中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析100题精选Word文档格式.docx
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∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°
,∴∠1=∠3
∠2=∠4
H
∴△AMQ≌△CGA,∴AM=CG,∴AM=BH
同
(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°
∴∠ADB=∠AHB=90°
,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上
A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上
且∠DBH+∠DAH=180°
∴∠5=∠8,∠6=∠7
∵∠DAM+∠DAH=180°
,∴∠DBH=∠DAM
∴△DBH≌△DAM,∴∠5=∠9
∴∠HDM=90°
,∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠8=90°
,∴∠PAB=90°
,∴PA⊥AB
又AB是半圆O1的直径,∴PA是半圆O1的切线
2.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°
,点C是上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?
如果存在,请指出并求其长度;
如果不存在,请说明理由;
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.
B
解:
(1)∵OD⊥BC,∴BD=BC=
在Rt△BOD中,OD==
(2)存在,长度保持不变的边为DE
连接AB
∵OA=OB=2,∠AOB=90°
,∴AB==2
∵OD⊥BC,OE⊥AC,∴D是BC中点,E是AC中点
∴DE=AB=
(3)连接OC,过D作DF⊥OE于F
∵OD=2,BD=x,∴OD=
∵OA=OB=OC,OD⊥BC,OE⊥AC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵∠AOB=90°
,∴∠DOE=45°
在Rt△DOF中,DF=OF=
在Rt△DFE中,EF===x
∴y=OE·
DF=(+x)·
即y=(0<x<)
3.(上海模拟)
M
如图,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,cotA=2,P是边AB上的一个动点,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与边AC相切;
当点P与点B不重合,且⊙P与边AC相交于点M和点N时,设AP=x,MN=y.
(1)求⊙P的半径;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当AP=6时,试比较∠CPN与∠A的大小,并说明理由.
(1)过B作BD⊥AC于D
∵⊙P与边AC相切,∴BD是⊙P的半径
∵cotA=2,∴sinA=
又∵sinA=,AB=15,∴BD=3
(2)过P作PH⊥MN于H
则PH=x,PM=BD=3
∴MH==
∴y=2MH=2
即y=(3≤x<15)
(3)当AP=6时,∠CPN=∠A
理由如下:
当AP=6时,PH=6,MH=3,AH=12,∴AM=9
∵AC=20,MN=6,∴CN=5
∵==,=,∴=
又∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM
∴∠AMP=∠PNC,∴△AMP∽△PNC
∴∠CPN=∠A
4.(上海模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°
,∠B=60°
,AB=10,AD=4,⊙M与∠BAD的两边相切,点N在射线AB上,⊙N与⊙M是等圆,且两圆外切.
(1)设AN=x,⊙M的半径为y,求y关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,⊙M与CD相切?
(3)直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等?
如果能,求出符合要求的x的值;
如果不能,请说明理由.
N
(1)连接AM、MN,设⊙M与AB相切于点E,连接ME
E
∵⊙N与⊙M是等圆,且两圆外切
∴在Rt△MNE中,MN=2ME,∴∠ANM=30°
∵AD∥BC,∠B=60°
,∴∠BAD=120°
∵⊙M与∠BAD的两边相切
∴∠NAM=60°
,∴∠AMN=90°
∴在Rt△AMN中AM=AN=x
∴ME=AM·
sin60°
=x
即y=x(x>0)
(2)设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G,连接MA、MF、MG
则MF=FD=MG=y
且AF=MF·
cot60°
=y=·
x=x
∵AD=4,AF+FD=AD,∴x+x=4
∴x=8(-1)
(3)作NH⊥BC于点H
若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等,则弦心距MG=NH
①当点N在线段AB上时
∵AB=10,∴BN=10-x
∴FD=MG=NH=BN·
=(10-x)
∵AF=x,AF+FD=AD,∴x+(10-x)=4
∴x=
②当点N在AB延长线上时
则FD=MG=NH=BN·
=(x-10)
x+(x-10)=4
∴当x=或x=时,直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等
5.(上海模拟)已知:
半圆O的半径OA=4,P是OA延长线上一点,过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C,射线PC交半圆O于点D,连接OD.
(1)当=时,求弦CD的长;
(2)设PA=x,CD=y,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(3)设CD的中点为E,射线BE与射线OD交于点F,当DF=1时,求tan∠P的值.
