高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案Word文档格式.docx
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［帥2）/（昵）］卩（5/勺）/3帥2）］,或-矶叫（：
］疋2）/兀兀（卩1阳2）。
证明，若效用函数为（2.43）式，長则5与5之间的替代弹性为1/°
。
答：
（a）这是一个效用最大化的优化问题。
maxU=
厂1-£
z*l-9
C11C2
1
1-01+P1-0
stP&
]+P2C2-W
（1）
（2）
求解约束条件:
c2=w/p2^cip1/p2
（3）
将方程（3）代入
（1）中，可得：
r】性52广（4）
1-91+“1-o
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两
边对5求一阶条件可得：
°
ug=CT+暑C（-畅2）=0
解得：
（5）
G=（1+Q严帥J%
将方程（5）代入（3）,则有：
c2=W/P2~a+p）1/0（P2/P1）1/（）C2P1/P2
（6）
C
2_1+（1+Q严（％]）（-M
将方程（6）代入（5）中，则有：
（7）
（i+。
）"
（呦）"
（％2）
仃=i+（i+小”吓訂尹m
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
（8）
5©
=（l+Q）"
（P2/Pi）l〃
对方程（8）两边取对数可得：
（9）
加（G/G）=（1/“）饥（1+Q）+（1/〃）加（P2/PJ
则消费的跨期替代弹性为：
_c（G/G）P2/Pi_0饥（G/q）_1
o（P2/P]）G/q伽（卩2//\）0
因此，°
越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3（a）假设事先知道在某一时刻"
，政府会没收每个家庭当时所拥有财
富的一半。
那么，消费是否会在时刻5发生突然变化？
为什么？
（如果会的话，请说明时刻5前后消费之间的关系。
）
（b）假设事先知道，在某一时刻"
，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。
那么，消费是否会在时刻5发生突然变化？
（如果会，请说明时刻S前后消费之间的关系。
（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期△t,从£
）到
（5+£
）。
考虑家庭在（5一£
）时期减少每单位有效劳动的消费为Ac。
然后他在（5+£
）投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本前）△'
在（"
+£
）会有一收益尹（―6△，△c,财富的回报率为r（t）,不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为（l/2）“（c后）訐（'
）7・"
"
△C。
总乙对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：
讥C前）△C二%（C后）dm△r△c
在△cH°
时，有下式：
.1.
（C前）二产C后）
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。
征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4设方程（2.1）中的瞬时效用函数班G为加瓯C）。
考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。
请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、厂（上）以及效用函数各参数的函数。
答:
2.1
人；
0广叫©
帥W竽+人；
0广®
罟必2.6
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
页脚
max〃=J二-"
llnC（t）^dt
S・t・麗0广盹）C（t）牌t=竽+J二0宀（5（0吩）裁t
（2）令“竽+J二小认M（磅細
建立拉格朗日方程:
oo
e
•=o
L（t）
+XW/
求一阶条件：
dC（t）i7
皿）
抵消百项得:
厂“叱⑴"
=氏"
（4）
可以推出:
C（t）=e-pt
将其代入预算约束方程，得:
将L（t）=enrL（O）代入上式，得:
厂1罟j二0厂3_必必=“
只要P-n>
0,则积分项收敛，为l/（P-n）,则:
将方程（7）代入（4）：
C（t）=pt
為（P■n）]
因此，初始消费为:
个人的初始财富为厶（。
）加，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。
（P-n）为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡
增长路径上是独立于利率的。
对于折现率P而言，P越大，家庭越厌恶风险，越
会选择多消费。
2.5设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。
