实验五FIR数字滤波器的设计Word下载.docx

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4、h（n）为奇对称，N为偶数;

H（ejω） 

ω=0、2π＝0，不适合作低通。

（二） 

窗口法

窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤

确定数字滤波器的性能要求：

临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度N；

根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h（n）的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd（ejω）的幅频特性和相频特性；

求理想单位脉冲响应hd（n），在实际计算中，可对Hd（ejω）按M（M远大于N）点等距离采样，并对其求IDFT得hM（n），用hM（n）代替hd（n）；

选择适当的窗函数w（n），根据h（n）=hd（n）w（n）求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；

求H（ejω），分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。

窗函数的傅式变换W（ejω）的主瓣决定了H（ejω）过渡带宽。

W（ejω）的旁瓣大小和多少决定了H（ejω）在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：

（1）矩形窗（RectangleWindow）

（2）汉宁（Hanning）窗，又称升余弦窗

（3）汉明（Hamming）窗，又称改进的升余弦窗

（4）布莱克曼（Blankman）窗，又称二阶升余弦窗

（5）凯塞（Kaiser）窗

其中：

β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。

I0（·

）是第一类修正零阶贝塞尔函数。

若阻带最小衰减表示为

，β的确定可采用下述经验公式：

（三）频率采样法

频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd（ejω）加以等间隔采样，然后以此Hd（k）作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H（k）,由H（k）通过IDFT可得有限长序列h（n），然后进行DTFT或Z变换即可得H（ejω）

（四）FIR滤波器的优化设计

FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。

为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应

的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子α=0。

令N=2M+1，则

如希望逼近一个低通滤波器，这里M，

和

固定为某个值。

在这种情况下有

定义一逼近误差函数：

E（ω）为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W（ω）为加权函数，

K应当等于比值δ1/δ2，δ1为通带波动，δ2为阻带波动。

在这种情况下，设计过程要求|E（ω）|在区间

的最大值为最小，它等效于求最小δ2。

根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。

这一最佳逼近定理通常称作交替定理。

在逼近过程中，可以固定K，M，

，而改变δ2，按照交替定理，首先估计出（M+2）个误差函数的极值频率

，i=0,1,...,M+1，共计可以写出（M+2）个方程

式中ρ表示峰值误差。

一般仅需求解出ρ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差ρ。

依此反复进行，直到前、后两次ρ值不变化为止，最小的ρ即为所求的δ2。

这一算法通常称作雷米兹（Remez）交替算法。

三、实验内容及步骤

上机实验内容：

（1）N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。

主要代码如下：

（下同）

w1=rectwin（N）;

plot（n,w1,n,w2,'

-.'

n,w3）

[h1,w]=freqz（w1,N）;

plot（w/pi,20*log10（abs（h1））,w/pi,20*log10（abs（h2））,'

w/pi,20*log10（abs（h3）））

运行结果如下：

分析：

矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度，但有最大的旁瓣峰值；

汉明窗函数的主瓣稍宽，而旁瓣较小；

布莱克曼窗函数则更甚之。

矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但是阻带最小衰减也最差；

布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，过度带最宽，约为矩形窗设计的的三倍。

汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。

（2）N=15，带通滤波器的两个通带边界分别是

，

。

用汉宁（Hanning）窗设计此线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。

N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。

b1=fir1（n,wn,hamming（n+1））;

stem（[0:

n],b1）

freqz（b1,1）

所设计滤波器的h（n）:

相应的幅频相频特性曲线：

观察它的实际3dB和20dB带宽，发现N=15时，其3DB带宽约为0.2pi,20db带宽约为0.45pi；

N=45时，其3DB带宽约为0.16pi,20db带宽约为0.3pi

可见N增大，其3db带宽和20db带宽分别减小，滤波器特性变好，过渡带变陡，幅频曲线显示其通带较平缓，波动小，阻带衰减大。

相频特性曲线显示其相位随频率变化也变大。

（3）分别改用矩形窗和Blackman窗，设计

（2）中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。

N=45时，三种窗设计的滤波器的h（n）分别如下：

相应的幅频曲线如下：

从以上三张图可见：

同一N值，分别用矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗设计滤波器时，主瓣宽度逐渐增大,过渡带变宽，但阻带衰减性能变好；

N增加，主瓣变窄，旁瓣的分量增加，过渡带变陡，起伏震荡变密。

加窗处理对滤波器的频率响应会产生以下主要影响：

（1）使理想特性不连续的边沿加宽，形成一过渡带，过渡带的宽度取决于窗函数频谱的主瓣宽度。

（2）在过渡带两旁产生肩峰和余振，它们取决于窗函数频谱的旁瓣；

旁瓣越多，余振也越多；

旁瓣相对值越大，肩峰则越强。

（3）增加截断长度

，只能缩小窗函数频谱的主瓣宽度而不能改变旁瓣的相对值；

旁瓣与主瓣的相对关系只决定于窗函数的形状。

因此增加N，只能相对应减小过渡带宽。

而不能改变肩峰值。

肩峰值的大小直接决定通带内的平稳和阻带的衰减，对滤波器性能有很大关系。

（4）用Kaiser窗设计一专用线性相位滤波器，N=40，

如图，当β=4、6、10时，分别设计、比较它们的幅频和相频特性，注意β取不同值时的影响。

w=kaiser（N,beta）;

h=fir1（N-1,[0.20.40.60.8],w）;

[h1,w1]=freqz（h,1）;

β越大，w（n）窗越窄，频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加，过渡带变宽，相位特性变好。

（5）用频率采样法设计（4）中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H（k）=0.5。

比较两种不同方法的结果。

N=40;

Hk=[00000.51110.50000.51110.5000000-0.5-1-1-1-0.5000-0.5-1-1-1-0.50000];

k=0:

N-1;

thetak=-k*2*pi/N*（（N-1）/2）;

hn=real（ifft（Hk.*exp（j*thetak）））;

[h,w]=freqz（hn,1）;

plot（w/pi,20*log10（abs（h）））;

plot（w/pi,angle（h））;

N-1],hn）;

运行结果如下:

（6）用雷米兹（Remez）交替算法设计（4）中的滤波器，并比较（4）、（5）、（6）三种不同方法的结果。

fa=[0.175.2.4.425.575.6.8.8251];

mag=[0011001100];

b=remez（40,fa,mag）;

[h1,w1]=freqz（b,1）;

plot（w1/pi,20*log10（abs（h1）））;

plot（w1/pi,angle（h1））;

（7） 

利用雷米兹（Remez）交替算法，设计一个线性相位高通FIR数字滤波器，

其指标为：

fa=[500800];

a=[01];

dev=[0.010.109];

fs=5000;

[N,fpts,mag,wt]=remezord（fa,a,dev,fs）;

b=remez（N,fpts,mag,wt）;

plot（w1/pi*fs/2,20*log10（abs（h1）））;

四：

实验思考题

1．定性地说明用本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率在什么位置？

它等于理想频率响应Hd（ejω）的截止频率吗？

2.如果没有给定h（n）的长度N，而是给定了通带边缘截止频率ωc和阻带临界频率ωp，以及相应的衰减，你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗？

（注：

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）