D
备用图
(1)连接OC
当=时,∠POC=∠DOC
∵BC垂直平分OP,∴PC=OC=4
∴∠P=∠POC=∠DOC
∴△DOC∽△DPO,∴=
即=,解得CD=2-2
(2)作OE⊥CD于E,则CE=DE=y
①当点C在上时
∵∠PBC=∠PEO=90°
,∠P=∠P
∴△PBC∽△PEO,∴=
即=,∴y=x2+2x-4
显然,B不与A重合,∴x<4
当D与C重合时,PC是半圆O的切线
∴PC⊥OC,∠PCO=90°
此时△PCO是等腰直角三角形
∴OP=OC,即x+4=4,x=4-4
∵D不与C重合,∴x>4-4
∴4-4<x<4
∴y=x2+2x-4(4-4<x<4)
②当点C在外时
同理,△PBC∽△PEO,∴=
即=,∴y=-x2-2x+4(0<x<4-4)
(3)①当点C在上时,过D作DG∥OP交BF于G
则△DEG∽△PEB,△DEF∽△OBF
∴====
∴=,即=,解得=1
∴CE=1,PE=5,OE==
∴tan∠P==
②当点C在外时,过D作DG∥OP交BE于G
则△DEG∽△PEB,△DFG∽△BFO
∴CE=1,PE=3,OE==
6.(上海模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,sinB=,⊙B的半径长为1,⊙B交边BC于点P,点O是边AB上的动点.
(1)如图1,将⊙B绕点P旋转180°
得到⊙M,请判断⊙M与直线AB的位置关系;
(2)在
(1)的条件下,当△OMP是等腰三角形时,求OA的长;
(3)如图2,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切,设NB=y,OA=x,求y关于x的函数关系式及定义域.
O
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,sinB=
∴AB=10,BC===8
过点M作MD⊥AB于D
在Rt△MDB中,∠MDB=90°
,∴sinB==
∵MB=2,∴MD=×
2=>1
∴⊙M与直线AB相离
(2)∵MD=>1=MP,∴OM>MP
若OP=MP,易得∠MOB=90°
∴cosB===,∴OB=
∴OA=10-=
若OM=OP,过O作OE⊥BC于E
∴当△OMP是等腰三角形时,OA的长为或
(3)连接ON,过N作NF⊥AB于F
在Rt△NFB中,∠NFB=90°
,sinB=,NB=y
∴NF=y,BF=y,∴OF=10-x-y
∵⊙N和⊙O外切,∴ON=x+y
在Rt△NFB中,ON2=OF2+NF2
∴(x+y)2=(10-x-y)2+(y)2
∴y=(0<x<5)
7.(上海模拟)如图,⊙O的半径为6,线段AB与⊙O相交于点C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与⊙O相交于点E,设OA=x,CD=y.
(1)求BD的长;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当CE⊥OD时,求AO的长.
(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB
∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC,∴=
∵OC=OD=6,AC=4,∴=,∴BD=9
(2)∵△OBD∽△AOC,∴∠AOC=∠B
又∵∠A=∠A,∴△ACO∽△AOB,∴=
∵AB=AC+CD+BD=y+13,∴=
∴y=x2-13
∵0<y<8,∴0<x2-13<12,解得2<x<10
∴定义域为2<x<10
(3)∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A
∴∠AOD=180º
-∠A-∠ODC=180º
-∠COD-∠OCD=∠ADO
∴AD=AO,∴y+4=x,∴x2-13+4=x
∴x=2±
2(舍去负值)
∴AO=2±
2
8.(安徽某校自主招生)如图,△ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,且直线AH交BC于F.设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点,求证:
(1)AG=DF;
(2)D、H、E三点共线.
证明:
(1)由题意I为△ABC的内心,所以∠ABH=∠HBF
∵AF⊥BH,∴∠AHB=∠FHB=90º
又BH=BH,∴△AHB≌△FHB,∴AB=BF
又由切线长定理,得BG=BD
∴AG=DF
(2)连接DE、EH、AI、EI
∵∠AEI=∠AHI=90º
,∴A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上
∴∠AEH=∠AIB
∵I为△ABC的内心,∴∠AIB=90º
+∠C
∴∠AEH=90º
∵CD=CE,∴∠DEC==90º
-∠C
∴∠AEH+∠DEC=180º
∴D、H、E三点共线
9.(安徽某校自主招生)如图,扇形OMN的半径为1,圆心角90°
,点B是上一动点,BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.
