南航矩阵论2013研究生试卷及答案.doc

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南京航空航天大学2012级硕士研究生

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2012~2013学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷

考试日期：

2013年1月15日课程编号：

A080001命题教师：

阅卷教师：

学院专业学号姓名成绩

一、（20分）设是的一个线性子空间，对任意，定义：

，其中.

（1）求的一组基和维数；

（2）对任意，定义：

，

证明是的一个内积；

（3）求在题

（2）所定义的内积下的一组标准正交基;

（4）证明是的线性变换，并求在题

（1）所取基下的矩阵.

解答：

（1）的一组基为维数为3.

……………………………………（5分）

（2）直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………（4分）

（3）标准正交基.…………（5分）

（4）由于,所以是的一个变换.又直接验证,知

因此是的一个线性变换.………………………………（3分）

线性变换在基下的矩阵为

.……………………………………………（3分）

二、（20分）设三阶矩阵，，.

（1）求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形；

（2）利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由.

解答:

（1）的行列式因子为;…（3分）

不变因子为;…………………（3分）

初等因子为;……………………（2分）

Jordan标准形为.……………………（2分）

（2）不相似,理由是2阶行列式因子不同;…………………（5分）

相似,理由是各阶行列式因子相同.…………………（5分）

共6页第4页

三、（20分）已知线性方程组不相容.

（1）求系数矩阵的满秩分解；

（2）求广义逆矩阵；

（3）求该线性方程组的极小最小二乘解.

解答:

（1）矩阵,的满秩分解为

.…………………（5分）

（2）.……………………（10分）

（3）方程组的极小最小二乘解为.…………（5分）

共6页第5页

四、（20分）已知幂级数的收敛半径为3,矩阵.

（1）求；

（2）证明矩阵幂级数收敛；

（3）求矩阵幂级数的和.

解答：

（1）.………（10分）

（2）因为是相容范数，且，则在收敛半径内，因此级数收敛.……………（5分）

（3）.……………（5分）

共6页第6页

五、（20分）设是两个阶矩阵,其中，证明:

（1）若对任意，有则可逆；

（2）若都是Hermite正定矩阵，则的特征值均为正数；

（3）若都是Hermite半正定矩阵，则,并且当等号成立时,必有.

解答：

（1）由可得，，由于是相容范数，则，的特征值都不为零，因此可逆.………………………（6分）

（2）,这里是可逆的Hermite矩阵,从而.由于与有相同的特征值，且，所以的特征值均为正数.

………………（8分）

（3），这里是Hermite矩阵.由于与有相同的特征值，且,所以的特征值均为非负数,从而.…………………（4分）

当时,有,从而.设这里也是Hermite矩阵,则

.

于是,由此得到.…………（2分）

.