注电考试最新版教材第122讲 流体力学四Word格式.docx

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元流侧面所受的压力和元流流向垂直，没有作功。

而沿元流侧表面还有和流体方向相反的内摩擦阻力作了负功—dHw，因此外力作功为

经过dt时间后从位置1122变化到1'

位置，在恒定流的条件下1'

这段中的流体的能量没有发生变化，所以dt时间内流体能量的变化，也就是新位置2—2'

的能量和原位置1—1'

的能量两者之差值。

由于流体不可压缩、新旧的位置1—1'

、2—2'

所占据的体积等于dQdt，质量等于ρdQdt。

根据物理学中的公式，动能0.5mu2，位能mgz，所以动能增值为：

位能的增值为

按功能原理

（1）=

（2）+（3），可得：

等式各项除以ρgdQdt，并设

整理后得：

这就是不可压缩流体元流能量方程或称伯努利方程。

它反映了恒定流中沿流各点位置高度z，压强p和流速u之间的变化规律。

式（6-3-3）说明元流从一个断面流到另一断面的过程中，各项能量（位能，压能，动能）在一定的条件下是可以互相转化的。

但是前一个断面的单位机械能应等于后一个断面的单位总机械能与两断面之间水头损失之和。

此方程是能量守恒在流体力学中的特殊表达形式。

（二）渐变流断面上的压强分布

为将元流的能量方程推广到总流，必须引入关于渐变流的概念。

在前面二流体运动的分类一段中已介绍：

均匀流是同一流线上各质点的流速大小和方向相同，因此不存在惯性力，同一断面各点间的压差主要由重力引起，所以同一断面上的动压强分布规律和静压强分布规律相同

即

式中下标A、B用以区别同一断面上不同点的相应量如图6-3-6所示。

在渐变流断面n—n上取任意长度为l，断面面积为dA的微小柱体（图6—3—7），分析作用于柱体上的力在n方向的分力。

柱体上、下两断面距基准面O-O的高程分别z1和z2，压强p1和p2，柱体重力在n-n方向的分力Gcosα=ρgldAcosα；

作用在柱体两端面的压力pldA和p2dA，柱侧面压力垂直于n-n轴，在n-n轴上的投影为零；

其黏性力可忽略不计，由此可得：

由于

则

即渐变流中同一过流断面上的压强按静压强的规律分布。

总流的能量方程—伯努利方程

在图6-3-8的总流中，选取两个渐变流断面1-1和断面2-2。

总流的能量方程是流能量方程式（6-3-3）在两断面范围内的积分：

由于断面处在渐变流段，z+p/ρg在断面上保持不变，可以提到积分符号外，则两断面的势能积分则可写

按工程实用的方便需将第三项用断面平均流速来表示。

同时考虑实际流体的流速不均匀性，还应增加流速的不均匀系数。

值或称动能修正系数。

它反映断面上流速分布不均匀程度。

通常取α＝1．05—1．1，在多数的实际工程的计算中可取α＝1．0已能满足精度的要求，于是两断面动能可写成：

式中α1，α2为断面1-1和断面2-2的动能修正系数。

总流中各元流能量损失也是沿断面变化的。

为了计算方便，设hw为平均单位能量损失。

则

现将以上各式各项积分值代入原积分式（6-3-4）中，各项除以ρgQ，得出单位重量的能量方程：

这就是重力作用下恒定总流能量方程式或称恒定总流伯努利方程式。

总流能量方程式每一项的能量意义同元流能量方程式相类似。

z+p/ρg上表示断面上单位重量流体所具有的势能，av2/2g表示断面上单位重量流体所具有的平均动能，hw1－２表示两断面之间单位重量流体的水头损失。

关于能量的几何意义可用图6-3-9表示。

能量方程式的各项在工程上习惯用水头来表示。

因z称位置水头；

p/ρg上称压强水头，所以v2/2g称流速水头，三水头之和称总水头。

在理想流体中总水头线应该是水平线，但在实际流体中有能量损失，因此总水头线总是沿着流体流动方向下降的。

如果用H＝z+p/ρg+av2/2g表示断面的总水头，其中z+p/ρg称测压管水头，则总水头线沿流程下降的坡度称水力坡度，用J表示，即

式中，l是沿流程的长度，并规定：

总水头线沿流程下降时，水力坡度为正值。

总水头总是沿流程减小的，即等恒为负值，而水力坡度总是取正值，所以上式右端需加一负号。

由于势能和动能可以互相转化，其测压管水头线的坡度的正负说明测压管水头线沿流程是上升还是下降。

能量方程的应用条件：

（1）流动必须是恒定流；

（2）流体是不可压缩的；

（3）流体受重力作用；

（4）所选取的两个计算用的过流断面，必须符合均匀渐变流条件（两计算断面之间的流体可以不是渐变流，见图6-3-8）；

（5）两断面间没有流量和能量输入或输出。