(1)求证:
四边形EPGQ是平行四边形;
(2)探索OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;
P
(3)试说明3PQ2+OA2是定值.
∵∠AOC=90°
,BA⊥OM,BC⊥ON
∴四边形OABC是矩形,∴AB∥OC,AB=OC
∵E、G分别是AB、CO的中点
∴AE∥GC,AE=GC
∴四边形AECG为平行四边形,∴CE∥AG
连接OB
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点
∴GF∥OB,DE∥OB,∴PG∥EQ
∴四边形EPGQ是平行四边形
(2)当∠CED=90°
时,□EPGQ是矩形
此时∠AED+∠CEB=90°
又∵∠DAE=∠EBC=90°
,∴∠AED=∠BCE
∴△AED∽△BCE,∴=
设OA=x,AB=y,则=,得y2=2x2
又OA2+AB2=OB2,即x2+y2=12
∴x2+2x2=1,解得x=
O′
∴当OA的长为时,四边形EPGQ是矩形
(3)连接GE交PQ于点O′,则O′P=O′Q,O′G=O′E
过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′
由△PCF∽△PEG得,===2
∴PA′=A′B′=AB,GA′=GE=OA
∴A′O′=GE-GA′=OA
在Rt△PA′O′中,PO′2=PA′2+A′O′2,即=+
又AB2+OA2=12,∴3PQ2=AB2+
∴3PQ2+OA2=AB2++OA2=1+=
10.(浙江杭州)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M、N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°
,AE=3,MN=2.
(1)求∠COB的度数;
(2)求⊙O的半径R;
(3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,将△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E、F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?
你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗?
请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
T
(1)∵AE切⊙O于点E,∴OE⊥AE
∵OB⊥AT于点B,∴∠AEC=∠OBC=90°
又∵∠ACE=∠OCB,∴△ACE∽△OCB
∴∠COB=∠EAT=30°
(O′)
(2)在Rt△AEC中,CE=AE·
tan30°
=3
∠OCB=∠ACE=60°
设BC=x,则OB=x,OC=2x
连接ON,得(x)2+()2=(2x+3)2
解得x=1或x=-13(舍去),∴x=1
∴R=2x+3=5
(3)这样的三角形有3个
画直径FG,连接GE
∵EF=OE=OF=5,∴∠EFG=60°
=∠BCO
∴△GEF即为所要画出的三角形
∵三种图形变换都不改变图形的形状,即变换前后的两个三角形相似
∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比
又∵两个直角三角形斜边长FG=2R=10,OC=2
∴△GEF与△OBC的周长之比为5:
1
11.(浙江台州)定义:
P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.
已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是___________;
当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为___________.
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0.作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值使以A,M,H为顶点的三角形与△AOD相似,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
C
(图2)
(图1)
(备用图2)
(1)2
(2)当4≤m≤6时,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2
当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长
∴d==
∴d关于m的函数解析式为:
d=
(3)①由题意可知,由线段PE,EFG,线段GK,KNP所围成的封闭图形就是点M随线段BC运动所围成的
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为:
2×
π×
2+2×
4=16+4π
②∵m≥0,n≥0,∴点M随线段BC运动所形成图形的是线段M0E和
x
易知△AOD是两直角边为1:
2的直角三角形
若△AMH与△AOD相似,则=或=2
当2≤m+2<4时,显然M1H1>H1A,∴=2
∵M1H1=2,∴H1A=1,∴OH1=3
∴m1=3-2=1
当4≤m+2≤6即M2在线段CE上时,同理可求m2=5-2=3
当6<m+2≤8即M3在线段上时,∵AH3≥2≥M3H3,∴=
设M3H3=x,则AH3=2x,∴AH3=2x-2
又∵RH3=2,∴(2x-2)2+x2=22,∴x1=,x2=0(不合题意,舍去)
∴OH3=4+2x=,∴m3=-2=
综上可知,存在m的值使以A,M,H为顶点的三角形与△AOD相似,相应m的值为1,3,
12.(浙江某校自主招生)已知矩形ABCD中,AB=2,AD=5,点E是AD边上一动点,连接BE、CE,以BE为直径作⊙O,交BC于点F,过点F作FH⊥CE于H,直线FH交⊙O于点G.
