集合的概念及运算Word文档格式.docx

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符号

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

4.集合的运算性质

并集的性质：

A∪Ø

＝A；

A∪A＝A；

A∪B＝B∪A；

A∪B＝A

⇔B⊆A.

交集的性质：

A∩Ø

＝Ø

；

A∩A＝A；

A∩B＝B∩A；

A∩B＝A

⇔A⊆B.

补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；

A∩（∁UA）＝Ø

∁U（∁UA）＝A.

1．判断正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）集合{x|y＝

}与集合{y|y＝

}是同一个集合．（　　）

（2）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（3）已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝

.（　　）

（4）含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.（　　）

（5）若A＝{0,1}，B＝{（x，y）|y＝x＋1}，则A⊆B.（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√　（5）×

2．（2015·

新课标全国卷Ⅱ）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<

0}，则A∩B＝（　　）

A．{－1,0}B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{0,1,2}

[解析]　由题意知B＝{x|－2<

x<

1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.

[答案]　A

3．（2016·

北京东城期末统测）已知集合A＝{x|0<

2}，B＝{x|（x－1）（x＋1）>

0}，则A∪B＝（　　）

A．（0,1）

B．（1,2）

C．（－∞，－1）∪（0，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

[解析]　由已知条件可得B＝{x|（x－1）（x＋1）>

0}＝{x|x>

1或x<

－1}，∴A∪B＝{x|0<

2}∪{x|x>

－1}＝{x|x>

0或x<

－1}，故选C.

[答案]　C

4．（2015·

济南3月模拟）已知集合A＝{x||x－1|<

2}，B＝{x|y＝lg（x2＋x）}，设U＝R，则A∩（∁UB）等于（　　）

A．[3，＋∞）B．（－1,0]

C．（3，＋∞）D．[－1,0]

[解析]　解不等式|x－1|<

2得－1<

3，所以A＝{x|－1<

3}．要使函数y＝lg（x2＋x）有意义，须x2＋x>

0，解得x<

－1或x>

0，所以B＝{x|x<

0}，∁UB＝{x|－1≤x≤0}，所以A∩（∁UB）＝（－1,0]，故选B.

[答案]　B

5．（2015·

东北三省四市第二次联考）设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为．

[解析]　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素．

[答案]　6

考点一　集合的基本概念

1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；

另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．

2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．

加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

（1）（2016·

银川质检）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3

C．5D．9

（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为．

[解题指导]　切入点：

集合中元素的特征；

关键点：

集合中元素的互异性．

[解析]　

（1）逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；

x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；

x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．

（2）因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，

即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

因为当m＝－

时，m＋2＝

≠3，符合题意．所以m＝－

.

[答案]　

（1）C　

（2）－

（1）用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；

（2）要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．

对点训练

1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A．4B．2

C．0D．0或4

[解析]　由题意得，ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；

当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4（a＝0不合题意舍去），故选A.

2．已知集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是（　　）

A．x＋y∈AB．x－y∈A

C．xy∈AD．

∈A

[解析]　由集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}（即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式），可得1＝02＋12,2＝12＋12，所以x＝1∈A，y＝2∈A，但1＋2＝3∉A，故A.“x＋y∈A”不成立；

又1－2＝－1∉A，故B.“x－y∈A”不成立；

又

∉A，故D.“

∈A”不成立．故选C.

3．A、B是两个集合，A＝{y|y＝x2－2}，B＝{－3,1，y}，其中y∈A，则y的取值集合是．

[解析]　因为B是一个集合，由集合元素的互异性可知y≠－3且y≠1，A是函数y＝x2－2的值域[－2，＋∞），从而y的取值集合就是{y|y≥－2且y≠1}．

[答案]　{y|y≥－2且y≠1}

考点二　集合间的基本关系

判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想（借助数轴，韦恩图及函数图象等）解决．

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．

（1）（2015·

皖南八校联考）已知R表示实数集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>

0}，则下列结论正确的是

（　　）

A．M⊆NB．M⊆∁RN

C．∁RM⊆ND．∁RN⊆M

（2）（2015·

郑州模拟）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．

子集的定义；

含有字母参数时，应对Ø

关注．

[解析]　

（1）集合N＝{x|x2－2x－3>

3或x<

－1}，所以∁RN＝{x|－1≤x≤3}，又M＝{x|0≤x≤2}，所以M⊆∁RN，故选B.

（2）当m＋1>

2m－1，即m<

2时，B＝Ø

，

满足B⊆A；

若B≠Ø

，且满足B⊆A，如图所示，则

即

∴2≤m≤3.

