北航10秋学期《线性代数》模拟题一Word格式文档下载.docx
《北航10秋学期《线性代数》模拟题一Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北航10秋学期《线性代数》模拟题一Word格式文档下载.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
10x1
2、已知x的一次多项式
1111
D,则式中一次项的系数为()
1111
(A)4(B)4(C)1(D)1
3、设a为mn矩阵,则n元齐次线性方程组Ax0存在非零解的充分必要条件是()
A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关
C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关
C
4、设列向量组1,2,3,则与三阶行列式|1,2,3|等值的行列式是()
(A)|,,|
1(B)|23,3,133|
13123
(C)|,,|
3(D)|12,23,31|
21
5、设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第1页共8页
110
P010,则()
001
A.
1.
CPAPB.
CPAP
1.
TT
C.CPAP.D.CPAP.
二、判断题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
6、
A.对B.错
A
7、两个对称矩阵一定合同。
()
8、
9、相似矩阵有相同的特征多项式。
10、
三、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第2页共8页
1234
11、设四阶行列式
2
3
4
,
A是其i,j元的代数余子式,则A31A33_______,
ij
4123
A32A_______。
34
考核知识点:
行列式的概念及计算,参见P35
68,-48
12、设实二次型fx1,x2,x3,x4的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为。
惯性定理与二次型的规范形,参见P204
2222
zzzz
ax
x
2x
13、线性方程组
3x
有非零解的充要条件是a满足_____________.
4x
齐次方程组解的结构,参见P128
3a参考答案:
5170
a
200
A022正定,则的取值范围是。
14、若矩阵
02
正定二次型与正定矩阵,参见P205
2
15、设矩阵A与
2E*E
B3相似,则A___________,|A|_________.
相似矩阵,参见P159
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第3页共8页
192,280
16、设二次型
222
fxxxxxxxx的正惯性指数为p,负惯性指数为q,则pq等
1,2,31223212
于。
0
17、将二次型
f4x16xx9x化为
234
fy1yyy的可逆线性变换为___________.
化二次型为标准型,参见P194
y
2000
6
0010
18、设向量、的长度依次为2和3,则向量与的内积(,)=。
向量及其运算,参见P79
-5
32
19、已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则A5A7E
的特征值为___________,A3A2E
的特征
值为___________.
矩阵的特征值,参见P149
3,-5,-11;
3,7,13
20、二次型
f2xx2xx的规范型为。
二次型的规范形,参见P204
f2y2y2y2y
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第4页共8页
四、计算题(本大题共5小题,每小题7分,共35分)
21、计算行列式
行列式的定义及计算,参见P34
解:
22、设3阶方阵A的三个特征值为11,20,31,A的属于1,2,3的特征向量依次为10
00
12
,求方阵A。
,
23
25
矩阵的特征值与特征向量,参见P149
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第5页共8页
1244
23、设矩阵y相似,求x,y,并求一个正交矩阵P,使得
A2x2与
4215
P
AP
相似矩阵的概念及运算,参见P159
由A与相似知tr(A)tr(),即x2y1;
又4也是A的特征值,故A4E0,即
524
2x420,计算得x4,从而y5.
425
当4
1时,解方程(A4E)x0有,
5
18
9
A4E2820189021,从而有解
1,单位化得
p;
当25时,解方程(A5E)x0有
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第6页共8页
42421211
A5E212000,从而有两个正交解
0,4
2,单位化得
42400011
1
p20,p;
因此所求得正交矩阵
132
211
232
14
P(p1,p2,p3)0.
24、已知非齐次线性方程组
(1)求方程组系数矩阵A的秩r(A)。
(2)求a,b的值。
非齐次方程组解的结构,参见P137
25、
齐次方程组解的结构,参见P128
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第7页共8页
五、证明题(本大题共1小题,每小题10分,共10分)
26、设B为n2阶矩阵,证明:
*n1
BB.
矩阵及行列式的运算,参见P13,P34
证明:
当B可逆时,
*nn1
11**nn1
BBBBBB;
当B0时,有B0,从而
n1
*0
BB;
*BBn
当B0且B不可逆时,有0,
B否则,
*BBE
B必可逆,从而由B0知必有B0,
与B0矛盾;
综上所述知结论成立。
北航《线性代数》课程考试试卷(A)第8页共8页