(1)当直线FH与⊙O相切时,求AE的长;
(2)当FH∥BE时,求FG的长;
(3)在点E运动过程中,△OFG能否成为等腰直角三角形?
如果能,求出此时AE的长;
如果不能,说明理由.
(1)连接OF、EF
∵BE是⊙O的直径,∴∠BFE=90°
又∠A=∠ABF=90°
,∴四边形ABFE为矩形
∴AE=BF,∴DE=CF
∵FH与⊙O相切,∴OF⊥FH
∵FH⊥CE,∴OF∥CE
∵BO=OE,∴BF=CF
∴AE=DE=AD=
(2)作OM⊥FG于M,连接OF
∵FH∥BE,∴∠BEC=∠FHC=90°
易证△ABE∽△DEC,∴=
即=,解得AE=1或4
①当AE=1时,BF=1,DE=CF=4
∴BE=,CE=2,OF=
由△CFH∽△CBE,得CH=
∴OM=EH=CE-CH=,∴FM==
∴FG=2FM=
②当AE=4时,BF=4,DE=CF=1
∴BE=2,CE=,OG=
(3)连接EF,设AE=x
则EF=AB=2,BF=AE=x,CF=DE=5-x
若△OFG是等腰直角三角形,则∠FOG=90°
①当点G在点F上方时
K
连接BG、EG,设BG、EF交于点K,作GM⊥EF于M
则∠FBG=∠FEG=45°
∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形
∴KF=BF=x,EK=2-x,GM=KM=EK=1-x
FM=x+1-x=1+x
∵∠GFM=∠ECF=90°
-∠FEC
∴Rt△GMF∽Rt△EFC,∴=
∴=,解得x1=,x2=>5(舍去)
②当点G在点F下方时
连接BG、EG,设BC、EG交于点K,作GM⊥BF于M
则∠GBF=∠GEF=45°
∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形
∴KF=EF=2,EK=2
BK=x-2,GM=KM=(x-2),FM=2+(x-2)=(x+2)
∵∠MFG=∠HFC=∠FEC=90°
-∠HCF
∴Rt△FMG∽Rt△EFC,∴=
∴=,解得x1=,x2=(舍去)
综上所述,△OFG能成为等腰直角三角形,此时AE的长为或
13.(浙江模拟)在平面直角坐标系中,点A(10,0)、B(6,8),点P是线段OA上一动点(不与点A、点O重合),以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C,作CD⊥OB于D(如图1).
CD是⊙P的切线;
(2)当⊙P与OB相切时,求⊙P的半径;
(3)在
(2)的条件下,设⊙P与OB相切于点E,连接PB交CD于F(如图2).
①求CF的长;
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°
?
若存在,求出EG的长;
若不存在,请说明理由.
连接PC,过B作BN⊥x轴于N
∵PC=PA,∴∠1=∠2
∵A(10,0),B(6,8),∴OA=10,BN=8,ON=6
在Rt△OBN中,OB===10
∴OA=OB,∴∠OBA=∠1
∴∠OBA=∠2,∴PC∥OB
∵CD⊥OB,∴CD⊥PC
∴CD是⊙P的切线
设⊙P的半径为r
∵⊙P与OB相切于点E,∴OB⊥PE
∴在Rt△OPE中,sin∠EOP==
在Rt△OBN中,sin∠BON===
∴=,解得r=
(3)①由
(2)知r=,∴OP=10-=
∴OE==
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°
∴四边形PCDE是矩形
∵PE=PC,∴矩形PCDE是正方形
∴PE=DC=
∴BD=OB-OE-DE=10--=
∵∠BFD=∠PFC,∠BDF=∠PCF=90°
∴△BDF∽△PCF,∴=
4
即=,解得CF=
②存在
在DE延长线上截取ET=CF
∵四边形PCDE是正方形
∴∠PET=∠PCF=90°
,PE=PC
∴△PET≌△PCF,∴∠4=∠3,PT=PF
∵∠CPE=90°
,∠GPF=45°
∴∠GPE+∠3=45°
,∴∠GPE+∠4=45°
即∠GPT=45°
,∴∠GPT=∠GPF
又PG=PG,∴△PGT≌△PGF
∴GF=GT=GE+ET=GE+CF
设GE=a,则DG=-a,GF=+a
又DF=DC-CF=-=
在Rt△DFG中,DF2+DG2=GF2
∴()2+(-a)2=(+a)