假设实际利率不变，令伊表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值［（2.6）的右端］。
已知二罗和效用函数中的各参数，求C的效用最大化路径。
〃=J二°
盯叫（C（£
））罟dt2.1
u（C（Q）=需2.2
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
max〃=『二0广"
S（C（t））營r
（1）
伊代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率/是常数。
建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得:
0L
dC（i）~
o£
（0
=0
e~ptC（t）~°
=Ae-rt（3）
两边对时间t求导，可得：
e~pt[-oC（t）-°
pe-ptC（t）_0+rXe_rt=0
得到下面的方程：
-ptC（ty6-pe~ptc^~0+rAe~rt=O（4）
将方程（3）代入（4）,可得：
-9-Xe~rt・pXe~rt+rXe_rt=0
C（t）
rr£
抵消入£
然后求消费的增长率丽，可得：
C（巧_r-°
由于利率/是常数，所以消费的增长率为常数。
如果r>
P,则市场利率超
过贴现率，则消费会增加；
反之，如果厂VP,则市场利率小于贴现率，则消费
会减少。
P,则°
决定了消费增长的幅度。
值越低，也就是替代弹性
越高，越髙，即消费增长的越快。
重写方程（5）,得:
dlnC（t）r-p
~~dt~=8
对方程（6）积分，积分区间是从时间了二0到时间r=t,可得:
加C（%C（0）=宁r|\
上式可以简化为:
/nC（t）/C（O）=（r-p）/Ot
对方程（7）两边取指数，可得：
C（t）/C（0）=£
[（r「P）/°
K,整理得:
C（t）=C（0）e[（r-P）/"
下面求解初始消费，将方程（8）代入
（2）,可得:
将L（t）=emL（O）代入上式，可得:
“0廿（0）『二詳-[Q7+〃必="
只要[P
_厂+O（r-n）]/O>
0,从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得:
f8-[p-r+心7加％=
JC=0p-r+W-n）
（10）
将方程
（10）代入（9）中，求解"
0）：
W、”W）c（°
将方程（id代入（8）,求解ca）:
C（f）爲[字+（—）]（12）
上式便是C的效用最大化路径。
2.6生产力增长减速与储蓄。
设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞一卡斯一库普曼期模型，假设g永久性下降。
（a）"
=°
曲线会如何变化（如果有形响）？
（b）c=°
曲线会如何变化（如果有影响）？
（c）当g下降时，c如何变化？
（d）用一个式子表示g的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。
能否判断此表达式的正负？
（e）设生产函数長柯布一道格拉斯函数=请用P、从&
、0和a重新表示（d）中的结果。
（提示：
利用等式fd=p+°
9。
（a）关于资本的欧拉方程为：
k（t）=«
/c（t））-c（t）-（n+
（1）
该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上，“二0,由此可以推出：
c"
（k）-（n+g）k。
在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费c上升以保持方程的均衡。
因而在图形上k=0曲线向上移动。
同时，保持斤不变，g永久性地下降会导致持平投资下降,这样就会有更多的资源用于消费。
由于持平投资⑺+0）下降的幅度更大，因而在更高的斤水平上，〃二°
向上移动得更大。
图2-1是该模型的图示。
（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：
-p-^9⑵
该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上，要求c二0,即f'
W=P+00,在g永久性地下降时，为保持E二0,才住）必须下降。
由于/'
（/<
）<
0,因而下降必然导致R上升。
因此，°
二°
必须上升，在图形上表现为c二°
向右移动，如图2-1所示。
（O在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。
它仍然保持在平衡增长路径以处。
与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。
为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费C必将发生变化。
不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费C是上升还是下降。
存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费C甚至可能保持不变。
