抛物线及其标准方程Word文件下载.docx

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（解决办法：

通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；

通过一些例题加深对标准方程的认识．）

2．难点：

抛物线的标准方程的推导．

由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．）

3．疑点：

抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制．

向学生加以说明．）

三、活动设计

提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．

四、教学过程

（一）导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：

同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；

在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：

在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：

如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

（二）抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；

把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；

用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

3．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

（三）抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0）．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：

（由第一组同学完成，请一优等生演板．）

以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系（图2-

30）．设定点F（p，0），动点M的坐标为（x，y），过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：

y2=2px-p2（p＞0）．

方案2：

（由第二组同学完成，请一优等生演板）

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系（图2-31）．设动点M的坐标为（x，y），且设直线l的方程为x=-p，定点F（0，0），过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

化简得：

y2=2px+p2（p＞0）．

方案3：

（由第三、四组同学完成，请一优等生演板．）

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图2-32）．

抛物线上的点M（x，y）到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

y2=2px（p＞0）．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：

方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：

一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形（列表如下）：

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；

并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：

当对称轴为x轴时，方程等号右端为±

2px，相应地左端为y2；

当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±

2py，相应地左端为x2．同时注意：

当焦点在正半轴上时，取正号；

当焦点在负半轴上时，取负号．

（四）四种标准方程的应用

例题：

（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程．

方程是x2=-8y．

练习：

根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是F（3，0）；

（3）焦点到准线的距离是2．

由三名学生演板，教师予以订正．答案是：

（1）y2=12x；

（2）y2=-x；

（3）y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．

这时，教师小结一下：

由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；

若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．

（五）小结

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．

五、布置作业

到准线的距离是多少？

点M的横坐标是多少？

2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）x2=2y；

（2）4x2+3y=0；

（3）2y2+5x=0；

（4）y2-6x=0．

3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

（2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p（-6，-3）．

4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

作业答案：

3．

（1）y2=24x，y2=-2x

（2）x2=-12y（图略）

4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1（0，-3），F2（4，0），从而可得抛物线方程为x2=-12y或y2=16x

六、板书设计