（4）442（4）42sss， 1111（3Fs（）,ssssss（1）（2）212（2）， 11,12tt故LFs,，（）ee22 ss1412,（4）Fs（）（）,222222（4）4（4）42sss， 因为 2,1,Lt（）sin222，s2 所以 1st,11,LFsLt（）（）sin222，4（4）4s ,sgt，111（）（5）F

9、sduL（）ln（）（）,0suut,，,111 其中 11,1tt gtL,（）（）eess，,11,tttteeee, FsLL（）（）（）,tt,tttteeee,sht1, ftLFs（）（）2,ttt2ss，,21122（6）Fs（）,，,22sssss（1）1（1）, 所以 122,1111LFsLLL,，,（）（）（）（）2sss,1（1）tttt,，,，,tt12e2e2e2e1 14.利用卷积定理证明 st,1Latsin,22（）2saa， ssa1,11,LL（）2222222，（）sasasaa 又因为 sa LatLat（cos）,（sin）,2222sasa，所以，

10、根据卷积定理 sa11,1Latat（）cossin,2222sasaaa，tt111,cossin（）sinsin（2）aatadataatd,00aa2t,sinat2a 15.利用卷积定理证明 t212,ty1Ldy,ee,0ss,（1） 证明:111,11,LL,s1,sss（1） t212,ty1Ldy,ee,0ss,（1） 因为 1,111t,112LtL, （）,（）es,1s所以，根据卷积定理有 111,tt1121,1（）ttyty222eyeeyeLtdydy,00ss（1）,ttt22222令yu,tytuty,2eeeeee,dydudy,00016. 求下列函数的拉普

11、拉斯逆变换. 11Fs（）,（1）（2） Fs（）,2242（4）s，ss，54 2233ss，s，2（3）Fs（）,（4）Fs（）,222 （45）ss，（1）（3）ss，（1） 22112（4）14ss，,Fs（）,222222（4）16（4）8（4）sss， 21214s,2221648（4）ss，2121411s,111故 LFsLLttt（）（）（）sin2cos2,2221648（4）168ss，1111Fs（）（）,4222ssss，54314（2）:1112 ,（）2223122ss，1112,111,LFsLL（）（）（）222，3162ss 11,sinsin2）tt36s

12、s，2211,（3）Fs（）（）,22222（45）（2）12（2）1ssss， 1,12t故 LFstt,（）esin22233ssABCD，Fs（）,，223（1）（3）13（3）（3）ssssss，113 ,ABCD,3442故 113,3442Fs（）,，23ssss，13（3）（3） 且 1111,（）,（）2,23ssss，3（3）3（3）113,13323tttt所以LFstt,，,（）eee3e442 17.求下列微分方程的解 ,t,（1）yyyyy，,23e,（0）0,（0）1,（2） yyttyy,，,4sin5cos2,（0）1,（0）2t,（3） yyytyy,，,22

13、2ecos2,（0）（0）02t,（4）yyyyy，,e,（0）（0）（0）0（4）,（5） yyyyyyy，,20,（0）（0）（0）0,（0）1 （1）设 ,LytYsLytsYsysYs（）（）,（）（）（0）（）, 22,LytsYssyysYs（）（）（0）（0）（）1,方程两边取拉氏变换,得 12 sYssYsYs,，,（）12（）3（）s，112s，2 （23）（）1ssYs，,，,ss，11ss，22 Ys（）,2（1）（23）（1）（1）（3）ssssss，,，,，为Y（s）的三个一级极点,则 sss,1,1,31233,1stytLYssYss（）（）Re（）e;,kk,1

14、stst（2）e（2）ess，,，,，Re;1Re;1ss（1）（1）（3）（1）（1）（3）ssssss，,，,， st（2）es，,，,Re;3s（1）（1）（3）sss，,，131,ttt3,，,eee488（2） 方程两边同时取拉氏变换,得 1s2 sYssYs,，,，,（）2（）45222ss，121s2（1）（）45（2）sYss,，,，222ss，12452ss，Ys（）,，,222222（1）（1）（1）（2）（1）sssss,，,，, 11112s,，,2（）（）s2222222ssssss,，,，,1112112s,222ss，12,1 ytLYstt（）（）2sincos