故m<

2或2≤m≤3，即m的取值范围为{m|m≤3}．

[答案]　

（1）B　

（2）{m|m≤3}

（1）判断两集合的关系常有两种方法：

一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；

二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；

（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，

进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析；

（3）B为A的子集，不要漏掉B＝Ø

时的情况．

1．（2015·

重庆卷）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则

A．A＝BB．A∩B＝Ø

C．ABD．BA

[解析]　∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴BA.

[答案]　D

2．（2016·

合肥模拟）已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，若S⊆P，则实数a的取值组成的集合是

A.

B．

C.

D．

[解析]　由题意得，P＝{－3,2}．

当a＝0时，S＝Ø

，满足S⊆P；

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－

为满足S⊆P，可使－

＝－3，或－

＝2，

即a＝

，或a＝－

故所求集合为

南充调研）已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是．

[解析]　集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是（－∞，－2]．

[答案]　（－∞，－2]

考点三　集合的基本运算

在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．

韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

天津卷）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩（∁UB）＝（　　）

A．{2,5}B．{3,6}

C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}

（2）已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝.

集合的交、并、补的概念；

化简集合，准确运算．

[解析]　

（1）先求得集合B的补集，再进行交集运算．由题意得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

（2）y＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，

y＝－x2＋2x＋6＝－（x－1）2＋7≤7，

∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，

故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．

[答案]　

（1）A　

（2）{y|－1≤y≤7}

[拓展探究]　

（1）在例3

（2）中，若集合A变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B.

（2）在例3

（2）中，若集合A、B变为：

A＝{（x，y）|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.

[解]　

（1）因A中元素是函数自变量，则A＝R，

而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．

（2）由

⇒x2－2x－3＝0，

解得x＝3或x＝－1.

于是，

或

故A∩B＝{（3,3），（－1,3）}．

考点四　与集合有关的新定义问题

与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键．

分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中，是破解新定义型试题的关键所在．

（2016·

南昌质检）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：

①X属于τ，Ø

属于τ；

②τ中任意多个元素的并集属于τ；

③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

（1）τ＝{Ø

，{a}，{c}，{a，b，c}}

（2）τ＝{Ø

，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}

（3）τ＝{Ø

，{a}，{a，b}，{a，c}}

（4）τ＝{Ø

，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}}

其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．

拓扑的概念；

从概念出发解决问题．

[解析]　

（1）τ＝{Ø

，{a}，{c}，{a，b，c}}，而{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故

（1）不是集合X上的拓扑；

（2）满足：

属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此

（2）是集合X上的拓扑；

（3）{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故（3）不是集合X上的拓扑；

（4）满足：

属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此（4）是集合X上的拓扑．

[答案]　

（2）（4）

解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．

对于任意两个正整数m，n，定义运算（用⊕表示运算符号）：

当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；

当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×

n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×

4＝12.在上述定义中，集合M＝{（a，b）|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有个．

[解析]　m，n同奇同偶时有11组：

（1,11），（2,10），…，（11,1）；

m，n一奇一偶时有4组：

（1,12），（12,1），（3,4），（4,3）．

[答案]　15

———————方法规律总结————————

[方法技巧]

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；

对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．

[易错点睛]

1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

　　　　　　　　　　课时跟踪训练

（一）

一、选择题

1．集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝

，0≤x≤4}，则A∩（∁RB）＝

A．[－3,2]B．[－2,0）∪（0,3]

C．[－3,0]D．[－3,0）

[解析]　由题知A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{y|y＝

，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，所以∁RB＝{x|x>

2或x<

0}，所以A∩（∁RB）＝{x|－3≤x<

0}，所以选D.

石家庄一模）若已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5,7}，P＝M∩N，则集合P的子集个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

[解析]　∵P＝{1,3}，∴集合P的子集个数为4，故选C.

3．（2015·

浙江卷）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<

x≤2}，则（∁RP）∩Q＝（　　）

A．[0,1）B．（0,2]

C．（1,2）D．[1,2]

[解析]　先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁RP＝{x|0<

2}＝（0,2）．又Q＝{x|1<

x≤2}＝（1,2]，所以（∁RP）∩Q＝（1,2）．

宁波二模）设全集U＝R，A＝{x|x（x＋3）<

0}，B＝{x|x<

－1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|－3<

－1}

B．{x|－3<

0}

C．{x|－1≤x<

D．{x|x<

－3}

[解析]　因为A＝{x|x（x＋3）<

0}＝{x|－3<

0}，∁UB＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩（∁UB），所以A∩（∁UB）＝{x|－1≤x<

0}，故选C.