因此，c和&
逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。
（C1）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
[fw—c*]〃伙
因为斤保持不变，即〃二°
位于一条均衡的增长路径上，则由方程
（1）可知：
fg-c*=O+9）/r
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：
s=[（n+g）k•]/f（k*）
对方程（3）两边关于g求导数，可得：
ds__f（k*）[（n+g）dk伽+L]-（n+g）k，f（k*）d/c*/dg
乔[砒）]2
可以再简化为：
ds_5+丁0“）]（就"
/0g）+fX）T
爾_imp
由于疋由f（k）=p+切决定，对该式两边关于g求导数，f'
（k"
）（b/g）=0,从而求出上*/g为:
—"
/厂理）<
将方程（5）代入（4）中，可得：
ds_（n+g）[fX）-k・f©
）]0+f理片广X）
可得:
在方程（6）中，分母[r（^4）]2/'
（^3为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。
因此，无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使S上升还是下降。
（e）将柯布一道格拉斯生产函数f（k）=k“,f（k）=ak"
7和f"
（k）=a（a-l）ka~2代入方程（6）中，可得：
ds（n+^）[/c*Q-/c+ak*Q_1]0+/<
*Q/c+a（a-l）/c*a_2
乔k*ak*ua（a-l）/c*u~2
简化为：
_（n+^）/c4Q（1-a）e-（1-a）/c*aa/c*G_1
矿[-（1-u）/<
ra（a/c*a-1）（a/c*u-1）/a]
从上式可以推出：
竺__匕（n+9）0-（P+09）
（p+etg）2
最终有下面的结果：
ds（n0-p）（p-n0）
呃一（p+etg）2_（p+访
2.7说明下列变化如何影响图2・5中的c二°
线和〃二°
线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和&
（a）。
上升
（b）生产函数向下移动。
（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。
图2-2鞍点路径
（a）关于c与斤的欧拉方程为：
血）_fgt））-p-ffg了］、
而孑
/c（t）=/（/c（t））-c（t）-（n+g）k（t）
（2）
6的上升即消费的跨期替代弹性下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。
这种情况使家庭更偏好于即期消费。
由于°
没有出现在资本积累方程
（2）中，因而资本积累方程不受°
的上升的影响。
在消费的动态方程中，在平衡增长路径上&
二0,从而f'
W=P-由于°
的上升，因而必须上升，又因为所以为使C二0,斤必须下降。
此时［二°
向左移动，消费移动到新的鞍点路径/点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点此时和“心低于原先的值。
如图2-3所示。
图2-3°
上升的影响
（b）由于生产函数的向下移动，因而/'
（◎和都变小了，如图2-4所示。
图2-4生产函数向下移动
根据资本的欧拉方程：
-c（t）-（n+g）k（t）,在平衡增长路径上k=0,因而有c=（n+g）k。
由于f（k）变小，因此R=°
这条曲线会向下移动，如图2-5所示。
孙）_f（仪））-p-
根据消费的欧拉方程：
而召,在平衡增长路径上&
从而
f'
w=P+吒，由于变小，为保持2二0,必须使&
下降，从而使保持不变。
因此&
向左移动，如图2-5所示。
经济最终将收敛到新的均衡点点，此刻和低于原先的值。
图2・5生产函数向下移动的影响
（C）由于折旧率5由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：
k（t）=/'
（*（◎）-c（t）-⑺+9+^）k（t）（3）
由于折旧率/由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动,如图2-6所示。
这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。
由于持平投资变大，因此"
会向下移动，如图2-7所示。
图2-7折旧率由0变为正数的影响
I
资本的回报也下降为：
fw■6,从而消费的欧拉方程变为：
在平衡增长路径上，L二o要求f（k）=8+P+00。
与折旧率§
由o变为正数之前相比较，f（k）必须变大,从而&
必须变小。
由于斤必须变小，这便要求。
曲线向左移动，如图2-7所示。
经济最终将收敛到新的均衡点点，此刻％w和匕i曲低于原先的值。
2.8请在折旧率为正的情形下推导类似于（2.39）的表达式。
教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为:
