从连续最大和到最优子矩阵Word文档格式.docx
《从连续最大和到最优子矩阵Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从连续最大和到最优子矩阵Word文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
由于是连续，初学者往往想到的是枚举，然而枚举的时间复杂度是难以接受的。
顾思考更高效的算法——动态规划。
仔细思考题目后，符合动态规划条件。
用ans[i]表示包含数列第i项的前i个元素的最大和，数组no存放数列元素，则状态转移方程为：
ans[0]=0；
ans[i]=max{ans[i-1]+no[i],no[i]}时间复杂度为O（n）
核心程序代码：
best:
=-maxlongint;
temp:
=0;
fori:
=1tondo
begin
inc（temp,no[i]）;
iftemp>
bestthenbest:
=temp;
iftemp<
0thentemp:
end;
注意：
红色循环体部分的顺序万万不可颠倒！
[问题拓展]：
在一个长度为n的数列{An}中，求m个连续子序列，使得这m个连续子序列的和最大，且m个子序列无公共元素。
解决类似的问题，我们可以利用“加一维”的思想利用动态规划来解决。
用ans[i,j]表示数列前j个元素中，i个无公共元素的子序列的最大和，且必须包含第j个元素，数组no存放数列元素，则状态转移方程为：
ans[i,j]=max{ans[i,j-1]+no[j],ans[i-1,k]+no[j]}（i-1<
=k<
=j-1）时间复杂度为O（n^3）
何训程序代码：
fori:
=1tomdo
forj:
=itondo
begin
ans[i,j]:
=ans[i,j-1]+no[j];
fork:
=i-1toj-1doifans[i-1,k]+no[j]>
ans[i,j]thenans[i,j]:
=ans[i-1,k]+no[j];
end;
=1tondoifans[m,i]>
=ans[m,i];
红色部分为确定最大值的过程！
因为ans[i,j]表示数列前j个元素中，i个无公共元素的子序列的最大和，且最大和不一定非要取完所有的元素，所以用一个循环来检测所有m的连续子序列的元素最大和，以确定全局最优值！
二、最优子矩阵
有了前面的铺垫，我们就可以导论最优子矩阵的问题了，换句话说，最优子矩阵是建立在数列连续最大和的基础上的。
所谓最优子矩阵，就是指在一个n*m二维的矩阵中，确定一个小的矩阵，使这个小矩阵中所有元素的和最大。
思考一下最优子矩阵和连续最大和的异同：
1、所求的和都具有连续性；
2、连续最大和是一维问题，最优子矩阵是二维问题
另外，对于一个矩阵而言，如果我们将连续k行的元素纵向相加，并对相加后所得的数列求连续最大和，则此连续最大和就是一个行数为k的最优子矩阵！
由此，我们可以将二维的矩阵压缩成一维矩阵，转换为线性问题，从而求解。
故问题的关键在于如何用高效的压缩方式存储、读取矩阵。
下面具一个简单的例子。
在一个一维的数列中，要想求从第i个元素到第j个元素的和，我们可以用这样的方法：
设数组sum[i]表示从第1个到第i个元素的和，则：
求从第i个元素到第j个元素的和，只需用sum[j]-sum[i]就足够了。
由此推广到二维矩阵，设sum[i,j]表示矩阵第j列前i个元素的和，cost[i,j]表示原始数据，则：
压缩数据程序代码为：
forj:
sum[i,j]:
=sum[i-1,j]+cost[i,j];
下一个问题是，如何将数据从压缩的数组中读出。
下面，我们来分析、推导一下：
假设n=3的情况，不同的组合情况和数据处理方法如下表：
（1<
=m）
不同的行组合
数据处理方法
第一行
sum[1,j]
第二行
sum[2,j]-sum[1,j]
第三行
sum[3,j]-sum[2,j]
第一、二行
sum[2,j]
第二、三行
sum[3,j]-sum[1,j]
第一、二、三行
sum[3,j]
我们将数据处理方法简写、并加以整理可得：
3-2，3-1，3-0
2-1，2-0，
1-0
不失一般性，可设两个循环变量，外层（i）从n到1，内层（j）从i-1到0。
设数组temp用来存储临时的数列，则：
读取数据代码为：
=ndownto1do
=i-1downto0do
fork:
=1tomdotemp[k]:
=sum[i,k]-sum[j,k];
到此，最大子矩阵问题就完全转换为连续最大和问题。
在一个n*m二维的矩阵中，确定两个小的矩阵，使这两个小矩阵中所有元素的总和最大，且两个矩阵无公共元素。
既然是拓展，就与原问题有内在的联系，怎样的联系呢？
我们先来看一下两个小矩阵的位置关系：
图暂略
图中给出了三种，其实，第二种和第三种可以算为一种，所有的情况无非这两种而已。
对于第一种情况，可以枚举分割线（图中横线）的坐标，设其坐标为x，x从2到n逐个枚举，则可求出1到x-1行的左右自矩阵、从x到n行的最优子矩阵，二者的和如果大于当前最优值则更新。
对于第二种情况，只需将原始矩阵的行、列交换，然后重复第一种情况的步骤即可。
大的框架有了，然而细节决定成败，压缩方式不变，关键还在于数据的读取！
然而通过原问题的分析方式，我们可以和轻松的推导出数据的读取方法（具体方式请读者思考），即：
1、外层（i）从x-1到1，内层（j）从i-1到0；
2、外层（i）从n到x，内层（j）从i-1到x-1；
最后，求同存异。
附：
论文中涉及的所有题目的标程。
（在FreePascal1.98下调试通过）
programt1（input,output）;
{连续最大和}
var
no:
array[1..1000]oflongint;
n,best:
longint;
{====================================}
procedureinit;
i:
assign（input,'
t1.in'
）;
assign（output,'
t1.out'
reset（input）;
rewrite（output）;
readln（n）;
=1tondoread（no[i]）;
close（input）;
proceduresolve;
i,temp:
writeln（best）;
close（output）;
init;
solve;
end.
programt2（input,output）;
{k个连续最大和}
n,m,best:
ans:
array[0..200,0..1000]oflongint;
t2.in'
t2.out'
readln（n,m）;
i,j,k:
=i-1toj-1do
ifans[i-1,k]+no[j]>
programt3（input,output）;
{最优子矩阵}
cost,sum:
array[0..200,0..200]oflongint;
array[0..200]oflongint;
n,m:
i,j:
t3.in'
t3.out'
fillchar（cost,sizeof（cost）,0）;
fillchar（sum,sizeof（sum）,0）;
=1tomdoread（cost[i,j]）;
readln;
i,j,k,best,ans,tot:
tot:
ans:
best:
inc（best,temp[k]）;
ifbest>
ansthenans:
=best;
ifbest<
0thenbest:
ifans>
totthentot:
=ans;
writeln（tot）;
programt4（input,output）;
{2个最优子矩阵}
n,m,tot:
i,j,k,x,best1,best2,ans1,ans2:
forx:
=2tondo
ans1:
=x-1downto1do
best1:
inc（best1,temp[k]）;
ifbest1>
ans1thenans1:
=best1;
ifbest1<
0thenbest1:
ans2:
=ndowntoxdo
=i-1downtox-1do
best2:
inc（best2,temp[k]）;
ifbest2>
ans2thenans2:
=best2;
ifbest2<
0thenbest2:
ifans1+ans2>
=ans1+ans2;
i,j,swap:
take:
t4.in'
t4.out'
swap:
=m;
m:
=n;
n:
=swap;
take[i,j]:
=cost[j,i];
=sum[i-1,j]+take[i,j];
升级会员 