完整word版大一上学期高数复习要点Word下载.docx

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原函数与不定积分

1基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）

不定积分的性质

最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！

高数高频易错点

1.求极限请注意自变量趋向什么。

我们知道：

lim（x趋向0）sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：

无穷小量×

有界函数=无穷小量。

这里：

|sinx|<

=1，1/x是无穷小量。

再次重申：

请注意x趋向什么。

2.关于极限的保号性。

若limf（x）=A,A>

0或（A<

0），则存在δ>

0，当x取x0的δ去心

x->

x0邻域时,f（x）>

0（或f（x）<

0）。

这是最原始结论：

如果结论中不取去心邻域，那么结论是错的。

比如举例分段函数：

当x=0时，f（x）=-1，当x不为0时，f（x）=x^2＋1，显然lim（x趋向0）f（x）=1>

0，然而并不满足f（x）>

0（在x=0处）。

介绍这个定理的作用：

解一类题。

请看：

已知f（x）可导，且当x趋向0，limf（x）/|x|=1，判断f（x）是否存在极值点。

因为f（x）可导，那么f（x）必连续，因为lim（x趋向0）f（x）/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结论：

lim（x趋向0）f（x）=0，否则不会存在极限的，又因为f（x）连续，那么f（0）=0，令f（x）/|x|=g（x），根据保号性，因为limg（x）=1>

0，那么：

g（x）>

0，那么由于|x|在x趋向0时>

0，所以f（x）>

0，而0=f（0），所以f（x）>

f（0），根据极小值的定义，x=0为f（x）的极小值点。

★综上：

已知limg（x）=a，a的正负已知，可以使用保号性。

3.请注意当题目说：

x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：

x趋向正无穷和x趋向负无穷。

在含有e^x，arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。

补充：

在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去||时，必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以√（x^2）出现。

4.关于和差化积积化和差公式的记忆。

8字口诀：

同c异s，s异c同。

前者用来记住积化和差，后者用来记住和差化积。

举例：

sinacosb=？

因为它们的三角函数名异名，那么使用s，sinacosb=（1/2）（sin（a+b）+sin（a-b）），★说明：

1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；

2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2（（）＋（或者-）（））；

3，实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。

5.关于极值点的3种判别法：

■法一：

定义法；

■法二：

若f（x）可导，f'

（xo）=0，且f’’（x）不为0，则f（x）在xo处取得极值，若二阶导<

0，取得极大；

＞0，极小。

法三：

（n阶判别法）：

若f'

（xo）=二阶导（xo）=…=n-1阶导（xo）=0，且n阶导不为0，若n为偶数，且n阶导>

0，极小，反之，极大；

若n为奇数，n阶导不等于0，则（xo，f（xo）为拐点，xo不是极值点。

证明：

略

6.参数方程二阶导问题（无数不懂事的孩子搞不清楚），我们说一般地，y'

'

表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。

y'

=d^2y/dx^2=[d（dy/dx）]/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y’（t），和关于t的x'

（t），因为dy/dx=（dy/dt）×

（dt/dx）=y'

（t）/x‘（t）。

已知y=cost，x=t^2，那么求dy/dx，d^2y/dx^2。

标准解答：

1：

（t）=-sint，x'

（t）=2t，所以dy/dx=-sint/2t；

2：

d^2y/dx^2=d（dy/dx）/dx=｛d[（-sint）/2t]｝/dt*（dt/dx）=（-tcost+sint）/（4t^3）………★综上：

二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。

7.等价无穷小只能使用于乘除（题外：

其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆）。

比如：

初学者可能会认为这个极限为0，lim（x趋向0）（tanx-sinx）/x^3=0[计算思路：

（x-x）/x^3=0]，事实上它等于1/2.原因：

提取tanx后等价无穷小。

等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。

8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。

错误一：

把变量当做常量。

y=x^x，标准解答lny=xlnx，两边对x求导，y'

/y=1+lnx，所以y'

=（x^x）（1+lnx）。

错误做法：

y=x^x，y'

=x（x^（x-1））=x^x。

（但愿你们找到了错误在哪），错误二：

搞不清楚对x求导是什么意思。

当然：

y=x^2求导大家都会吧，y'

=2x，当出现对y^2=x^2，很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y'

，对y^2=x^2求导，得到：

2yy'

=2x.再则：

对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+x^2，那么求导：

=y+y'

x+2x。

★综上：

对隐函数求导，若是单独y，求导为y'

，一切关于y的函数（比如y^2，lny，a^y等），先对这个函数求导再乘y'

.