2：
1「（。
+°
9）[p+0g-a（n+^）]j1;
2
当考虑到折旧率§
>
0的情况时，消费和资本的欧拉方程变为:
c（t）-i>
-p-OQ
k{t）=/（/c（t））-c（t）-（n+“+
（2）
对方程
（1）和
（2）分别在c=和上二L处进行一阶泰勒展开，可得:
定^c=c-c4和k=,因为C*和L为常数，所以c=c且〃将（3）
和（4）重写为:
对方程
（1）和
（2）计算偏导数:
de
dkbgp=T~
^\bgp
6_p_ffg
專仏=f（b）-®
+9+6（9）
^\bgp=~1（10）
将方程（7）和（8）代入（5）,将方程（9）和（10）代入（6）,可得：
C=^-k（11）
k=[f\k"
）_@+g+一C
=[（〃+Q+Og）一（"
+9+S）]k-c
=^k-c（12）
方程（12）的第二步用到了/（fet）=（6+P+°
9）,第三步用到了定义
0=P0）9。
对方程（11）除以2以求$的增长率，对方程（12）除以&
以求&
的增长率:
（13）
（14）
可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存
在对增长率没有影响。
因此，经济在向平衡增长路径移动时的％和*的不变增长率
〃与教材中的结果应该一致。
（15）
_dr
=—,求解可
令卩=；
方程（13）可以推出：
由方程（15）,令（13）和（14）相等，可得:
得：
B±
[32-4＜（/c*）c70]1/2
M二2
如果卩为正，则经济会偏离稳定点，所以》必为负:
P-[p2-4/'
（k*）c7e]1/2
现在考虑柯布一道格拉斯生产函数代k）=k“，分别求其一阶导和二阶导:
f（/<
J=al^7"
1=r*+8
（16）
（17）
/（Ar*）=a/T一1=a（a_]）L一2
/♦°
、221♦2□—2
将方程（16）两边同时平方：
（r+5）=a/c,将其代入（17）式:
茁）少+从"
）（°
-1）（r，+8）2
♦（1ak
G心）
定义平衡增长路径上的储蓄率为"
，则平衡增长路径上的消费为:
（18）
将方程（17）和（18）代入（15）：
9（a-1）（厂*+5）2
P2—4——（1一s（/T）
化简为:
—护+岁磐（厂+<
）2（17・）
=2
（19）
在平衡增长路径上，°
意味着厂=P+即:
厂°
+/=q+8g+（5
（20）
（21）
（22）
另外，实际投资等于持平投资：
sJ（L）=（n+g+
4（n+g+ff）k*a（n+g+
_f（/r）_k…'
上步用到了八+5=^k4a~\由（21）可以推岀:
r*+6・a（n+g+/）]_S=
r-+
将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：
fi一++"
0+§
“（n+0+6）］
U=2
上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将
a=1/3,p=4%n=2%=1%,0=1,=3%代入上式，得到
1="
8-8%）要快于不存在折旧时的调整速度。
2.9拉姆塞模型的解析解［来自于史密斯（Smith,2006）。
］考虑生产函数柯布-道格拉斯函数的拉姆塞模型，y（o=1的情形，假设相对风险规避系数°
与资本份额a相等。
（a）平衡增长路径上的£
值（即住*）为多少？
（b）平衡增长路径上的c值（即&
*）为多少？
（c）令呗）表示资本产出比班£
）表示消费资本比请用z、X和模型参数表示z（t）和兀（£
）/兀0）。
（d）暂且猜測才在鞍点路径上是常数，根据这一猜想：
（i）给定初始值％。
），求Z的路径。
（ii）给定初始值做。
）,求y的路径。
经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度是否是常数？
（e）上述猜测的解是否满足c与k的运动方程（2.24）与（2.25）?
（a）已知
从正文可知，在c=0时，存在f（k）=P+00。
利用方程
（1）计算得到
（b）与⑹题类似，根据正文可知，在k=0时，存在c*+利用方程
（1）计算得到：
（C）设Z（t）=和XO=c（t）/fc（Oo将方程（!
）代入z（t）的定义得
将方程（4）代入只£
）的定义，得到:
ck-a=xz
（11）
（12）
使用方程（4）,考虑z（t）=的时间导数，得到：
z=（1-a*ak（6）
从正文.的方程（2.25）知道，k=ka-c-（n^-方程（6）可表示成：
z=（1-[ka-c-（n+g）k]
为简化上式，将方程（4）和方程（5）代入上式，得到：
Z=（1-）[1-XZ-（71+9）z]
现在，对数化XO=c（tWO,考虑其时间导数，得到：
•••
xck
—=——
根据正文的方程（2.24）和方程（2.25）,上式可表示成：
xQk——P_Og-k+c+（?
i+g）k
X=L—+k
将方程（4）和方程（5）代入上式，再利用a=〃得到：
一=兀+72—pja
X
（d）（i）根据％为常量的假设，方程（8）可表示成z=（1-a）[l-（n+g+x*）z]
为确定z的变化路径，考虑方程（12）方程（12）为线性非齐次常微分方程。
该方程的
升级会员 