线性代数习题导航行列式2.docx
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线性代数习题导航行列式2
第一章行列式
§1行列式的概念
1．填空
（1）排列6427531的逆序数为15，该排列为奇排列。
（2）=8，=3时，排列1274569为偶排列。
（3）阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为负号；若为偶排列，该项的符号为正号。
（4）在6阶行列式中，含的项的符号为十，含的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值
（1）
解：
该行列式的项展开式中，有2项不为零，它们分别为
，所以行列式的值为。
（2）
解：
该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：
在全部元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：
。
，其中为偶排列数、其中为奇排列数。
4．若一个阶行列式中等于0的元素个数比多，则此行列式为0，为什么？
解由于0元个数比多，故从行列式中任选n个元素出来，必有一个为零。
又
5．阶行列式中，若负项的个数为偶数，则至少为多少？
（提示：
利用3题的结果）
解：
阶行列式中负项的个数为，负项的个数为偶数，则至少满足
则
6．利用对角线法则计算下列三阶行列式
（1）
（2）
注意到该行列式是范德蒙行列式
§2行列式的性质
1．利用行列式的性质计算系列行列式。
（1）第3行与第4行相同。
（2）按第1列展开按第3列展开
（3）
按第一列展开
2．证明下列恒等式
（1）
（提示：
将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）
记
同理可得
注
一般情况不能同时拆几行
（2）
原式
成比例为0
（3）
（提示：
从最后一列起，后列的倍加到前一列）
3．已知四阶行列式D的第三行元素分别为：
；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，，4，求的值。
解第四行线数余子
∴
得
4．已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：
能被13整除。
（提示：
注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）
，故结论成立
注意
5．已知，
求：
（1）；
（2）和。
（提示：
利用行列式按行（列）展开的性质计算）
（1）
=0（第3列的元与乘以第2列的代数余子式）
（2）（行列式展第四行展开）
（第二行元与乘以第四行的代数余子式）
有
6．设，求的根。
解1：
首先，行列式展开式中含项，所以有四个根。
第一二两行相同0故是的解
同理可知是的根
又
故当时有，从而为方程的根
法二：
（下三角行列式）
即，所以根为
§3行列式的计算
1．利用三角行列式的结果计算下列阶行列式
（1）
（提示：
注意各行（列）元素之和相等）
（2）
（提示：
可考虑按第一行（列）展开）
解：
按第一列展开
（上三角行列式）
（下三角行列式）
=
（3）
（提示：
可考虑第一行的倍加到各行，再化为三角行列式）
原式
2．用迭代法计算下列行列式
（1）
解：
按第一行（列）展开，得递推公式：
=+2。
于是
1=11=1。
由此得：
2+
3+
（n-1）+
n+1。
（2）。
解：
按第一行展开，有递推公式（a+b）+（-ab），得递推公式：
b
同理可得：
联立与，解方程组得：
3．利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式
（1），
（提示：
利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）
交换次将第行变至第2行
范德蒙行列式
（2），
解：
在行中提出因子，
4．构造辅助行列式法计算下列行列式
（1）（缺行的范德蒙行列式）
解：
构造辅助范德蒙行列式，为中元素的余子式，而
故中元素的系数为
故
故
（2）
解：
构造辅助行列式，
则，而
或
5．用数学归纳法证明：
证明：
（1）时，等式显然成立；
（2）假定等式对于小于阶的行列式成立；
（3）（下证阶行列式成立）
由于，（注：
按最后一行（列）展开）
=
=
所以，
6．，求
（提示：
将所有行加到最后一行）
故
§3克来姆（Cramer）法则
1．用克来姆法则解下列方程组
（1）
解系数行列式
∴
（2）
2．当取何值时，方程组有非零解？
解系数行列式
当即或时方程组有非零解
当即且时方程组仅有零解
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