9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。

比如函数f（x）=0当x是有理数。

f（x）=x^2当x是无理数。

只在x=0处点连续，并可导。

按定义可验证在x=0处导数为0.

10.无穷小×

有界=无穷小，但是：

无穷大×

有界未必等于无穷大。

正确结论：

有界=未知，比如：

当x趋向正无穷，x，x^2始终为无穷大，而1/x，1/x^2为有界量。

注意到：

x*（1/x^2）=1/x就是一个无穷小,而x^2*（1/x）=x却是无穷大,而x*（1/x）=1却是有限的。

11.可导与连续是完全不一样的。

有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别开心，他说易得：

左导=右导=f（xo），你太天真了。

其实：

连续是说左极限=右极限=f（xo），可导是：

lim（x->

xo）f（x）=f（xo），且左导=右导。

请搞清楚你要处理的问题。

不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。

在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可导（这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导）。

12.很多初学者认为：

∫（a到x）f（t）dt中，变量是t，这是错的，你忽略了变限积分的来历，自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。

记住：

这里x是变量，它求导=f（x）。

13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0，他说比如0/0不是以0为分母，他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0，它表示极限0，由于极限等于0，我们习惯称为0/0形式。

也就是说：

若没有lim这个符号，0/0没有意义。

事实上：

再比如：

货真价实的数字1，1^无穷=1，若是（极限1）^无穷，则结果待定。

★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如：

0/0，1^无穷，无穷/无穷，等等7类运算。

为此，产生了7种特殊的式子：

不定式。

由于结果不确定，所以称之为不定式。

…………◆综上：

我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。

14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不符合洛必达的条件1，为此：

正确做法：

先令n为x，再使用洛必达，最后换为n.

15.无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大[但是请注意：

这里的无穷小除去了0。

16.x趋向0，limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因：

（sinx）‘=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误～

17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0，无穷/无穷那么简单。

洛必达的3个条件：

⑴x→a时，limf（x）=0,limF（x）=0;

⑵在点a的某去心邻域内f（x）与F（x）都可导，且F（x）的导数不等于0;

⑶x→a时，lim（f'

（x）/F'

（x））存在或为无穷大

则x→a时，lim（f（x）/F（x））=lim（f'

（x）），◆◆◆请注意：

1，第三点很容易被忽略，一般地：

含有lim（x趋向无穷）sinx，或者cosx，是不会采用洛必达的；

2，在解含有抽象函数f（x）时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所以每次做含有抽象函数的题使用洛必达＋最后一步使用导数定义！

3，单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。

（如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但是如果你考研的话是会扣一半分以上的）

18.一般地：

我们有以下结论：

lim（x趋向xo）f（x）=a，则必然有lim（x趋向xo）|f（x）|=|a|。

★若a不为0，上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的]，若a=0，上述结论逆命题仍然成立！

19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。

在使用极坐标时，应该同时注意到：

θ和ρ的任意性。

（x，y）趋向（0，0），求lim（xy）/（xy），容易证明该极限不存在（一条路径：

y=x，另一条：

y=x^2-x），倘若使用极坐标，则得：

limρ（cosθsinθ）/（cosθ＋sinθ），此时有分母出现0的可能（取θ=45度），因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：

你无法证明（cosθsinθ）/（cosθ＋sinθ）有界。

综上：

倘若使用极坐标，须同时考虑θ，ρ的任意性，不可盲目使用。

20.注意仅当y=f（x）时有：

=f'

（x）。

若y=f（■），■不等于x时，y'

不等于f'

（■）。

y=f（x^2），y'

（x^2）2x，而不是等于f'