15、2,（3）方程两边取拉氏变换,得 s,12 sYssYsYs,，,（）2（）2（）22（1）1s,，2（1）s,2（22）（）ssYs,，,2（1）1s,，2（1）1s,Ys（）, 222（1）1（1）1ss,，,，因为由拉氏变换的微分性质知，若Lf（t）=F（s）,则 ,LtftFs（）（）（）,即 ,11,LFstfttLFs（）（）（）（）（）,1,1tLt, esin2s,，（1）12（1）1s,11,LL（）,222（1）1（1）1ss,，,，1t,1,（）esintLtt2（1）1s,， t故有 ，ytt,esint（4）方程两边取拉氏变换,设Ly（t）=Y（s）,得 132,sY

16、ssysyysYsy,，,（）（0）（0）（0）（）（0）s,213sYssYs,，,（）（）s,2111 Ys（）,22ssssss,，,，2（1）（2）（1）故 113,12323tttt ytLYs,，,（）（）eete3te442（5）设Ly（t）=Y（s）,则 ,LytsYsysYs（）（）（0）（）,22,LytsYssyysYs（）（）（0）（0）（）,323,LytsYssysyysYs（）（）（0）（0）（0）（）1, （4）4324,LytsYssysysyysYss（）（）（0）（0）（0）（0）（）,方程两边取拉氏变换,得 42sYsssYsYs,，,，,（）2（）（）

17、042（21）（）ssYss，,ss1211,Ys（）（）,22222（1）2（1）21sss，s111,11, ytLLtt（）（）sin222，（1）212ss18.求下列微分方程组的解 t,xxy，,e,（1）xy（0）（0）1, t,yxy，,322e,（2） ,xygt,2（）,xxyy（0）（0）（0）（0）0, ,xyy,，,0,（1） 设 LxtXsLytYs（）（）,（）（）,LxtsXsxsXs（）（）（0）（）1,LytsYsysYs（）（）（0）（）1, 微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得 1,sXsXsYs,，,（）1（）（）,s,1, 2,sYsXsYs,，,（

18、）13（）2（）,s,1,得 s,YssXs（）（1）（）.（1）,，,s,1, 21s，,3（）（2）（）1.（2）XssYs,，,ss,11,（2）代入（1），得 ss，13（）（2）（1）（）XsssXs，,，,ss,112sssss，,，1（2）12（1）（）ssXs,，,，, sss,1111t故于是有Xsxt（）（）e.（3）,s,1（3）代入（1），得 11st Yssyt（）（1）（）e,，,sss,111（2）设 LxtXsLytYsLgtGs（）（）,（）（）,（）（）,LxtsXsLytsYs（）（）,（）（）,22 ,LxtsXsLytsYs（）（）,（）（）,方程两边

19、取拉氏变换,得 sXssYsGs,（）2（）（）.（1）,22，sXssYsYs,，,（）（）（）0.2,（1）（2）,s得 sYsGs（）（）.（3）,2s，1 t,1？,ytLYsgttgd（）（）（）*coscos,，t,0 （3）代入（1）:ssXssGsGs,（）2（）（）2s，1即:22 21ss,sXsGsGs,（）（1）（）（）22ss，1121,s12s,XsGsGs（）（）（）,22s，ss1，,s，1,xtLXstgtgtd（）（）（12cos）（）（12cos）（）,0 txtgtd（）（12cos）（）,0tytgtd（）（）cos（）,0 19.求下列方程的解 t,（1）xtxtdt（）（）e23，,0 t（2）yttydt（）（）（）,0 解:（1）设Lx（t）=X（s）, 方程两边取拉氏变换,得 123XsXs（）（），,2sss,1123,sXs（）1，,2ss,1 2（23）（1）352352,，,ssssXs（）,，,3323sssss2,，,xttt（）35（2）设Ly（t）=Y（s）, 方程两边取拉氏变换,得 1YsLtyt（）（）,2s11YsYs（）（）,22ss 1Ys（）,2s,1111,ytLYsLsht（）（）（）2s1,