南航矩阵论2013研究生试卷及答案.doc

1、南京航空航天大学2012级硕士研究生 共 6 页 第 1 页2012 2013学年第1学期 矩阵论 课程考试A卷 考试日期：2013年1月15日 课程编号：A080001 命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩 一、(20分) 设是的一个线性子空间，对任意，定义：，其中.(1) 求的一组基和维数；(2) 对任意，定义：，证明是的一个内积；(3) 求在题（2）所定义的内积下的一组标准正交基;(4) 证明是的线性变换，并求在题（1）所取基下的矩阵.解答：(1) 的一组基为维数为3.(5分)(2) 直接验证内积定义的四个条件成立. (4分)(3) 标准正交基. (5分)(4) 由于,所

2、以是的一个变换.又直接验证,知,因此是的一个线性变换. (3分)线性变换在基下的矩阵为. (3分)二、(20分)设三阶矩阵，.(1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形；(2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由.解答: (1)的行列式因子为;(3分)不变因子为; (3分)初等因子为;(2分)Jordan标准形为. (2分)(2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; (5分) 相似,理由是各阶行列式因子相同. (5分)共 6 页 第 4 页三、(20分)已知线性方程组不相容.(1) 求系数矩阵的满秩分解；(2) 求广义逆矩阵；(3) 求该线性方程组的极小最小二乘

3、解.解答:(1) 矩阵,的满秩分解为. (5分)(2) . (10分)(3) 方程组的极小最小二乘解为. (5分)共 6 页 第 5 页四、(20分)已知幂级数的收敛半径为3,矩阵.(1) 求；(2) 证明矩阵幂级数收敛；(3) 求矩阵幂级数的和.解答：(1) . (10分)(2) 因为是相容范数，且，则在收敛半径内，因此级数收敛. (5分)(3) . (5分)共 6 页 第 6 页五、(20分)设是两个阶矩阵,其中，证明:(1) 若对任意，有则可逆；(2) 若都是Hermite正定矩阵，则的特征值均为正数；(3) 若都是Hermite半正定矩阵，则,并且当等号成立时,必有.解答：(1) 由可得，由于是相容范数，则，的特征值都不为零，因此可逆. (6分)(2) ,这里是可逆的Hermite矩阵,从而.由于与有相同的特征值，且，所以的特征值均为正数. (8分)(3) ，这里是Hermite矩阵.由于与有相同的特征值，且,所以的特征值均为非负数,从而. (4分)当时,有,从而.设这里也是Hermite矩阵,则.于是,由此得到. (2分).