（x^2）。

下面说明f'

（■）和[f（■）]’的区别：

f'

（■）表示已知f'

（x）的表达式，并且把■当做x代入，这个过程是代值过程；

而[f（■）]‘的意思是求导，至于对谁求导，则根据■确定。

仅当■=x时，f'

（■）=[f（■）]’，即：

（x）=[f（x）]’，其他情况没有这个式子。

[f（■）]’=f’（■）■’。

21.一元函数中说f（x）连续可导不是指f（x）既连续又可导，“连续可导”意思是说f（x）的导函数连续。

……………………………………ps：

f（x）的导函数连续当然有f（x）既可导又连续，反之不然。

22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：

asinx+bcosx=√（a^2+b^2）sin（x+u），其中u=arctan（b/a），强制要求a>

0；

asinx+bcosx=√（a^2+b^2）cos（x+u），其中u=arctan（-a/b），强制要求b>

0。

………………………………………………………………■ps：

为什么要强制要求？

[以第一个为例，第二个同理]原因在于：

我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值，好处在于u在[-派/2，派/2]上是一一对应的（因为y=tanx在该范围内单调），事实上，u的范围就是[-派/2，派/2]，由此我们再来看给出的公式：

asinx+bcosx=√（a^2+b^2）sin（x+u），将右边展开得：

√（a^2+b^2）cosusinx+√（a^2+b^2）sinucosx，根据待定系数原则可得：

cosu=a/√（a^2+b^2），倘若我们不控制a>

0，比如取a<

0的话，那么cosu<

0，显然u的范围已经落在二三象限中去了，而我们规定u在[-派/2，派/2]，即一四象限，由此出现矛盾，所以a必须大于0，u的范围才吻合公式左右。

23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限？

其实，原因很简单。

在于：

dφ，dθ，dρ，dx，dy，dz，dr都是正数。

24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。

我相信不止一个人考虑过这个问题。

求定积分I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx，当然可以用面积来做，这里为了说明疑问，不用面积做，而用三角换元做。

……………★书上对定积分换元法的说明是这样的：

设f（x）在[a,b]上连续，【当t从α变到β时，x=φ（t）要从φ（α）=a（单调地）变到φ（β）=b,这里不必要求φ（t）单调，即不必要求x=φ（t）有反函数存在】，但不允许x=φ（t）的取值变到区间[a,b]之外。

此外，还要求φ（t）在[α,β]上具有连续的导数φ’（t），这时，定积分的换元公式才成立。

…………………………■：

简单说就是满足两个条件，单值加连续导数。

…………■下面来做本题：

令x=asint，则dx=acostdt，【当x=0时，t取0，x=a时，t取：

派/2】，对于这个【】里面的过程有些同学无法接受，[问题1]凭什么x=0，t要取0，为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t？

[问题2]凭什么一定要上限>

下限。

解答问题1：

首先为了满足单值，不可以取一个形如[派，5派/2]的区间去对应原来的[0，a]尽管相对于x

尽管相对x=asint来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件[单值]，在此区间[派，5派/2]内x=asint不是单值的[意思是：

令x=k，解得t不唯一]。

所以不能取一个区间不满足单值的。

你取一个[0，派/2]这样的就是合适的，当然你取[派，派/2]这个也是对的，为什么请看证明？

我们无疑地知道I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面积显然]，下面通过计算来说明为什么取t属于[派，派/2]也是正确的。

I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到（派/2）]a|cost|costdt。

[说明：

这里开根号注意是绝对值]，由于此时t的范围是[派，派/2]，所以cost<

0，去绝对值时请注意这点，下面再用降幂公式易证答案正确。

……………ps：

你取任何一个单值区间满足题意都是正确的。

只不过计算过程的问题。

……………………………解答问题2：

事实[问题1]证明在换元时可以上限<

■：

三角换元可以取你想取的值，但是请注意使用条件以及计算的简便化。

末了附注：

本题中a>

25.收敛级数加括号仍然收敛，发散级数加括号未知；

正项级数敛散形不受加括号的影响。

求极限的计算方法总结（转）