如果有能量的输出（如中间有水轮机或汽轮机）或输入（如中问有水泵或风机），则可以将输入的单位能量项Hl加在式（6-3-5）的左方：

或将输出的单位能量项H0加在式（6-3-5）的右方：

总流的能量方程在应用时需要遵循上述应用条件，另一方面还要灵活掌握。

例如推广到管路分流如图6－3—10所示。

流体从总管分送到两个支管即分成两股流体。

图中ABC为两股流体的分界面。

这两股流体均有一定有的大小，对每一股流体均可应用总流的能量方程。

当断面I－1、2－2、3－3处于渐变流时，就可以分别列断面1—1和22的能量方程及断面l一1和3—3的能量方程。

由于两股流体的流动情境不同，两者的水头损失不同。

具体可写成：

五、能量方程的应用

（一）注意事项

在解决流体动力学问题时能量方程常和连续性方程联立，以解决断面的流速和压强。

其中流速是主要的，求压强必须在求流速的基础上或在流速已知的基础上进行；

其他如流量、水头、动量等问题都和流速、压强有关。

在写能量方程时，应注意断面的划分、两断面应选取在压强已知或流速已知的渐变流段上。

如水箱水面上为大气压，流速水头很小可以近似等于零的特殊断面，以减少未知量。

基准面的位置可以任意选择，习惯上将基准面通过两个断面中较低的断面的中心，这样就使一个断面的z值为零，而另一断面的z值保持正值。

能量方程中的p1和p2可以采用相对压强或绝对压强，方程两端必须统一。

由于建筑物均暴露在大气中，因此压强一般都用相对压强，即不计算大气压强。

只有在某些特殊情况下，将大气压强计算在内。

例如一密封容器通过管道与水槽相连（图6—3—11），密封容器水面上的压强Pabs=o．5大气压，而水槽水面压强为1个大气压，要求管道中的流速v，在列断面1-1和2-2能量方程时，就应注意，断面1-1的压强Pabs=o．5大气压=5m水柱（H2O柱），而断面2—2上的压强为10m水柱（H2O柱），可见水流方向是从断面2-2流向断面1—1。

0-0基准面通过水槽水面。

在能量方程中出现不同断面的流速项，则可用连续性方程换算成同一断面的流速。

（二）能量方程的应用

1.毕托管

当流体受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时，在物体表面上受流体顶冲的A点（如机翼），流体的速度等于零，此点称滞止点（驻点）如图（6—3—12）所示。

在滞止点处流体的动能全部转化为压能。

毕托管就是利用这一原理制成的，这是广泛用于测量液流和气流的点速度u的一种仪器，如图（6—3—13）所示，它的管的前端开孔a，正面迎着液流或气流。

a端内部有通路与上部b'

端相通。

管侧有四个孔口b，它的内部也有通路与上部b'

当测定流体中某点流速时，a'

、b'

两管分别同U形压差计接通后，就可测出a、b两处的压差。

a点为滞止点，在a处由于流体受阻、流速为零，其压强p=，而流体在b处，流速恢复原有流速u，压强pb比Pa小，沿ab流线写出元流能量方程后得出流速：

由于管的a、b端液面差为h，等于Pa－Pb/ρg则流速为：

式中Φ为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，4值为0．95—0．98。

毕托管也可用来测定气体的速度。

此时，根据由压差计所得的压差pa-p==ρgh代入式（6—3—10），则气体速度

式中ρ为压差计所用液体的密度；

ρ'

为气体的密度。

2.文丘里流量计

文丘里流量计是用来测量管道流量的，它的形状如图6—3－14所示。

使用时，将它连接在管道上，在流量计上游进口断面1—1和在收缩管中的渐变流断面2—2处各接测压管。

利用两测压管的差值，根据能量方程可算出管中流速和流量。

任选一基准面O—O，写出断面1—1和2—2的能量方程（不计水头损失）：

取α1=α2=1，并将上式整理而得：

又

及连续性方程

既

代入上式后得

所以

流量

式中

Ｋ是一个只和dl、d2及重力加速度z有关的固定常数。

式（6—3—12）中没有计及水头损失。

实际流体中存在水头损失，因而实际通过的流量必小于理论流量。

为修正这一误差，可用文丘里流量系数μ值加以修正。

根据实验，它的值在0．95—0．98之间，则

对于不同直径的文丘里流量计，K和μ值是预先求得的，因而只需在测压计上读出△h就可求出管道中通过的流量。

如果U形压差计中装有水银，则水的流量为

[例6-3-1]设文丘里流量计中的两管直径dl＝100mm，d2=60mm，测得两断面的压强差△h=0．5m水柱，流量系数μ=0．98，流动的液体是水。

试求流量。

[解]