河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练Word格式文档下载.docx

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—（/DBO-/OABH/ABD=180°

=

BD=,3,/AM=90°

，理由如下:

在Rt△OCD中,/DC（=30°

/DO=90°

同理，得OB=tan30

•••/AO=/CO=90°

•/AO（=BOD

•△AOC^BOD

•

OD=.3,/CAO/DBO.

AC=

…BD=

•/AM=180°

—/CAO-/OA—MBA180°

—（/DA—/MB—/OBD^180°

—90°

=90°

（3）拓展延伸

①点C与点M重合时，如解图①，

同理得△AO&

ABOD

•/AM=90°

侖,3,

设BD=x，贝UAC=•3x,

在Rt△COD中,

•••/0C空30°

OD=1,•••CD=2,

BC=x—2.

在Rt△AOB中，/OA=30°

OB='

7.

•AB=2OB=2：

7,

在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC+BC=Ah,

即（：

3x）2+（x—2）2=（2：

7）2,

解得xi=3,X2=—2（舍去），

•AC=3=：

.f3;

②点C与点M重合时，如解图②，同理得：

/AM=90°

BD=；

'

3,

设BD=x，贝UAC=_：

3x,

在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC+BC=AB"

即（:

3x）2+（x+2）2=（2；

7）2

解得xi=—3,解得x2=2（舍去）.

•AC=2\3.

综上所述，AC的长为3'

3或2：

3.

图①

图②

例1题解图

:

针对训媒©

1.（2016-河南）

（1）发现

如图①，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.

填空：

当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a,b的

式子表示）•

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=1，如图②所示，分别以ABAC为边，作等边三角形ABD和等边

三角形ACE连接CDBE.

1请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

2直接写出线段BE长的最大值.

⑶拓展

0），点B的坐标为（5,0），点P为线段AB外一动点,

AM长的最大值及此时点P的坐标.

如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,

且PA=2,PgPB,ZBP昨90°

请直接写出线段

备用图

2.（2015-河南）如图①，在Rt△ABC中，/B=90°

BC=2AB=8，点D,E分别是边BC,AC的中点，连

（X.

接DE.将厶EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为

（2）拓展探究

试判断：

当O°

Wa<

360°

时,

AE

的大小有无变化？

请仅就图②的情形给出证明.

BD（3）解决问题

当厶EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.

3.（2014・河南）

如图①，△ACB和厶DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE.

1/AEB的度数为;

2线段ADBE之间的数量关系为.

如图②，△ACB^n^DCE均为等腰直角三角形，/ACB=ZDCE=90°

点A,DE在同一直线上，DCE中DE边上的高，连接BE,请判断/AEB的度数及线段CMAE,BE之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题

如图③，在正方形ABCD中,CD=〔2,若点P满足PD=1,且/BPD=90°

请直接写出点A到BP的距离.

4.（2018•南阳二模）在厶ABC中，/ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°

，得到AE,连接EC.

（1）操作发现

若AB=AC/BAC=90°

，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD

的位置关系和数量关系是

（2）猜想论证

在

（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断

（1）中结论是否成立，并证明你的

判断.

（3）拓展延伸

如图③，若AB^AC/BAO90°

，点D在线段BC上运动，试探究：

当锐角/ACB等于度时，线

段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C,E重合除外）？

此时若作DF丄AD交线段CE于点F,且当AC=3匹

时，请直接写出线段CF的长的最大值是.

5.已知，如图①，△ABC△AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点BE重合），/BAC=ZAED=90°

O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.

⑵类比延伸

（3）拓展探究

△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长.

类型二图形面积关系问题

W^.-（2017•河南）如图①，在Rt△ABC中，/A=90°

AB=AC点D,E分别在边AB,AC上,A»

AE,连接DC点M,P,N分别为DE,DCBC的中点.