山西四校联考）设U＝R，A＝{x|y＝x

}，B＝{y|y＝－x2}，则A∩（∁UB）＝（　　）

A．Ø

B．R

C．{x|x>

0}D．{0}

[解析]　∵A＝{x|y＝x

}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝－x2}＝{y|y≤0}，∴∁UB＝{y|y>

0}，从而有A∩（∁UB）＝{x|x>

0}．

6．（2016·

唐山统考）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|（x＋2）·

（x－1）<

0}，则（　　）

A．A∩B＝Ø

B．A∪B＝U

C．∁UB⊆AD．∁UA⊆B

[解析]　∵B＝{x|（x＋2）（x－1）<

0}，∴B＝{x|－2<

1}，∵A＝{x|x≥1}，∴A∩B＝Ø

7．（2015·

临沂二检）已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（　　）

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3

[解析]　由A∪B＝A，可得B⊆A，则m＝3或m＝

，得m＝3或0或1.经检验m＝1时，集合A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，显然不成立．综上有m＝0或3，故选B.

8．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，x<

y，x＋y∈A}，则集合B中的元素个数为（　　）

[解析]　当x＝1时，y＝2或3或4；

当x＝2时，y＝3，所以集合B中的元素个数为4.

9．（2015·

沈阳质量监测

（二））已知非空集合A，B，全集U＝A∪B，集合M＝A∩B，集合N＝（∁UB）∪（∁UA），则（　　）

A．M∪N＝MB．M∩N＝Ø

C．M＝ND．M⊆N

[解析]　因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn图辅助解题．作出满足题意的Venn图，如图所示，容易知道M∩N＝Ø

，故选B.

10．设集合A＝{x|x2＋2x－3>

0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>

0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）

D．（1，＋∞）

[解析]　A＝{x|x2＋2x－3>

－3}，因为函数y＝f（x）＝x2－2ax－1图象的对称轴为x＝a>

0，f（0）＝－1<

0，根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f

（2）≤0且f（3）>

0，即

所以

≤a<

二、填空题

11．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为．

[解析]　若a＝4，则a2＝16∉（A∪B），所以a＝4不符合要求；

若a2＝4，则a＝±

2，又－2∉（A∪B），所以a＝2.

[答案]　2

12．已知集合A＝{（x，y）|y＝

}，B＝{（x，y）|y＝x＋m}，且A∩B≠Ø

，则实数m的取值范围是．

[解析]　集合A表示以原点为圆心，7为半径的圆在x轴及其上方的部分，A∩B≠Ø

，表示直线y＝x＋m与半圆有交点，作出示意图可得实数m的取值范围是[－7，7

]．

[答案]　[－7,7

]

13．（2015·

长沙模拟）已知集合A＝{x|x2＋（a＋2）x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>

0，x∈R}，若A∩B＝Ø

，则a的取值范围是．

[解析]　①当A中的元素为非正数时，A∩B＝Ø

，即方程x2＋（a＋2）x＋1＝0只有非正数解，

解得a≥0；

②当A＝Ø

时，Δ＝（a＋2）2－4<

0，解得－4<

a<

0.

综上，a>

－4.

所以a的取值范围是（－4，＋∞）．

[答案]　（－4，＋∞）

三、解答题

14．（2015·

杭州学君中学模拟）已知集合A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中m≠0，且A＝B，求q的值．

[解]　由A＝B可知，

（1）

或

（2）

解

（1）得q＝1，解

（2）得q＝1或q＝－

又因为当q＝1时，m＝mq＝mq2，不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以q＝－

15．（2016·

江苏四市调研）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

[解]　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）∵A∩B＝[0,3]，∴

∴m＝2.

（2）∁RB＝{x|x<

m－2或x>

m＋2}，∵A⊆∁RB，

∴m－2>

3或m＋2<

－1，即m>

5或m<

－3.

16．（2016·

长春实验中学检测）已知集合A＝

，B＝{x|x2－2x－m<

0}，

（1）当m＝3时，求A∩（∁RB）；

（2）若A∩B＝{x|－1<

4}，求实数m的值．

[解]　由

≤0，

解得－1<

x≤5，所以A＝{x|－1<

x≤5}．

（1）当m＝3时，B＝{x|－1<

3}，

则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，

所以A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5}．

（2）因为A＝{x|－1<

x≤5}，A∩B＝{x|－1<

4}，

所以有42－2×

4－m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2<

4}，符合题意，故实数m的值为8.