娄底市中考试数学试题卷及答案.docx
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娄底市中考试数学试题卷及答案
娄底市2015年初中毕业学业考试试题卷
数 学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．2015的倒数为（ ）
A. B.2015 C. D.
2．若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
5．下列命题中错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直
C.同旁内角互补 D.矩形的对角线相等
6．某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
队员（人）
2
3
6
4
这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）
A.14，15 B.14，14.5 C.15，15 D.15，14
7．已知，则代数式的值为（ ）
A.0 B.1 C. D.
8．如图1，正三棱柱的主视图为（ ）
9．反比例函数的图象上有两点，，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10．如图2，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气的阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（ ）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为10.8万千米，10.8万用科学记数法表示为_______________.
12．从、0、、0.3、、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为_______.
13．如图3，已知，要使，还需添加一个条件__________.
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________.
15．下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为___________.
16．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为___________.
17．如图4，在中，为直径，为弦，已知，则__________度.
18．一块直角三角板按如图5放置，顶点的坐标为（0，1），直角顶点的坐标为（，0），，则点的坐标为_____________.
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19．计算：
20．先化简，再求值：
，其中是从、0、1、2中选取的一个合适的数.
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了总分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩分成A、B、C、D四等（A等：
，B等：
，C等：
，D等：
），并绘制出了如图6的两幅不完整的统计图：
（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？
（2）将图6乙中条形统计图补充完整；
（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数.
22．“为了安全，请勿超速”.如图7，一条公路建成通车，在某直线路段限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了5秒钟，已知，，米.此车超速了吗？
请说明理由.（参考数据：
，）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．假如娄底市的出租车是这样收费的：
起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费.
小刘说：
“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元.”
小李说：
“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费14.5元.”
问：
（1）出租车的起步价是多少元？
超过1.5千米后每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？
24．如图8，在中，，以点为圆心，为半径，作，交于点，交的延长线于点，过点作的平行线交于点，连接，，.
（1）求证：
；
（2）当等于多少度时，四边形为菱形？
请给予证明.
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．如图9，为正方形的边上一动点（与、不重合），连接，过点作交于点，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点.
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长.
26．如图10，抛物线经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，求的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：
的面积是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
C
C
B
B
B
A
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
不唯一
m≤1
22
6
50
18.解：
过B点作BE⊥轴于点E，由∠BEC=∠COA，∠EBC=∠OCA可证△EBC∽△OCA，∴，在Rt△ACO中，AC=，在Rt△ABC中，∠CBA=30°，∴，∴，∴，解得BE=，EC=，∴，故答案为.
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19.解：
原式=
==4
20.解：
原式=
=
=
=
当=0时，原式=.
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21.解：
（1）100÷50﹪=200（个）
答：
本次模拟测试共抽取了200个学生.
（2）200-40-100-10=50（个）
（3）1000×=50（人）
答：
估计其中D等学生有50人.
22.解：
此车没有超速.
理由：
过点C作CE⊥MN于点E.
在Rt△BCE中，∠CBN=60°，BC=200m
∵，
∴，
∴，.
在Rt△ACE中，∠CAN=45°
∵
∴
∴CE=AE
∴
∴
∴小车的速度是
答：
此车没有超速.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23.解：
（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元.
解得
答：
出租车的起步价是4.5元，超过1.5千米后每千米收费2元.
（2）应付车费=4.5+（5.5-1.5）×2=12.5（元）
答：
应付车费12.5元.
24.
（1）证明：
∵EF∥AB
∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E
∵AE=AF
∴∠EFA=∠E
∴∠FAB=∠CAB
∵AC=AF，AB=AB
∴△ABC≌△ABF
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.
理由：
∵EF∥AB
∴∠E=∠CAB=60°
∵AE=AF
∴△AEF是等边三角形
∴AE=EF，
∵AE=AD
∴EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE=EF
∴平行四边形ADFE为菱形.
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25.解：
（1）AP=BQ.
证明：
∵∠PAB+∠APB=90°，∠APB+∠CBQ=90°
∴∠PAB=∠CBQ，
在△BCQ和△ABP中，，
∴△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ
（2）方法一：
∵AB=BC=DC，AB=3，BP=2PC
∴BP=2，PC=1
∵△ABP≌△BCQ
∴BP=QC，
∵将△BQC沿BQ所在直线对折得到
∴，，
∴QM=BM
设QM=，则BM=
在Rt△中，
解得，.
方法二：
∵AB=BC=DC，AB=3，BP=2PC
∴BP=2，PC=1
∵△ABP≌△BCQ
∴BP=QC，
∵将△BQC沿BQ所在直线对折得到
∴，，
∴QM=BM
过点Q作QH⊥AB于点H，则BH=CQ=2，QH=CB=3
在Rt△中，
解得，.
方法三：
∵AB=BC=DC，AB=3，BP=2PC
∴BP=2，PC=1
∵△ABP≌△BCQ
∴BP=QC，
∵将△BQC沿BQ所在直线对折得到
∴，，
过点M作MN⊥BQ于点N，
在Rt△BCQ中，BQ=，QN=
，
在Rt△QMN中，，
∴
（3）方法一：
设AM=y
∵BP=m，PC=n，
∴AB=BC=m+n
∵QM=BM
在Rt△中，
∴.
方法二：
设AM=y
∵BP=m，PC=n，
∴AB=BC=m+n
∵QM=BM
过点Q作QH⊥AB于点H
在Rt△中，
∴.
方法三：
设AM=y
∵BP=m，PC=n，
∴AB=BC=m+n
∵QM=BM
过点M作MN⊥BQ于点N，
在Rt△BCQ中，BQ=，QN=
，
在Rt△QMN中，，
∴
∴.
26.解：
（1）将A（1，0），B（5，0）代入到y=ax2+bx-中，得，解得a=，b=2，y=x2+2x-；
（2）当x=0时，y=-，C点坐标为（0，-），
如图
过点A作AD⊥BC于D，则AD为⊙A的半径，BC=，
∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO
∴△ABD∽△CBO，
∴，
∴
解得AD=；
（3）方法一：
如图，过点P作PE∥轴，交直线BC于点E.
设直线BC的解析式为
∴
解得
设P点的坐标为（，）
则E点的坐标为（，），因此PE=.
∴=
∵
∴当时，面积有最大值，最大面积为
此时P点坐标为（，）
方法二：
过点P作PE⊥轴于点E.设P点的坐标为（，）
==.
∵a=-＜0，∴当x=时，的面积最大，最大面积为，此时P点坐标为（，）
方法三：
过点P作x轴的平行线交y轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线EP于点F，设P点坐标为（x，y），则=S梯形CEFB-S△PEC-S△PFB=（y+y+）×5-（y+）x-y（5-x）=y-x+=-x2+x，∵a=-＜0，∴当x=时，的面积最大，最大面积为，此时P点坐标为（，）
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