（1）观察猜想

图①中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;

⑵探究证明

把厶ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MNBDCE,判断△PMN的形状，并说明理由；

把厶ADE绕A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值.

a

NCl

甘

NC

例2题图

11

【分析】⑴利用三角形的中位线定理得出pg2°

Epn^尹D,进而判断出BD=CE即可得出结论，再

利用三角形的中位线定理得出PM/CE继而得出/DPM^ZDCA最后用互余即可得出结论；

⑵先判断出厶ABD^AACE得出BD=CE同⑴的方法得出PMkqBDPN^qBD即可得出PMkPN,同⑴

的方法即可得出结论；

⑶先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大=A腑AN,最后用面积公式即可得出结论.

（1）•••点P,N是BC,CD的中点,

1

•••PN//BDPN=-BD.

〜2

•••点P,M是CDDE的中点，

•PM/CEPMI=qCE.

•/AB=AC,AD=AE,

•BD=CE

•PM=PN.

•/PN//BD

•/DPN=ZADC

•/PM/CE

•/DP=/DCA.

•••/BAC=90°

•/ADCFZACD=90°

•/MPN=ZDPMMDPN=ZDCAbZADC=90°

•••PMLPN

⑵由旋转知，/BAD=ZCAE

•/AB=AC,A»

AE,

•△ABD^AACE（SAS）

•••/ABD=ZACEBD=CE.

同⑴的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=尹D,

pg2CE

•PMkPN

•••△PMN是等腰三角形，

同⑴的方法得，PM/CE

•••/DPM=/DCE

同⑴的方法得，PN//BD

•••/PNC=ZDBC.

•••/DPN=ZDCBFZPNC=ZDCBHZDBC

•••/MPN=ZDPMkZDPN=ZDCEbZDCBFZDBC=ZBCEFZDBC=ZACBFZACEFZDBC=ZACBFZABD+ZDBC=ZACBFZABC.

•••/ACBFZABC=90°

•••/MPN=90°

•△PMN是等腰直角三角形，

8NCl

例2题解图

（3）如解图，同

（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形,

•••当MN最大时，△PMN的面积最大，

•DE//BC且DE在顶点A上面，

MN最大=AWAN

连接AMAN

在厶ADE中，AD=AE=4,/DAE=90°

•••AMk22

在Rt△ABC中，AB=AC=10,ANk5-'

2,

•MN最大=2:

2+5,：

2=7:

121121-249

△pmn最大=2^gMNh4X（7、；

2）=—.

［针祝II练©

=30

如图②，固定△ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

1线段DE与AC的位置关系是;

2设△BDC的面积为$,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是.

（2）猜想论证

当厶DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想

（1）中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作

出了△BDC和厶AEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想.

已知/ABC=60°

，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE//AB交BC于点E（如图④）.若在射线BA上存

在点F,使S^DCF=S^BDE,请直接写出相应的BF的长.

图①图②

2.已知Rt△ABC中，BC=AC,/C=90°

D为AB边的中点，/ED「90°

将/EDF绕点D旋转，它的两边分别交ACCB（或它们的延长线）于E,F.当/EDF绕点D旋转到DELAC于E时，如图①所示，试证明

S^def+&

CEF=•Saabc・

（1）当/EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？

若成立，请说明理由；

若

不成立，试说明理由.

⑵直接写出图③中，&

DEF,&

CEF与SUBC之间的数量关系.

图①图②图③

3.（2018-郑州模拟）如图①所示，将两个正方形ABCD^正方形CGFE如图所示放置，连接DE,BG.

（1）图中/DC曰/BCG=°

;

设厶DCE的面积为Si,ABCG的面积为S,则S与S的数量关系为

猜想论证：

⑵如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG连接DEBG设厶DCE的面积为

S,ABCG的面积为S，猜想Si和S2的数量关系，并加以证明；

⑶如图③所示，在△ABC中，AB=AC=10cm,/B=30°

，把△ABC沿AC翻折得到厶AEC过点A作AD平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点巳使厶ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长.

