九年级证明二学生用提高篇第一课Word文件下载.docx

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重点：

1.三角形全等的判定。

2.等腰以及等边三角形的性质和判定。

难点：

等腰和等边三角形在证明题中的应用以及简单辅助线的构造。

本节课效果评估参考办法

课程主体部分

一、知识网络：

1.证明三角形全等的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL）及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

判定三角形全等的各种条件，描述的都是一个三角形中的三个元素，处在特定位置时，与另一个三角形中对应位置的三个元素相等，这样就能判定两个三角形全等。

如“SAS”必须找一个三角形的两边和它们所夹的角与另一个三角形的两边以及夹角对应相等。

注意：

1.判定三角形全等的条件中，必须有一个是边相等的条件。

2.不存在像“AAA”和“SSA”这样判定两个三角形全等的定理。

例1.如图所示，要判定△ABC≌△ADE，除去公共角∠A外，在下列横线上写出还需要的两个条件，并在括号内写出由这种条件判定两个三角形全等的定理.

（1）∠B＝∠D，AB＝AD（ASA）；

（2）_________，__________（）；

（3）_________，__________（）；

（4）_________，__________（）；

（5）_________，__________（）；

（6）_________，__________（）；

例2.如图，已知

为等边三角形，

、

分别在边

上，且

也是等边三角形．

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？

写出变化过程．

2.等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；

等角对等边；

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）

例1.如图，已知：

中，

，D是BC上一点，且

，求

的度数。

例2.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。

求证：

M是BE的中点。

3.等边三角形的有关知识点。

判定：

有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°

的三角形是等边三角形；

有两个叫是60°

的三角形是等边三角形。

性质：

等边三角形的三边相等，三个角都是60°

。

例1.已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

例2、如图：

AD是△ABC的BC边上的中线，BE是AC边上的高，OC平分∠ACB，OB=OC。

求证：

△ABC是等边三角形。

4、反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法

反证法的一般步骤为：

（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。

例1证明：

在一个三角形中至少有两个角是锐角.

例2.已知△ABC为不等边三角形，AD⊥BC于D点，求证：

D点到AB、AC边的距离必不相等。

5.等腰以及等边三角形与三角形全等证明题的综合运用。

例1.如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º

，

（1）在图1中，AC与BD相等吗？

请说明理由

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？

为什么？

例2如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。

（1）猜想DF与EF的大小关系；

（2）请证明你的猜想。

例3.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

BD=2CE．

二、课堂练习：

1．如图，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°

，则∠ADB＝________.

2．已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°

，∠BAD＝70°

，则∠E＝_____________.

3．已知：

如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°

，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：

DE＝DF．

4.如图，

是等边三角形，

，则

的度数是多少？

5.如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．

（1）求证：

AN=BM；

（2）求证：

△CEF是等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°

，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第

（1）、

（2）两结论是否仍然成立（不要求证明）．

6.求证：

在△ABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E，连结AD、BE，则AD和BE必定不能互相平分。

8.已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边,分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.

（1）用圆规比较EM与FM的大小.

（2）你能说明由

（1）中所得结论的道理吗?

三、课后练习：

1．已知：

如图3-49，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过E点交AD于D，交BC于C．求证：

AD＋BC=AB．

如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°

，AF∥DE，交BD于F．求证：

CF=CD．

3.已知：

如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。

（1）

∠ABE=∠C；

（2）若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。

4.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.

5.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，O为BC的中点.

（3）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.

（4）若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的结论.

在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°

7.已知等腰三角形的腰长是底边长的4/3，一边长为11，求这个三角形的周长。

8如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．

（1）求证：

AF⊥DE；

（2）求证：

FH=GH．

9.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

10.已知；

点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。

（1）如图

（1），若点O在边BC上，求证：

AB=AC；

（2）如图

（2），若点O在△ABC的内部，求证：

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？

请画图表示。

11.在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°

，点D为BC上任意一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论。

12.∠AOB是一钢梁，且∠AOB=10°

，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加的钢管长度都与OE相等，则最多能加多少根？