数学福建省三明市届高三下学期质量检查测试理扫描版.docx
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数学福建省三明市届高三下学期质量检查测试理扫描版
福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试（5月）
数学试卷（理）
【参考答案】
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
B
C
A
B
D
C
A
D
二．填空题
13．6 14．
15．5 16．
三、解答题
17．解：
（1）因为
，且
，
所以
，所以
．2分
所以
…①，
当
时，有
…②，
①、②两式作差得
，3分
所以
，
因为
，所以
，又因为
，所以
．6分
（2）因为
，
，所以
，
，
所以当
时，
，
＝
＝
．8分
又
也适合上式，所以
．9分
所以
＝
＝
，10分
所以
＝
＝
，
＝
．12分
18．解：
（1）因为
所以
．2分
因为
，
平面
，平面
平面
，
所以
．4分
所以
，即
．5分
（2）因为
可知
为等边三角形，
所以
，又
，
故
，所有
．
由已知
，所以
平面
，
如图，以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，则
，
所以
，则
，
设平面
的一个法向量为
，则有
即
设
，则
，所以
， ………………………8分
设平面
的一个法向量为
，由已知可得
即
令
，则
，所以
． …………………………………10分
所以
，………………………11分
设二面角
的平面角为
，则
．………12分
19．解：
（1）设
，由题意得
，
所以
， …………………………2分
所以
，化简得
，
所以所求点
的轨迹E的方程为
．………………………5分
（2）由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
令
，得
，即
．
由
解得
，即
，…8分
因为
，所以
的方程为
，
由
解得
， ……………10分
所以
，
，
，
所以
＝2． …………………………………………………12分
20．解：
（1）由频率分布直方图知，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在
的频率为
，使用时间在
的频率为
．
所以在该汽车交易市场2017年成交的二手车随机选取1辆，其使用时间在
的概率为
，2分
所以所求的概率为
．3分
（2）①由
得
，则
关于
的线性回归方程为
．4分
由于
则
关于
的线性回归方程为
，……………………………6分
所以
关于
的回归方程为
……………………………7分
②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车可预测：
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
；
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格预测值为
；
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
；
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
；
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
．……………………………9分
若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为
＝
万元；
若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为
万元．…………………………………………………………11分
因为
，所以采用甲方案能获得更多佣金． ……………12分
21．解：
（1）因为
对
恒成立，
等价于
对
恒成立， …………………………1分
设
得
， …………………………3分
故
在
上单调递增，
当
时，由上知
，所以
即
，
所以实数
的取值范围为
； ……………………………6分
（2）对
求导得
， ……………7分
记
，
，
由
（1）知
在区间
内单调递增，又
，
所以存在唯一正实数
，使得
，
当
时，
，
，函数
在区间
单调递减；
时，
，
，函数
在区间
单调递增；
所以
在
内有最小值
， …………………9分
由题设即
．
又因为
．所以
． ……………………10分
根据
（1）知，
在
内单调递增，
，
所以
．令
，则
，函数
在区间
内单调递增，
所以
，
即函数
的值域为
． ……………………………12分
22．解法一：
（1）由
得
的普通方程为
，…………1分
又因为
，所以
的极坐标方程为
．3分
（或
）
由
得
，即
，4分
所以
的直角坐标方程为
．5分
（2）设
的极坐标分别为
，则
6分
由
消去
得
，7分
化为
，即
，8分
因为
，即
，所以
，或
，9分
即
或
所以
．10分
解法二：
（1）同解法一……………………………5分
（2）曲线
的方程可化为
，表示圆心为
且半径为1的圆．6分
将
的参数方程化为标准形式
（其中
为参数），代入
的直角坐标方程为
得，
，
整理得，
，解得
或
．8分
设
对应的参数分别为
，则
．所以
，9分
又因为
是圆
上的点，所以
10分
解法三：
（1）同解法一．……………………………5分
（2）曲线
的方程可化为
，表示圆心为
且半径为1的圆．6分
又由①得
的普通方程为
，7分
则点
到直线
的距离为
，8分
所以
，所以
是等边三角形，所以
，9分
又因为
是圆
上的点，所以
10分
23.解：
（1）当
时，
，则
2分
当
时，由
得，
，解得
；
当
时，
恒成立；
当
时，由
得，
，解得
．4分
所以
的解集为
．5分
（2）因为对任意
，都存在
，使得不等式
成立，
所以
．6分
因为
，所以
，
且
，①
当
时，①式等号成立，即
．7分
又因为
，②
当
时，②式等号成立，即
．8分
所以
，整理得，
，9分
解得
或
，即
的取值范围为
．10分
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