4.（2018•驻马店一模）如图①，△ABC与厶CDE都是等腰直角三角形，直角边AC,CD在同一条直线上，

点M,N分别是斜边AB,DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD,PM，PN,MN.

图①中，PM与PN的数量关系是，位置关系是；

将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转a（0°

<

a<

90°

），得到图②，AE与MPBD分别交于点GH

判断APM”的形状，并说明理由；

把厶CDE绕点C任意旋转，若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN面积的最大值.

参考答案

类型一

针对训练

1解：

⑴•••点A为线段BC外一动点，且BOa,AB=b,

•••当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b.

⑵①CD=BE

理由：

•••△ABD与厶ACE是等边三角形，

•AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°

•••/BADbZBAC=ZCABFZBAC即/CAD=ZEAB.

AD=AB

在^。

人。

和厶EAB中,/CAD=ZEAB,

AC=AE

•△CAD^AEAB•-CD=BE.

②•••线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，

由

（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

•线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=4;

⑶•/将厶APM绕着点P顺时针旋转90°

得到△PBN连接AN,如解图①，

则厶APN是等腰直角三角形，

PN=PA=2,BN=AM.

•••点A的坐标为（2,0），点B的坐标为（5,0）,

•OA=2,OB=5,•AB=3,

•••线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，

•••当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值,最大值为AB+AN.

•/AN='

2AP=2'

•线段AM的长最大值为2'

2+3.

如解图②，过点P作PELx轴于点E.

•••△APN是等腰直角三角形，

ppAE=.'

•OBBO-AB—AE=5—3-：

2=2—；

•P（2—、2：

2）•

第1题解图

2•解：

⑴①当a=0°

时，

•/在Rt△ABC中，/B=90°

•AO■,aB'

+bC=（8-2）2+82=45.

•••点D、E分别是边BCAC的中点，

•AE=4.5—2=2\-5,BD=8—2=4,

.ae=2砺_V5

…BDT4=2.

②如解图①，当a=180°

得可得AB//DE

ACBC

••,,,

AE=BD，

•AE=AC=4\/5\[5

…BETBC=~8~=亍

ae

⑵当0°

WaW360°

时，BD勺大小没有变化.

•••/ECD=ZACB

•••/ECA=ZDCB.

EC=AC=^5'

DCBC2，

•△ECMADCB

•AEEC亜

•BDTDcT~2.

（3）①如解图②,

•/AC=45,CD=4,CDLAD

•AD=AC—CD=（4,5）2-42=80-16=8.

•/AD=BC,AB=DC/B=90°

•四边形ABCD是矩形，

•-BD=AC=4』5.

③如解图③，连接BD过点D作AC的垂线交AC于点Q过点B作AC的垂线交AC于点P,

•/AC=45，CD=4，CDLAD

•AD=AC—CD=.（4,5）2-42=80-16=8,

111

•DE=2AB=2X（8十2）=2X4=2,

•AE=AD-DE=8-2=6,

由⑵，可得

AE=込

BD=2,

•••BD=

6_12寸5,55

"

2"

综上所述，BD的长为45或一^―.

3.解：

（1）•••△ACB和厶DCE均为等边三角形,

•CA=CBCD=CE/ACB=ZDCE=60°

•••/ACD=ZBCE.

在厶ACD和厶BCE中,

AC=BC

/ACD=ZBCE,

CD=CE

•△ACD^ABCE（SAS）ADC=ZBEC.

•/△DCE为等边三角形，•/CDE=ZCED=60°

•••点A,D,E在同一直线上，•/ADC=120°

•••/BEC=120°

•••/AEB=ZBEC-/CED=60°

.

②•••△ACD^ABCE•-AD=BE.

（2）/AEB=90°

AE=BE+2CM.

理由如下：

•••△ACB和厶DCE均为等腰直角三角形，

•CA=CBCD=CE,/ACB=/DCE=90°

•••/ACD=/BCE.

在厶ACD和厶BCE中，

CA=CB

/ACD=/BCE,

•△ACD^ABCE（SAS）

•AD=BE,/ADC=/BEC.

•/△DCE为等腰直角三角形，•/CDE=/CED=45

•••点A,D,E在同一直线上，

•/ADC=135°

•/BEC=135°

•/AEB=/BEC-/CED=90°

•/CD=CECMLDE•-DM=ME.

•••/DCE=90°

•DM=ME=CM

•AE=AD+DE=BE+2CM.

⑶•/PD=1,「.点P在以点D为圆心，1为半径的圆上.

•••/BPD=90°

「.点P在以BD为直径的圆上，

•••点P是这两圆的交点.

①当点P在如解图①所示位置时，

连接PD,PBPA作AHLBP,垂足为H,

过点A作AELAP,交BP于点E.

•••四边形ABCD是正方形，

•••/ADB=45°

AB=AD=DC=BC=-'

2,ZBAD=90°

•BD=2.vDP=1,「.BP='

•••/BPD=ZBAD=90°

•••点A、P、DB在以BD为直径的圆上，

•••/APB=ZADB=45°

•△PAE是等腰直角三角形.

又•••△BAD是等腰直角三角形，点B,E,P共线，AHLBP,

•••由

（2）中的结论可得：

BP=2AH+PD,••,;

3=2AH+1,•AH=

②当点P在如解图②所示位置时，

连接PDPBPA作AHLBP,垂足为H,过点A作AE!

AP,交PB的延长线于点E,同理可得：

BP=2AH-PD,

•：

3=2AH-1,

曲+1

•-AH=—.

综上所述，点A到BP的距离为送二^或.

第3题解图

4•解：

⑴①TAB=AC,/BAC=90°

线段AD绕点A逆时针旋转90°

得到AE

•••AD=AE,ZBAD=ZCAE

•••△BAD^ACAE

•CE=BD,/ACE=ZB,

•••/BCE=ZBCAbZACE=90°

•线段CEBD之间的位置关系和数量关系为CE=BD,CELBD

⑵

（1）中的结论仍然成立•证明如下：

如解图①，

•••线段AD绕点A逆时针旋转90°

得到AE,

•AE=AD,/DAE=90°

•/AB=AC,/BAC=90°

•••/CAE=ZBAD

•△ACE^AABD

•••/BCE=90°

过A作AMLBC于M,过点E作ENLMA交MA的延长线于N,如解图②.

•••/DAE=90°

AD=AE,

•••/NAE=ZADM易证得Rt△AMD^Rt△ENA

•NE=AM.

•••CELBD即CELMCMCE90°

•四边形MCE为矩形，

•NE=MC•-AM=MC

•••/ACB=45°

••四边形MCE为矩形，

•••Rt△AMORt△DCF

MDAM

CF=DC,设DG=X，

•••在Rt△AMC中，/ACB=45°

AC=3\2,

3—x3

•-AM=CM=3,MD=3—x,•

CFx

121323

••CF=——x+x=——（x—）+

332，4'

•••当x=2时，CF有最大值，最大值为4.

3

故答案为45°

4；

第4题解图

5•解：

（1）①•/△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形,

•AD=BC.

TO为BC的中点，F为AD的中点，

•AF=OC.

•••/BAC=ZAED=90°

AB=AC,AE=DE

•••/DAE=ZCBA=45°

•AD//BC

•四边形AFOC是平行四边形，

故答案：

匚

BAO=ZCAO=45°

/DAE=45

•/DAE=ZCAO.

•/ABAC,•••AF=AO

AF_AO

…苕AC

•△AFSAAEC

.OFAO'

2

…ecTACT~2；

乎.

在等腰直角△ADE中，F为AD的中点,

在等腰直角△ABC中，O为BC的中点,

如解图①，连接AO

/BAO=ZCAO45

•••/DAT45°

•••/DAT/CAO即/DAO=ZCAE.

•/AEtAC,

•AF=AQ

AFAO

…荷